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2013《金版新学案》高三数学一轮复习 7-4 曲线与方程练习 (文) 全国.重庆专版


第7章

第4节

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.方程|y|-1= 1-(x-1)2表示的曲线是 ( A.抛物线 C.两个圆 B.一个圆 D.两个半圆 )

? ?|y|-1≥0, 【解析】 原方程等价于? 2 2 ? ?(|y|-1) +(x-1) =1. ?y≥1, ?y≤-1, ? ? 即? 或? 2 2 2 2 ?(x-1) +(y-1) =1; ?(x-1) +(y+1) =1. ? ?

【答案】 D 2.若动点 P 到点 F(1,1)和直线 3x+y=4 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 ( A.3x+y-6=0 C.x+3y-2=0 B.x-3y+2=0 D.3x-y+2=0 )

【解析】 在直线 x-3y+2=0 上任取一点 A(-2,0), 则|AF|= 32+12= 10, |3×(-2)+0-4| 点 A 到 3x+y-4=0 的距离 d= = 10, 10 ∴|AF|=d.故选 B. 【答案】 B 3.下列说法正确的是 ( A.△ABC 中,已知 A(1,1),B(4,1),C(2,3).则 AB 边上的高的方程是 x=2 B.方程 y=x2(x≥0)的曲线是抛物线 1 C.已知平面上两定点 A、B,动点 P 满足|PA|-|PB|= |AB|,则 P 点的轨迹是双曲线 2 D.第一、三象限角平分线的方程是 y=x 【解析】 选项 A 符合曲线与方程的概念(1)曲线上的点的坐标均是这个方程的解,不 符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点.选项 B 符合(2)但不符合(1).选项 C 符 合(2)但不符合(1),选项 D 符合(1)、(2).故选 D. 【答案】 D
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)

1 4.曲线 y= x2 与 x2+y2=5 的交点是 4 ( A.(2,1) C.(2,1)或(2 5, 5) B.(± 2,1) D.(± 2,1)或(± 2,5) 2 )

?y=1x2 ?x=2 ?x=-2 ? ? ? 【解析】 解方程组? 4 ?? 或? . ? ? ?y=1 ?y=1 ?x2+y2=5 ?
故选 B. 【答案】 B 5.若直线 y=kx+1 与曲线 x2+y2+kx-y=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称,则 k 等于 ( A.0 C.2 B.1 D.3 )

?y=kx+1, ? 【解析】 由? 2 2 消去 y 得 ? ?x +y +kx-y=0

(1+k2)x2+2kx=0, 2k ∴x1=0,x2=- . 1+k2 ∵两个交点关于 y 轴对称, ∴x1=-x2,∴k=0. 【答案】 A → → 6. 平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足OC=αOA → +βOB,其中 α、β∈R 且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为 ( A.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 B.(x-1) +(y-2) =5 D.x+2y-5=0
2 2

)

【解析】 设 C(x,y),则(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)
?x=3α-β, ? =(3α-β,α+3β),则? ? ?y=α+3β,

?α=10(3x+y) 解得? 1 ?β=10(3y-x).
1 【答案】 D

.

代入 α+β=1,得 x+2y-5=0.故选 D.

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二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点 A 的轨迹方程 是____________. x y 【解析】 设 A 点坐标为(x,y),则 D?2,2?. ? ? ∴|CD|=

?x-5?2+y =3(y≠0). ?2 ? 4
(x-10)2+y2=36(y≠0)

2

整理得(x-10)2+y2=36(y≠0) 【答案】

8.如图,已知点 A、B 分别在 x、y 轴的正半轴上运动,且|AB|=2a(a>0),则 AB 的中 点 M 的轨迹方程是________.

【解析】 设 M(x,y),由中点坐标公式得 A(2x,0),B(0,2y), ∴ (2x-0)2+(0-2y)2=2a,化简得 x2+y2=a2. ∵点 A、B 分别在 x、y 轴的正半轴上,∴点 M 在第一象限, 即 x>0,y>0,故点 M 的轨迹方程为:x2+y2=a2(x>0,且 y>0). 【答案】 x2+y2=a2(x>0 且 y>0) 9.曲线 C1 的方程为 f(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 φ(x,y)=0,点 M 的坐标为(a,b),
? ?f(a,b)≠0 命题 p:M?C1∩C2;命题 q:? ,则 p 是 q 的________条件. ?φ(a,b)≠0 ?

【解析】 由 q:M?C1 且 M?C2,∴M?C1∩C2,p 成立. 由 p:可能有 M∈C1 但 M?C2 或 M∈C2 但 M?C1,q 不一定成立. ∴p 是 q 的必要非充分条件. 【答案】 必要非充分 三、解答题(共 46 分) 10.(15 分)已知⊙C:(x+1)2+(y-3)2=4,由动点 P 向⊙C 引两条切线 PA、PB,A、B 为切点,使∠APB 始终保持 60° ,求动点 P 的轨迹方程. 【解析】 由已知在 Rt△CAP 中,∠CAP=90° ,∠APC=30° |CA|=2,则|PC|=4,∴P 点轨迹是以 C(-1,3)为圆心,4 为半径的圆. 故动点 P 的轨迹方程为(x+1)2+(y-3)2=16. 11.(15 分)设 F(m,0)(m>0)为定点,P,M,N 为动点,且 P,M 分别在 y 轴和 x 轴上,
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→ → → → 若PM· =0,PN+PM=0,求点 N 的轨迹 C 的方程. PF 【解析】 设 N(x,y),M(x0,0),P(0,y0), → → → 则PM=(x0,-y0),PF=(m,-y0),PN=(x,y-y0), → → 由PM· =0,得 mx0+y2=0, PF 0 → → 由PN+PM=0,得(x0+x,y-2y0)=0,

?x0=-x ? ∴将? 代入 mx0+y2=0,得 y2=4mx 即为所求. y 0 y0= ? 2 ?
12.(16 分)已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0). (1)求线段 PQ 的中点的轨迹方程; (2)设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R(O 为原点),求点 R 的轨迹方程. 【解析】 (1)设线段 PQ 的中点坐标为 M(x,y),由 Q(4,0)可得点 P(2x-4,2y),代入圆 的方程 x2+y2=4 可得(2x-4)2+(2y)2=4,整理可得所求轨迹方程为(x-2)2+y2=1. (2)设点 R(x,y),P(m,n),由已知|OP|=2,|OQ|=4, ∴ |OP| 1 |OP| |PR| 1 = ,由角平分线性质可得 = = . |OQ| 2 |OQ| |RQ| 2

1 → 1→ → 又∵点 R 在线段 PQ 上,∴PR= RQ,∴点 R 分有向线段PQ的比为 ,由定比分点坐标 2 2 公式可得

? ? ? n+1×0 ?y= 2 1 =2n, ? 1+2 3
∴点 P 的坐标为?

1 m+ ×4 2 2m+4 x= = , 1 3 1+ 2

?m=3x-4, 2 即? 3y ?n= 2 ,

3x-4 3y? 2 2 ?3x-4?2 ?3y?2 ? 2 , 2 ?,代入圆的方程 x +y =4 可得? 2 ? +? 2 ? =4,即

?x-4?2+y2=16(y≠0). ? 3? 9
4 16 ∴点 R 的轨迹方程为?x-3?2+y2= (y≠0). ? ? 9

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