kl800.com省心范文网

3-7第七节 正弦定理、余弦定理应用举例练习题(2015年高考总复习)


第七节

正弦定理、余弦定理应用举例
时间:45 分钟 分值:75 分

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

1.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等 于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南 偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km C. 2a km )

B. 3a km D.2a km

解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120° ,在△ACB 中,
? 1? 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° =2a2-2a2×?-2?= ? ?

3a2, ∴AB= 3a. 答案 B

2.张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的 公路行驶,在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30° 方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75° 方向上,则电动车 在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A.2 2 km ) B.3 2 km

1

C.3 3 km

D.2 3 km

15 解析 如图,由条件知 AB=24×60=6,在△ABS 中,∠BAS= 30° ,AB=6,∠ABS=180° -75° =105° ,所以∠ASB=45° .由正弦定 BS AB AB 理知sin30° =sin45° ,所以 BS=sin45° sin30° =3 2. 答案 B

3. 轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C, 两艘轮船航行方向 的夹角为 120° , 轮船 A 的航行速度是 25 海里/小时, 轮船 B 的航行速 度是 15 海里/小时,下午 2 时两船之间的距离是( A.35 海里 C.35 3海里 B.35 2海里 D.70 海里 )

解析 设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别是 E,F, 则依题意有 CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120° , EF= CE2+CF2-2CE· CFcos120° = 502+302-2×50×30cos120° =70. 答案 D

4.(2014· 济南调研)为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30° ,测得塔基 B 的俯角为 45° ,那么塔 AB 的高度是( )
2

A.20?1+
?

?

3? ? m 3?

B.20?1+
?

?

3? ? m 2?

C.20(1+ 3) m

D.30 m

解析 如图所示,由已知可知,四边形 CBMD 为正方形,CB= 20 m,所以 BM=20 m.又在 Rt△AMD 中, DM=20 m,∠ADM=30° , 20 ∴AM=DMtan30° = 3 3(m). 20 ∴AB=AM+MB= 3 3+20 =20?1+
? ?

3? ?(m). 3?

答案

A

π 5.(2013· 天津卷)在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 10 A. 10 3 10 C. 10 ) 10 B. 5 5 D. 5

解析 由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos∠ABC=( 2)2+ 2 32-2× 2×3× 2 =5,所以 AC= 5,再由正弦定理:sin∠BAC=
3

2 3× 2 sin∠ABC 3 10 · BC = = AC 10 . 5 答案 C

6.(2014· 滁州调研)线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始多少 h 后,两车的距离最小( 69 A.43 70 C.43 B.1 D.2 )

解析 如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行 驶到 E,则 AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200-80t, 问题就是求 DE 最小时 t 的值.

由余弦定理,得 DE2=BD2+BE2-2BD· BEcos60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)· 50t =12 900t2-42 000t+40 000. 70 当 t=43时,DE 最小. 答案 C

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)

4

7.已知 A,B 两地的距离为 10 km,B,C 两地的距离为 20 km, 现测得∠ABC=120° ,则 A、C 两地的距离为________km.

解析 如右图所示,由余弦定理可得: AC2=100+400-2×10×20×cos120° =700, ∴AC=10 7(km). 答案 10 7 8.如下图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此 时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相距 8 2n mile.此船的 航速是________n mile/h.

解析 设航速为 v n mile/h 1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2,∠BSA=45° , 1 2v 8 2 由正弦定理得:sin30° =sin45° ,
5

∴v=32(n mile/h). 答案 32

9.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D, 测得∠BDC=45° , 则塔 AB 的高是________ 米. 解析 在△BCD 中 , CD=10, ∠BDC=45° , ∠BCD=15° +90° BC CD =105° ,∠DBC=30° ,sin45° =sin30° , CDsin45° BC= sin30° =10 2(米). AB 在 Rt△ABC 中,tan60° =BC,AB=BCtan60° =10 6(米). 答案 10 6 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.(2014· 台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正 好处于坡度 15° 的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后 一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距 离为 10 6米(如图所示), 旗杆底部与第一排在一个水平面上. 若国歌 长度约为 50 秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?

6

解 在△BCD 中,∠BDC=45° ,∠CBD=30° ,CD=10 6,由 CDsin45° 正弦定理,得 BC= sin30° =20 3. 3 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60° =20 3× 2 =30(米),所以升旗 AB 30 速度 v= t =50=0.6(米/秒). 11.

如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观 测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发 出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的 救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点 需要多长时间? 解 由题意,知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90° -60° =30° , ∠DAB=90° -45° =45° ,
7

∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . 在△DAB 中,由正弦定理,得 DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB 于是 DB= AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° = sin105° sin∠ADB

5?3+ 3?· sin45° = sin45° cos60° +cos45° sin60° = 5 3? 3+1? =10 3(海里). 3 +1 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3 (海里), 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC 1 =300+1 200-2×10 3×20 3×2=900. 得 CD=30(海里), 30 故需要的时间 t=30=1(小时), 即救援船到达 D 点需要 1 小时. 12.

(2013· 江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处 有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘
8

缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min, 山 12 3 路 AC 长为 1 260 m,经测量,cosA=13,cosC=5. (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行 的速度应控制在什么范围内? 解 12 3 (1)在△ABC 中,因为 cosA=13,cosC=5,

5 4 所以 sinA=13,sinC=5. 从而 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 =sinAcosC+cosAsinC=13×5+13×5=65. AB AC AC 由正弦定理sinC=sinB,得 AB=sinB×sinC= 1 260 4 63 ×5=1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走 了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×13=200(37t2+ 70t+50),

9

1 040 35 因 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8,故当 t=37(min)时,甲、乙两游客 距离最短. BC AC AC 1 260 5 (3) 由正弦定理 sinA = sinB ,得 BC = sinB ×sinA = 63 × 13 = 65 500(m).乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 1 250 625 ≤ v ≤ 43 14 ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 1 250 625 分钟,乙步行的速度应控制在[ 43 , 14 ](单位:m/min)范围内.

10


...3章-第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例]

【课堂新坐标】2015高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第3章-第7节 正弦定理余弦定理应用举例]_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】2015高考数学(理)...

3-6第六节 正弦定理和余弦定理练习题(2015年高考总复习)

3-6第六节 正弦定理余弦定理练习题(2015年高考总复习)_高考_高中教育_教育...2×2×?7-b? 答案 4 8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b...

...数学一轮复习 正弦定理和余弦定理的应用举例练习 新...

2015高考数学一轮复习 正弦定理余弦定理应用举例练习 新人教A版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。必修Ⅴ-02 知识填空: 1、三角形中的边角关系: (...

...轮复习: 第3章 第7节 正弦定理、余弦定理应用举例

2018届高三数学(人教A版)一轮复习: 第3第7节 正弦定理余弦定理应用举例...3× 2 = 300=10 3(m).] 测量高度问题 (2015· 湖北高考)如图 376,一辆...

2015届高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理的应用举例...

2015高考数学一轮复习 正弦定理余弦定理应用举例达标练习 新人教A版必修5...4 3 C、 4 6 D、 3 ) (2)在 ABC中,已知 a= 5,b= 7,A= 30 0,...

山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测24正弦定理...

山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测24正弦定理余弦定理应用举例 Word...综合应用 3 满分:80 分)命题报告 题号及难度 基础 1,4,7 2,8 中档 10 ...

...三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例

浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例_数学_高中教育_教育专区。第七节 正弦定理余弦定理应用举例 1.仰角和俯角 在...

《3.7第七节 正弦定理和余弦定理》 教案

3.7第七节 正弦定理余弦定理》 教案_数学_高中教育_教育专区。一轮复习标准...【题干】(2012· 江西高考)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C ...

2015高考数学(理)一轮复习迎战2年高考模拟:3-7正弦定理...

2015高考数学(理)一轮复习迎战2年高考模拟:3-7正弦定理余弦定理]_高中教育_教育专区。2015高考数学(理)一轮复习迎战2年高考模拟:3-7正弦定理余弦定理]04...

...复习构想练习:3.8 正弦定理、余弦定理应用举例 Word...

【师说】2015高考雄关漫道新课标数学文全程复习构想练习:3.8 正弦定理余弦定理应用举例 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。3.8 正弦定理余弦定理应用举例 一...