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函数的值域与最值求法精讲


函数的值域和最值
知识归纳 一、相关概念 1、值域:函数 y ? f ( x ), x ? A ,我们把函数值的集合 { f ( x ) / x ? A} 称为函数的值域。 2、最值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 记作 y m ax ? f ? x 0 ? 最小值: 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值。记作
y m in ? f

? x0 ?

注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ② 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤ M(f(x)≥M) 。 求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。若函数的最大、最小值求出来了, 值域也就知道了,反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求 出来了,因此,求函数的最值和值域,其实质是相同的,只是提问不同而已。 二、 确定函数值域的原则 1、当函数 y ? f ( x ) 用表格给出时,函数的值域指表格中实数 y 的集合;
x
y ? f (x)

0 1

1 2

2 3

3 4

则值域为{1,2,3,4} 2、函数 y ? f ( x ) 的图像给出时,函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的 集合; 3、函数 y ? f ( x ) 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; 4、由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定。 三、基本函数的值域

1、一次函数 y ? kx ? b ( a ? 0) 的定义域为 R,值域为 R; 2、二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0)的定义域为 R,
a ? 0时 , 值域是 [ 4 ac ? b 4a
2

,? ? ); a ? 0时 , 值域是 ( ?? ,

4 ac ? b 4a

2

]

3、反比例函数 y

?

k x

(k ? 0)

的定义域为{x|x ? 0},的值域为 ? y | y ? 0 , 且 y ? R ?

4、指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 的值域为 ( 0 , ?? ) 。
x

5、对数函数 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的值域为 R; 6、分式函数 y 7、正弦函数 y 8、正切函数 y
? ax ? b x?c

的值域为 ? y | y ? a , 且 y ? R ? 。
? cos x
?

? sin x

,余弦函数 y
? ?

的值域都是 [ ? 1,1] 。
( x ? k ? , k ? Z ) 的值域为

? tan x ( 其中 x ? k

, k ? Z ) , y ? cot x

R。

2

四、求函数值域的方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三 类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作 某些“运算”而得函数的值域 求函数值域的常用方法: 观察法、 直接法、 配方法、 分离变量法、 单调性法、 导数法 形结合法(图像法)导数法 数

数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、

不等式法等 无论用什么方法求函数的值域, 都必须考虑函数的定义域无论用什么方法求 最值,都要检查“等号”是否成立,不等式法及判别式法尤其如此。

常用方法: (1)观察法(用非负数的性质,如: x ? 0 ; x ? 0 ; x ? 0 ( x ? 0 ) 等)
2

例如:求下列函数的值域: y ? ? 3 x ? 2 ; { y | y ? 2}
2

变式: y ? 4 ? 2 x ? 1 ( x ? ? 1),{ y | y ? 4} (2)直接法:利用常见函数的值域来求, 例如 :下列函数中值域是(0,+ ? )的是

( )

1

A. y ? x 2

B. y ? ( )
5

1

1? x

C. y ?

1? x

2

D. y ? x ?

1 x

( x ? 0)

解析:通过基本函数的值域可知:A 的值域为[0, + ? ),C 的值域为[0,1],D 的值域为 [2, + ? ). 答案:B (3)配方法:常可转化为二次函数型 F ( x ) ?
a f
2

( x ) ? bf ( x ) ? c

,配成完全平方式,根据变

量的取值范围,然后利用二次函数的特征来求最值; 例:求值域: y ? x ? x ? 1, x ? R ; x ? [ ? 1, 3]; x ? (1, 5]; x ? [ ? 5, ? 1];
2

解析: 通过配方可得 y ? ( x ? 当 x ? ?? 1, 3 ? 时,在 x ? 故其值域为[
3 4 1 2

1 2

) ?
2

3 4

; 开口向上, 所以当 x ?
3 4

1 2

时, 函数取最小值 y ?

3 4



时,函数的最小值为 y ?

;最大值在 x=3 时取到, f (3) ? 1 3 ;

,13];

练习: x ? (1, 5]; x ? [ ? 5, ? 1]; 例:求函数 y ? 2 ?
? x ? 4 x ( x ? ?0 , 4 ?) 的值域。
2

解:本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨 设: f ( x ) ? ? x ? 4 x ( f ( x ) ? 0 ) 配方得: f ( x ) ? ? ( x ? 2 ) ? 4 ( x ? ?0 , 4 ?) 利用二次函数的
2 2

相关知识得 f ( x ) ? ?0 , 4 ? ,从而得出: y ? ?? 2 , 2 ? 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限 制,本题为: f ( x ) ? 0 。 变式 1:求函数 y=
2x 5
2

? 4x ? 3

的值域.(答: (0,5])
2

变式 2:当 x ? ( 0 , 2 ] 时,函数 f ( x ) ? ax 取值范围是___(答: a ? ?
2

? 4 ( a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的

1 2

) ;

变式 3: (1)求 y ? x ? 2 a x ? 3, x ? [2, 4 ] 最值。 (-----动轴定区间) (2)求 y ? x ? 2 x ? 3, x ? [ t , t ? 2] 的最值(----------定轴动区间)
2

变式 4:已知 sinx+siny=

1

,则函数μ =sinx-cos y 的最大值为________;最小值为

2

3 4 11 _________。答案: [ , ] 。 9 12

解析: u ? sin y ? sin y ?
2

2 3

? (sin y ?

1 2

) ?
2

11 12

, sin y ? [ ?

2 3

,1]

(4)换元法(代数换元法)通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可 将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题,化归思想; 例、求函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域。 解:由于题中含有 13 ? 4 x 不便于计算,但如果令: t ?
13 ? t 4
2

13 ? 4 x 注意 t ? 0 从而得:

x ?

? y ?

13 ? t 2

2

? 3 ? t ( t ? 0 ) 变形得 2 y ? ? ( t ? 1) ? 8 ( t ? 0 ) 即: y ? (?? , 4 ]
2

点评:在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围,否则将会发生错误。 变式 1:求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域. 解 析 :
2

?? ? , 4 ?
t
?



t ?

1? x
2



0

) ,



x ? 1? t

2





y ? 2(1 ? t ) ? 4 t , 经 整 理 得 y ? ? 2 t ? 4 t ? 2 ;用配方法求的 y 的值域为 ? ? ? , 4 ? 。

变式 2: y ? 2 sin x ? 3 cos x ? 1 的值域为_____(答: [ ? 4 ,
2

17 8

]) ;

变式 3: y ? x ? 4 ? 变式 4:函数 y
? x?

9 ? x 的值域为____(答: [1, 3 2 ? 4 ] ) ;
2

1? x
2 1 4

2

的值域为____(答: [ ? 2 ,1])(提示:三角代换)
x
2

变式 5: 求函数 y
1 2

? log

x ? log

1 4

? 5(2 ? x ? 4)

的值域 (答: [

25 4

,8]) (提示: t= lo g 1 x , 令
4

t ? [ ? 1, ?

] )。
2 2 2 2

变式 6:已知 p ( x , y ) 是圆 x ? y ? 4 上的点,试求 t ? x ? y ? 3 xy 的值域。
2 2 解:在三角函数章节中我们学过: sin ? ? cos ? ? 1 注意到 x ? y ? 4 可变形为:

2

2

x 2 y 2 x y ( ) ? ( ) ? 1 令 ? cos ? , ? sin ? , ? ? [ 0 , 2 ? ) 则 2 2 2 2

t ? 4 ? 3 ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 4 ? 6 sin 2? 又 2 ? ? [ 0 , 4 ?)即 sin 2? ? [ ? 1,1] 故

t ? [ ? 2 ,10 ]

例:试求函数 y ? sin x ? cos x sin x ? cos x 的值域。 解: 题中出现 cos x ? sin x 而 sin
2

x ? cos

2

x ? 1, (sin x ? cos x )

2

? 1 ? 2 sin x cos x 由此联

想到将 cos x s in x 视为一整体,令 t ? sin x ? cos x ? [ ? 2 , 2 ] 由上面的关系式易得
t
2

t

2

? 1 ? 2 sin x cos x ? sin x cos x ?

?1 2



















y ? t?

t

2

?1 2

(t ? [ ? 2 ,

2 ]) 即 2 y ? ( t ? 1) ? 2 , y ?
2

1 2

( t ? 1) ? 1 ? t ? [ ? 2 ,
2

2]

? y ? [ ? 1,

1 2

?

2]

B

(5)分离常数法(分式转化法) 对分子.分母有相似的项某些分式函数,可通过分离常 ; 数法,化成 y ? k ? f ( x ) ( k 为 常数)的形式来求值域.
x ? x
2

例:求函数 y ?

x ? x ?1
2

的值域。

2 解:观察分子、分母中均含有 x ? x 项,可利用部分分式法;则有

y ?

x ? x
2

x ? x ?1
2

?

x ? x ?1?1
2

x ? x ?1
2

?1? (x ?

1 1 2 ) ?
2

3 4

不妨令: f ( x ) ? ( x ?

1 2

) ?
2

3 4

, g (x) ?

?3 ( f ( x ) ? 0 ) 从而 f ( x ) ? ? , ? ? ? f (x) ?4

1

注 意 : 在 本 题 中 若 出 现 应 排 除 f ( x ) ? 0 , 因 为 f ( x ) 作 为 分 母 . 所 g ( x ) ? (0 , ] 故
4 y ? [? 1 3 ,1)

3

另解:观察知道本题中分子较为简单,可令 y ?
'

x ? x ?1
2

x ? x
2

?1?

1 x ? x
2

,求出 y 的值域,

'

进而可得到 y 的值域。

(6)逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式, 得出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ? 例:求函数 y ?
2x x ?1

ax ? b cx ? d

, x ? (m , n)

的值域。

解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。
y ? 2x x ?1

反解得 x ?

y 2? y

即y ?

x 2? x

反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为: y ? ( ?? , 2 ) ? ( 2 , ?? ) 。
1? x 1? x
2 2

变式 1:函数 y=

的值域是(

) C.[-1,1) D.

A.[-1,1] (-1,1) 解法一:y=
1? x 1? x
2 2

B.(-1,1]

=

2 1? x
2

-1.

∵1+x ≥1,∴0<

2

2 1? x
2

≤2.∴-1<y≤1.

解法二:由 y=

1? x 1? x

2 2

,得 x =

2

1? y 1? y

.∵x ≥0,∴

2

1? y 1? y
2

≥0,解得-1<y≤1.

解法三:令 x=tanθ (-

π 2

<θ <

π 2

) ,则 y=

1 ? tan ? 1 ? tan ?
2

=cos2θ

.∵-π <2θ <π ,∴-1<cos2θ ≤1,即-1<y≤1.答案:B 变式 2:求函数 y ?
3? x 2x ? 5
x? x? 10 10

? x ? 0 ? 的值域
,及 y ?
2 2
x x

变式 3:求函数 y ?

10 10

?x ?x

?1
2

的值域

(7)利用判别式法 针对分式型 y ?

ax mx

? bx ? c ? nx ? p

,尤其是分母中含有 ( 其 中 a 2 ? m 2 ? 0)

2

2 2 x 时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程 a(y)x + b(y)x+c(y)=0,则

在 a(y)≠0 时,由于 x、y 为实数,故必须有Δ =b (y)-4a(y) c(y)≥0,从而确 · 定函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的 x 值.

2

例:求函数 y ?

2x ? 4x ? 7
2

x ? 2x ? 3
2

的值域。

解:由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法,将原函 数变形为: x y ? 2 xy ? 3 y ? 2 x ? 4 x ? 7 整理得: ( y ? 2 ) x ? 2 ( y ? 2 ) x ? 3 y ? 7 ? 0 当
2 2 2

y ? 2 时,上式可以看成关于 x 的二次方程,该方程的 x 范围应该满足

f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 即 x ? R 此时方程有实根即△ ? 0 ,
2

△ ? ?2 ( y ? 2 )] ? 4 ( y ? 2 )( 3 y ? 7 ) ? 0 ? y ? [ ?
2

9 2

, 2 ].

细心的读者不难发现,在前面限定 y ? 2 而结果却出现: y ? 2 我们是该舍还是留呢? 注意:判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是 y ? 2 , y ? ? 将 y ? 2, y ? ? 变式:
y ?
9 2 9 2 9 2

)代回方程检验。
,2 ) 。

分别代入检验得 y ? 2 不符合方程,所以 y ? [ ?

的值域。 ? ? ? , ? 1 ? ? ? , ? ? ? 2 x ? 2x ? 2 ?2 ?
x ? x ?1
2

2x ?1

?1

?

②y ?

2x ? x ? 2
2

x ? x ?1
2

;[1,5]

③y ?

2x ? 2x ? 3
2

注意:1.一般用在定义域为 R 的情况下,如果定义域不是 R,也可用,但需对最后的结果 进行检验、既对 y 取得等号值的时候对应的 x 值是否在定义域范围内。 2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论 3.若对自变量有其他限制,就不好用判别式法了 4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法,要先化简。如求函数 y ? 域。 原函数可化为 y ?
( x ? 2 )( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) x ? x?2
2

x ?1
2

的值

=

( x ? 2) ( x ? 1)

( x ? ? 1 ), 即 y ?

1+

1 x ?1

( x ? ? 1 ),?

1 x ?1

? 0,

(8)三角有界法:运用三角函数有界性来求值域; 转化为只含正弦、 余弦的函数, y ? 如 解不等式求出 y 的取值范围. 例:求函数 y ?
2 sin ? ? 1 1 ? sin ? sin x 1 ? sin x

, 可用 y 表示出 sin x , 再根据 ? 1 ? sin x ? 1

,y ?

2 sin ? ? 1 1 ? co s ?

的值域(答: ( ? ? , ] 、 ( ? ? , ] ) ;
2 2

1

3

求函数 y ?

2 co s x ? 1 3 co s x ? 2

的值域。

1? ? ? ? ? , ? ? ? 3, ? ? ? 5? ?


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