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2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及不等式的应用练习(文) 全国.重庆专版


第6章

第5节

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) a2+b2 1.“a>b>0”是“ab< ”的 2 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】 当 a>b>0 时,显然能得出 a2+b2>2ab, a2+b2 a2+b2 即 ab< ,但由 ab< ,不一定能推出 a>b>0,因为 a,b 可异号等,选 A. 2 2 【答案】 A 1 2.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 x ( A.最大值为 0 C.最大值为-4 【解析】 ∵x<0,∴-x>0, 1 1 ∴x+ -2=-?-x+-x?-2≤-2 x ? ? 即 x=-1. 【答案】 C 3.若 0<x<1,则 f(x)=x(4-3x)取得最大值时,x 的值为 ( 1 A. 3 3 C. 4 【解析】 ∵0<x<1,∴4-3x>0, 1 ∴x(4-3x)= · 3x(4-3x) 3 1 ?3x+4-3x?2 4 ≤ · 3? 2 ? =3, 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时取得等号. 3 1 B. 2 2 D. 3 ) 1 1 -x· -2=-4,等号成立的条件是-x= , -x -x B.最小值为 0 D.最小值为-4 )

【答案】 D 4.有一个面积为 1 m2,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供应用,其 中最合理(够用且最省)的是 ( A.4.7 m C.4.9 m 【解析】 设两个直角边为 a,b, 则 ab=2,周长 p=a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab=2 2+2≈4.828, 当且仅当 a=b= 2时,等号成立. 【答案】 C 1 a 5.已知不等式(x+y)?x+y?≥9,对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 取最小值为 ? ? ( A.2 C.6 B.4 D.8 ) B.4.8 m D.5 m )

1 a x y 【解析】 ∵(x+y)?x+ y?=1+ a+ +a≥1+a+2 a, ? ? y x 1 a 且(x+y)?x+y?≥9, ? ? ∴9≤1+a+2 a=( a+1)2, ∴ a+1≥3,即 a≥4. ∴a 的最小值为 4. 【答案】 B 6.对于使-x2+2x≤M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做-x2+2x 的上 1 2 + 确界,若 a,b∈R ,且 a+b=1,则- - 的上确界为 2a b ( 9 A. 2 1 C. 4 9 B.- 2 D.-4 )

1 2 【解析】 依题意知上确界为函数的最大值,y=- - , 2a b ∵a+b=1, a+b 2(a+b) 5 b 2a 5 9 2 ∴y=- - =- -( + )≤- -2=- ,当 2a=b= 时取等号,选 B. 2a b 2 2a b 2 2 3 【答案】 B

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) x2 7.函数 y= 4 (x≠0)的最大值为________,此时 x 的值为____. x +9 x2 【解析】 y= 4 = x +9 即 x=± 3时取等号. 【答案】 1 ± 3 6 1 9 x2+ 2 x ≤ 1 9 = ,当且仅当 x2= 2, 6 x 2 9 1

8.若对任意 x∈R,不等式|x|≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

【解析】 利用数形结合的方法可求解.如图令 y=|x|,y=ax,则由图象可得|a|≤1. 【答案】 -1≤a≤1 9.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 1 2 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为______. m n 【解析】 A(-2,-1),A 在直线 mx+ny+1=0, -2m-n+1=0, 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. 1 2 2m+n 4m+2n n 4m n 4m + = + =2+ + +2≥4+2· · =8. m n m n m n m n n 4m 1 1 当且仅当 = 即 m= ,n= 时等号成立. m n 4 2 1 2 故 + 的最小值为 8. m n 【答案】 8 三、解答题(共 46 分) 1 10.(15 分)设 f(x)= x2-bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(-1,3),若 f(7+|t|)>f(1+t2), a 求实数 t 的取值范围. 【解析】 ∵f(x)<0 的解集是(-1,3). ∴a>0,f(x)的对称轴是 x=1,且 ab=2. ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增. 又∵7+|t|≥7,1+t2≥1,

∴由 f(7+|t|)>f(1+t2),得 7+|t|>1+t2. ∴|t|2-|t|-6<0,解得-3<t<3. 11.(15 分)(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; (x+5)(x+2) (2)设 x>-1,求函数 y= 的最值. x+1 【解析】 (1)∵x>0,a>2x

1 1 2x+(a-2x)?2 a2 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x)≤ ×? 2 2 ? 2 ? =8 a a2 当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)∵x>-1,∴x+1>0.设 x+1=z>0,则 x=z-1 (z+4)(z+1) z2+5z+4 4 ∴y= = =z+ +5 z z z ≥2 4 z·+5=9 z

当且仅当 z=2 即 x=1 时上式取等号 ∴x=1 时,函数 y 有最小值 9,无最大值. 12.(16 分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费,对生产的羊皮手套进行促 1 销. 1 年内, 在 据测算年销售量 S(万双)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 S=3- (x>0). 已 x 知羊皮手套的固定投入为 3 万元,每生产 1 万双羊皮手套仍需再投入 16 万元.(年销售收入 =年生产成本的 150%+年广告费的 50%) (1)试将羊皮手套的年利润 L(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费投入为多少万元时,此公司的年利润最大,最大利润为多少?(年利润= 年销售收入-年广告费) 【解析】 (1)由题意知,羊皮手套的年成本为(16S+3)万元,年销售收入为(16S+

1 3)×150%+x· 50%, 年利润 L=(16S+3)×150%+x· 50%-(16S+3)-x, L= (16S+3-x), 即 2 -x2+51x-16 得 L= (x>0). 2x (2)由 L=
2 -x +51x-16 51 ?x 8? 51 = -? + ?≤ -2 2x 2 ?2 x? 2

x 8 x 8 · =21.5.当且仅当 = ,即 x=4 2 x 2 x

时,L 有最大值 21.5,因此,当年广告费投入为 4 万元时,此公司的年利润最大,最大利润 为 21.5 万元.


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