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九年级数学二次函数应用题专题复习


多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。

二次函数应用题专题复习(含答案)
例 1、 实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后, 1.5 小时内其血液中酒精含量 y (毫克/百毫升) 与时间 x (时)
的关系可近似地用二次函数 y=﹣200x2+400x 刻画;1.5 小时后(包括 1.5 小时)y 与 x 可近似地用反比例函数 y= (k>0)刻画(如图所示). (1)根据上述数学模型计算: ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当 x=5 时,y=45,求 k 的值. (2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫 升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚 上 20:00 在家喝完半斤低度白酒,第二天早上 7:00 能否驾车去上班?请说 明理由.



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 例 2、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为 20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售 价不低于 20 元且不高于 28 元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y(本)与每本纪念册的售价 x (元)之间满足一次函数关系:当销售单价为 22 元时,销售量为 36 本;当销售单价为 24 元时,销售量为 32 本. (1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元? (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?

例 3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台, 空调的采购单价 y1 (元/台)与采购数量 x1(台) 满足 y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1 为整数);冰箱的采购单价 y2(元/台)与采购数量 x2(台)满足 y2= ﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2 为整数). (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的 家共有几种进货方案? (2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下, 问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润. ,且空调采购单价不低于 1200 元,问该商



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 例 4、九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天(1≤x≤90,且 x 为整数)的售 价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为 30 元/件,设该商品的售价为 y(单位:元/件),每天的 销售量为 p(单位:件),每天的销售利润为 w(单位:元). 1 30 60 90 时间 x(天) 198 140 80 20 每天销售量 p(件) (1)求出 w 与 x 的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润; (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元?请直接写出结果.

例 5、(2016?绥化)自主学习,请阅读下列解题过程. 2 解一元二次不等式:x ﹣5x>0. 2 2 解:设 x ﹣5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线 y=x ﹣5x 与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出 2 二次函数 y=x ﹣5x 的大致图象(如图所示),由图象可知:当 x<0,或 x>5 时函数图象位于 x 轴上方, 2 2 此时 y>0,即 x ﹣5x>0,所以,一元二次不等式 x ﹣5x>0 的解集为:x<0,或 x>5. 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题: (1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的 和 .(只填序号) ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 2 (2)一元二次不等式 x ﹣5x<0 的解集为 . 2 (3)用类似的方法解一元二次不等式:x ﹣2x﹣3>0.



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 例 6、(2016?黄石)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园. 如图所示,图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8:30 开门后经过的时间(分钟),纵坐标 y 表示到达科技馆 的总人数.图中曲线对应的函数解析式为 y= ,10:00 之后来的游客较少可

忽略不计. (1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过 684 人,后来的人在馆外休息区等待.从 10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆 4 人,直到馆内人数减少到 624 人时,馆外等待的游客 可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。

对应练习:
1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度 h(米)和运行时间 t(秒)的函数解析式为 h=﹣5t +10t+1, 那么小球到达最高点时距离地面的高度是( ) A.1 米 B.3 米 C.5 米 D.6 米 2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润 y(单位:万元)与销售 量 x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x +10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售 15 辆该品牌的汽车, 则能获得的最大利润为( ) A.30 万元 B.40 万元 C.45 万元 D.46 万元 3.向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax +bx.若此炮弹在第 7 秒与 第 14 秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( ) A.第 9.5 秒 B.第 10 秒 C.第 10.5 秒 D.第 11 秒 4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于 y 轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点 C 在 x 轴上,高 CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为( )
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A.y= (x+3) B.y=

2

(x+3)

2

C.y= (x﹣3) D.y=

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(x﹣3)

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5.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系 式是 ( ) A.2s B.4s ,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为

C.6s

D.8s
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6 一小球被抛出后,距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t +20t﹣14, 则小球距离地面的最大高度是( ) A.2 米 B.5 米 C.6 米 D.14 米 7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系 式是 A.3s B.4s C.5s , 若这种礼炮在点火升空到最高点引爆, 则从点火升空到引爆需要的时间为 ( D.6s (x>0),若该车某 )

8.某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 y=

次的刹车距离为 5m,则开始刹车时的速度为( ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s 9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽 4 米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米,水面 下降 1 米时,水面的宽度为 _________ 米.



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 10.如图的一座拱桥,当水面宽 AB 为 12m 时,桥洞顶部离水面 4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平 方向为 x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y=﹣ (x﹣6) +4,则 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 _________ .
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11.某种商品每件进价为 20 元,调查表明:在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30,且 x 为整数)出售, 可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 _________ 元. 12.在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果 P(x,y)是 △ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w=xy 取得最大值时,点 P 的坐标是 _________ . 13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度 y(米)关于水平距离 x(米)的函数解析式 ,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 _________ 米.

14.某种工艺品利润为 60 元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润 w(元)与降价 x(元)的函数关系 如图.这种工艺品的销售量为 _________ 件(用含 x 的代数式表示). 15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件 20 元,调查发现当销售价为 24 元时,平均每 天能售出 32 件,而当销售价每上涨 2 元,平均每天就少售出 4 件. (1)若公司每天的现售价为 x 元时则每天销售量为多少? (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元,该公司想要每天获得 150 元的销售利润, 销售价应当为多少元?



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 16.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为 10 元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规 定这种产品的销售价不高于 18 元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/ 千克)之间的函数关系如图所示: (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的 销售利润最大?最大利润是多少? (3)该经销商想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为多少?

17.某研究所将某种材料加热到 1000℃时停止加热,并立即将材料分为 A、B 两组,采用不同工艺做降温 对比实验,设降温开始后经过 x min 时,A、B 两组材料的温度分别为 yA℃、yB℃,yA、yB 与 x 的函数关 系式分别为 yA=kx+b,yB= (x﹣60) +m(部分图象如图所示),当 x=40 时,两组材料的温度相同. (1)分别求 yA、yB 关于 x 的函数关系式; (2)当 A 组材料的温度降至 120℃时,B 组材料的温度是多少? (3)在 0<x<40 的什么时刻,两组材料温差最大?
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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 18.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是 50 元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销 售单价是 100 元时,每天的销售量是 50 件,而销售单价每降低 1 元,每天就可多售出 5 件,但要求销售单 价不得低于成本. (1)求出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元,且每天的总成本不超过 7000 元,那么销售单价应控 制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本× 每天的销售量)

19.某种商品每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间满足关系:y=ax +bx﹣75.其图象如图所示. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于 16 元?

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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。

参考答案与点评
例 1、 实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后, 1.5 小时内其血液中酒精含量 y (毫克/百毫升) 与时间 x (时)
的关系可近似地用二次函数 y=﹣200x2+400x 刻画;1.5 小时后(包括 1.5 小时)y 与 x 可近似地用反比例函数 y= (k>0)刻画(如图所示). (1)根据上述数学模型计算: ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当 x=5 时,y=45,求 k 的值. (2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾 车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上 20:00 在家喝完半斤低度白酒,第二天早上 7:00 能否驾 车去上班?请说明理由.

考点: 二次函数的应用;反比例函数的应用 分析: (1)①利用 y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200 确定最大值; ②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可; (2)求出 x=11 时,y 的值,进而得出能否驾车去上班. 解答: 解:(1)①y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200, ∴喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为 200(毫克/百毫升); ②∵当 x=5 时,y=45,y=(k>0), ∴k=xy=45× 5=225;

(2)不能驾车上班; 理由:∵晚上 20:00 到第二天早上 7:00,一共有 11 小时, ∴将 x=11 代入 y= ,则 y= >20,



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴第二天早上 7:00 不能驾车去上班. 例 2、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为 20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售 价不低于 20 元且不高于 28 元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y(本)与每本纪念册的售价 x (元)之间满足一次函数关系:当销售单价为 22 元时,销售量为 36 本;当销售单价为 24 元时,销售量为 32 本. (1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元? (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少? 【分析】(1)设 y=kx+b,根据题意,利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可; (2)根据题意结合销量×每本的利润=150,进而求出答案; (3)根据题意结合销量×每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案. 【解答】解:(1)设 y=kx+b, 把(22,36)与(24,32)代入得: 解得: , ,

则 y=﹣2x+80; (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是 x 元, 根据题意得:(x﹣20)y=150, 则(x﹣20)(﹣2x+80)=150, 整理得:x ﹣60x+875=0, (x﹣25)(x﹣35)=0, 解得:x1=25,x2=35(不合题意舍去), 答:每本纪念册的销售单价是 25 元; (3)由题意可得: w=(x﹣20)(﹣2x+80) =﹣2x +120x﹣1600 2 =﹣2(x﹣30) +200, 此时当 x=30 时,w 最大, 又∵售价不低于 20 元且不高于 28 元, ∴x<30 时,y 随 x 的增大而增大,即当 x=28 时,w 最大=﹣2(28﹣30) +200=192(元), 答:该纪念册销售单价定为 28 元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是 192 元. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识, 正确利用销量×每本的利润=w 得出函数关系式是解题关键. 例 3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台, 空调的采购单价 y1 (元/台)与采购数量 x1(台) 满足 y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1 为整数);冰箱的采购单价 y2(元/台)与采购数量 x2(台)满足 y2= ﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2 为整数).
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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的 家共有几种进货方案? (2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下, 问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润. ,且空调采购单价不低于 1200 元,问该商

考点: 二次函数的应用;一元一次不等式组的应用.菁优网 分析: (1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,然后根据数量和单价列出不 等式组,求解得到 x 的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方案; (2)设总利润为 W 元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关系式并整理成顶 点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可. 解答: 解:(1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台, 由题意得, 解不等式①得,x≥11, 解不等式②得,x≤15, 所以,不等式组的解集是 11≤x≤15, ∵x 为正整数, ∴x 可取的值为 11、12、13、14、15, 所以,该商家共有 5 种进货方案; ,

(2)设总利润为 W 元, y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100, 则 W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2, =1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x), =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000, =30x2﹣540x+12000, =30(x﹣9)2+9570, 当 x>9 时,W 随 x 的增大而增大, ∵11≤x≤15,



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴当 x=15 时,W 最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元), 答:采购空调 15 台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650 元. 点评: 本题考查了二次函数的应用, 一元一次不等式组的应用, (1) 关键在于确定出两个不等关系, (2) 难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式.

例 4、九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天(1≤x≤90,且 x 为整数)的售 价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为 30 元/件,设该商品的售价为 y(单位:元/件),每天的 销售量为 p(单位:件),每天的销售利润为 w(单位:元). 1 30 60 90 时间 x(天) 198 140 80 20 每天销售量 p(件) (1)求出 w 与 x 的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润; (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元?请直接写出结果.

【分析】(1)当 1≤x≤50 时,设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b,由点的坐标利用待定系 数法即可求出此时 y 关于 x 的函数关系式,根据图形可得出当 50<x≤90 时,y=90.再结合给定表格,设 每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n, 套入数据利用待定系数法即可求出 p 关于 x 的函数关系 式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出 w 关于 x 的函数关系式; (2)根据 w 关于 x 的函数关系式,分段考虑其最值问题.当 1≤x≤50 时,结合二次函数的性质即可求出 在此范围内 w 的最大值;当 50<x≤90 时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值,两个最 大值作比较即可得出结论; (3)令 w≥5600,可得出关于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出 x 的取值范围, 由此即可得出结论. 【解答】解:(1)当 1≤x≤50 时,设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b(k、b 为常数且 k≠ 0), ∵y=kx+b 经过点(0,40)、(50,90), ∴ ,解得: ,

∴售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=x+40; 当 50<x≤90 时,y=90. ∴售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y= 由数据可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系, .



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n(m、n 为常数,且 m≠0), ∵p=mx+n 过点(60,80)、(30,140), ∴ ,解得: ,

∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且 x 为整数), 当 1≤x≤50 时,w=(y﹣30)?p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x +180x+2000; 当 50<x≤90 时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000. 综上所示,每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是 w=
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(2)当 1≤x≤50 时,w=﹣2x +180x+2000=﹣2(x﹣45) +6050, ∵a=﹣2<0 且 1≤x≤50, ∴当 x=45 时,w 取最大值,最大值为 6050 元. 当 50<x≤90 时,w=﹣120x+12000, ∵k=﹣120<0,w 随 x 增大而减小, ∴当 x=50 时,w 取最大值,最大值为 6000 元. ∵6050>6000, ∴当 x=45 时,w 最大,最大值为 6050 元. 即销售第 45 天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是 6050 元. (3)当 1≤x≤50 时,令 w=﹣2x +180x+2000≥5600,即﹣2x +180x﹣3600≥0, 解得:30≤x≤50, 50﹣30+1=21(天); 当 50<x≤90 时,令 w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0, 解得:50<x≤53 , ∵x 为整数, ∴50<x≤53, 53﹣50=3(天). 综上可知:21+3=24(天), 故该商品在销售过程中,共有 24 天每天的销售利润不低于 5600 元. 【点评】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数 法求函数解析式,解题的关键:(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式;(2)利用二次函数 与一次函数的性质解决最值问题;(3)得出关于 x 的一元一次和一元二次不等式.本题属于中档题,难度 不大,但较繁琐,解决该题型题目时,根据给定数量关系,找出函数关系式是关键. 例 5、(2016?绥化)自主学习,请阅读下列解题过程. 2 解一元二次不等式:x ﹣5x>0. 2 2 解:设 x ﹣5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线 y=x ﹣5x 与 x 轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出 2 二次函数 y=x ﹣5x 的大致图象(如图所示),由图象可知:当 x<0,或 x>5 时函数图象位于 x 轴上方, 2 2 此时 y>0,即 x ﹣5x>0,所以,一元二次不等式 x ﹣5x>0 的解集为:x<0,或 x>5. 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题: (1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的 ① 和 ③ .(只填序号) ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想 2 (2)一元二次不等式 x ﹣5x<0 的解集为 0<x<5 .
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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 (3)用类似的方法解一元二次不等式:x ﹣2x﹣3>0.
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【分析】(1)根据题意容易得出结论; (2)由图象可知:当 0<x<5 时函数图象位于 x 轴下方,此时 y<0,即 x ﹣5x<0,即可得出结果; 2 2 2 (3)设 x ﹣2x﹣3=0,解方程得出抛物线 y=x ﹣2x﹣3 与 x 轴的交点坐标,画出二次函数 y=x ﹣,2x﹣3 2 的大致图象,由图象可知:当 x<﹣1,或 x>5 时函数图象位于 x 轴上方,此时 y>0,即 x ﹣5=2x﹣3>0, 即可得出结果. 【解答】解:(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的①和③; 故答案为:①,③; (2)由图象可知:当 0<x<5 时函数图象位于 x 轴下方, 此时 y<0,即 x ﹣5x<0, 2 ∴一元二次不等式 x ﹣5x<0 的解集为:0<x<5; 故答案为:0<x<5. (3)设 x ﹣2x﹣3=0, 解得:x1=3,x2=﹣1, 2 ∴抛物线 y=x ﹣2x﹣3 与 x 轴的交点坐标为(3,0)和(﹣1,0). 2 画出二次函数 y=x ﹣2x﹣3 的大致图象(如图所示), 由图象可知:当 x<﹣1,或 x>3 时函数图象位于 x 轴上方, 此时 y>0,即 x ﹣2x﹣3>0, 2 ∴一元二次不等式 x ﹣2x﹣3>0 的解集为:x<﹣1,或 x>3.
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【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与 x 轴的交点坐标、一元二次 方程的解法等知识;熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键. 例 6、(2016?黄石)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园. 如图所示,图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8:30 开门后经过的时间(分钟),纵坐标 y 表示到达科技馆 的总人数.图中曲线对应的函数解析式为 y= 忽略不计. ,10:00 之后来的游客较少可



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 (1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过 684 人,后来的人在馆外休息区等待.从 10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆 4 人,直到馆内人数减少到 624 人时,馆外等待的游客 可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?

【分析】(1)构建待定系数法即可解决问题. (2)先求出馆内人数等于 684 人时的时间,再求出直到馆内人数减少到 624 人时的时间,即可解决问题. 【解答】解(1)由图象可知,300=a×30 ,解得 a= , n=700,b×(30﹣90) +700=300,解得 b=﹣ ,
2 2

∴y=



(2)由题意﹣ (x﹣90) +700=684, 解得 x=78, ∴ =15,

2

∴15+30+(90﹣78)=57 分钟 所以,馆外游客最多等待 57 分钟. 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用方 程的思想思考问题,属于中考常考题型.

反馈练习参考答案与试题解析
一.选择题(共 8 小题) 2 1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度 h(米)和运行时间 t(秒)的函数解析式为 h=﹣5t +10t+1, 那么小球到达最高点时距离地面的高度是( ) A. 1 米 B.3 米 C.5 米 D. 6米 考点: 二次函数的应用. 分析: 直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案. 2 解答: 解:h=﹣5t +10t+1 2 =﹣5(t ﹣2t)+1



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 =﹣5(t﹣1) +6, 故小球到达最高点时距离地面的高度是:6m. 故选:D. 点评: 此题主要考查了二次函数的应用,正确利用配方法求出是解题关键. 2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润 y(单位:万元)与销售 量 x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x +10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售 15 辆该品牌的汽车, 则能获得的最大利润为( ) A. 30 万元 B.40 万元 C.45 万元 D. 46 万元 考点: 分析: 解答:
2 2 2

二次函数的应用. 首先根据题意得出总利润与 x 之间的函数关系式,进而求出最值即可. 解:设在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15﹣x)量,根据题意得出:
2

W=y1+y2=﹣x +10x+2(15﹣x)=﹣x +8x+30, ∴最大利润为: 故选:D. 点评: = =46(万元),

此题主要考查了二次函数的应用,得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键.
2

3.向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax +bx.若此炮弹在第 7 秒与 第 14 秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( ) A. 第 9.5 秒 B.第 10 秒 C.第 10.5 秒 D. 第 11 秒 考点: 分析: 二次函数的应用. 根据题意,x=7 时和 x=14 时 y 值相等,因此得到关于 a,b 的关系式,代入到 x=﹣ 中求

x 的值. 解答: 解:当 x=7 时,y=49a+7b; 当 x=14 时,y=196a+14b. 根据题意得 49a+7b=196a+14b, ∴b=﹣21a, 根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下, 当 x=﹣ =10.5 时,y 最大即高度最高.

因为 10 最接近 10.5. 故选:C. 点评: 此题主要考查了二次函数的应用,根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关 键. 4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于 y 轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点 C 在 x 轴上,高 CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为( )



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。

A. y= (x+3)

2

B.y=

(x+3)

2

C.y= (x﹣3) D. y=

2

(x﹣3)

2

考点: 二次函数的应用. 专题: 应用题. 分析: 利用 B、D 关于 y 轴对称,CH=1cm,BD=2cm 可得到 D 点坐标为(1,1),由 AB=4cm, 最低点 C 在 x 轴上,则 AB 关于直线 CH 对称,可得到左边抛物线的顶点 C 的坐标为(﹣3,0),于是得 到右边抛物线的顶点 C 的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式. 解答: 解:∵高 CH=1cm,BD=2cm, 而 B、D 关于 y 轴对称, ∴D 点坐标为(1,1), ∵AB∥x 轴,AB=4cm,最低点 C 在 x 轴上, ∴AB 关于直线 CH 对称, ∴左边抛物线的顶点 C 的坐标为(﹣3,0), ∴右边抛物线的顶点 C 的坐标为(3,0), 2 设右边抛物线的解析式为 y=a(x﹣3) , 把 D(1,1)代入得 1=a× (1﹣3) ,解得 a= , 故右边抛物线的解析式为 y= (x﹣3) . 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数的应用:利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来, 再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题. 5.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系 式是 ( ) A. 2s ,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为
2 2

B.4s

C.6s

D.

8s

考点: 二次函数的应用. 分析: 礼炮在点火升空到最高点处引爆,故求 h 的最大值. 解答: 解:由题意知 礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是: , ∵ <0



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴当 t=4s 时,h 最大为 40m, 故选 B. 点评: 本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题. 6.一小球被抛出后,距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t +20t﹣14, 则小球距离地面的最大高度是( ) A. 2 米 B.5 米 C.6 米 D. 14 米 考点: 分析: 二次函数的应用. 把二次函数的解析式化成顶点式,即可得出小球距离地面的最大高度.
2 2

解答: 解:h=﹣5t +20t﹣14 2 =﹣5(t ﹣4t)﹣14 2 =﹣5(t ﹣4t+4)+20﹣14 2 =﹣5(t﹣2) +6, ﹣5<0, 则抛物线的开口向下,有最大值, 当 t=2 时,h 有最大值是 6 米. 故选:C. 点评: 本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值, 把函数式化成顶点式是解题关键. 7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系 式是 A. 3s 考点: 专题: 分析: 解答: ∴t=﹣ =﹣ , 若这种礼炮在点火升空到最高点引爆, 则从点火升空到引爆需要的时间为 ( B.4s 二次函数的应用. 计算题;应用题. 到最高点爆炸,那么所需时间为﹣ . C.5s D. 6s )

解:∵礼炮在点火升空到最高点引爆, =4s.

故选 B. 点评: 关键.

考查二次函数的应用;判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的

8.某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 y= 次的刹车距离为 5m,则开始刹车时的速度为( ) A. 40 m/s B.20 m/s C.10 m/s 考点: 专题: 二次函数的应用. 应用题.

(x>0),若该车某

D.

5 m/s



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 分析: 解答: 本题实际是告知函数值求自变量的值,代入求解即可,另外实际问题中,负值舍去. 解:当刹车距离为 5m 时,即可得 y=5, x.
2

代入二次函数解析式得:5=

解得 x=± 10,(x=﹣10 舍), 故开始刹车时的速度为 10m/s. 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数的应用,明确 x、y 代表的实际意义,刹车距离为 5m,即是 y=5,难 度一般. 二.填空题(共 6 小题) 9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽 4 米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米,水面 下降 1 米时,水面的宽度为 米.

考点: 二次函数的应用. 专题: 函数思想. 分析: 根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把 y=﹣1 代入抛物线解析式 得出水面宽度,即可得出答案. 解答: 解:建立平面直角坐标系,设横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点,则通 过画图可得知 O 为原点,

抛物线以 y 轴为对称轴, 且经过 A, B 两点, OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米, 抛物线顶点 C 坐标为 (0, 2), 2 通过以上条件可设顶点式 y=ax +2,其中 a 可通过代入 A 点坐标(﹣2,0), 2 到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为 y=﹣0.5x +2, 当水面下降 1 米,通过抛物线在图上的观察可转化为: 当 y=﹣1 时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线 y=﹣1 与抛物线相交的两点之间的距离, 可以通过把 y=﹣1 代入抛物线解析式得出: ﹣1=﹣0.5x +2, 解得:x= , 所以水面宽度增加到 故答案为: 米.
2

米,



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 点评: 题的关键. 此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问

10.如图的一座拱桥,当水面宽 AB 为 12m 时,桥洞顶部离水面 4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平 方向为 x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y=﹣ (x﹣6) +4,则 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 y=﹣ (x+6) +4 .
2 2

考点: 专题: 分析:

二次函数的应用. 数形结合. 根据题意得出 A 点坐标,进而利用顶点式求出函数解析式即可.
2

解答: 解:由题意可得出:y=a(x+6) +4, 2 将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6) +4, 解得:a=﹣ , ∴选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是:y=﹣ (x+6) +4. 故答案为:y=﹣ (x+6) +4.
2 2

点评:

此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键.

11.某种商品每件进价为 20 元,调查表明:在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30,且 x 为整数)出售, 可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 25 元. 考点: 二次函数的应用. 专题: 销售问题. 分析: 本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润× 销售量,每件利润=每件售价﹣每件进 价.再根据所列二次函数求最大值. 解答: 解:设最大利润为 w 元, 2 则 w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25) +25, ∵20≤x≤30,



20



多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴当 x=25 时,二次函数有最大值 25, 故答案是:25. 点评: 本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数 学建模题,借助二次函数解决实际问题. 12.在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果 P(x,y)是 △ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w=xy 取得最大值时,点 P 的坐标是 ( ,5) .

考点: 二次函数的应用. 专题: 压轴题. 分析: 分别求得线段 AB、线段 AC、线段 BC 的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的 最大值,再进一步比较. 解答: 解:线段 AB 的解析式是 y= x+1(0≤x≤4), +x,

此时 w=x( x+1)= 则 x=4 时,w 最大=8;

线段 AC 的解析式是 y= x+1(0≤x≤2), 此时 w=x( x+1)= +x,

此时 x=2 时,w 最大=12; 线段 BC 的解析式是 y=﹣2x+10(2≤x≤4), 此时 w=x(﹣2x+10)=﹣2x +10x, 此时 x= 时,w 最大=12.5. 综上所述,当 w=xy 取得最大值时,点 P 的坐标是( ,5). 点评: 此题综合考查了二次函数的一次函数,能够熟练分析二次函数的最值.
2

13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度 y(米)关于水平距离 x(米)的函数解析式 ,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米.

考点: 分析:

二次函数的应用. 直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 解答: 解:∵函数解析式为: ,

∴y 最值=

=

=2.

故答案为:2. 点评: 此题主要考查了二次函数的应用,正确记忆最值公式是解题关键. 14.某种工艺品利润为 60 元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润 w(元)与降价 x(元)的函数关系 如图.这种工艺品的销售量为 (60+x) 件(用含 x 的代数式表示).

考点: 二次函数的应用. 2 分析: 由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式 w=mx +n,设销售量为 a,代 入函数的解析式,即可得到 a 和 x 的关系. 解答: ∴ 解得:
2

解:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式 w=mx +n, , ,

2

∴w=﹣x +3600, 设销售量为 a,则 a(60﹣x)=w, 2 即 a(60﹣x)=﹣x +3600, 解得:a=(60+x ), 故答案为:(60+x). 点评: 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决 实际问题,用的知识点为:因式分解,题目设计比较新颖,同时也考查了学生的逆向思维思考问题. 三.解答题(共 8 小题) 15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件 20 元,调查发现当销售价为 24 元时,平均每 天能售出 32 件,而当销售价每上涨 2 元,平均每天就少售出 4 件. (1)若公司每天的现售价为 x 元时则每天销售量为多少? (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元,该公司想要每天获得 150 元的销售利润, 销售价应当为多少元? 考点: 二次函数的应用.



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 分析: (1)由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论; (2)由每件的利润× 数量=总利润建立方程求出其解即可. 解答: 解:(1)由题意,得 32﹣ × 4=80﹣2x.

答:每天的现售价为 x 元时则每天销售量为(80﹣2x)件; (2)由题意,得 (x﹣20)(80﹣2x)=150, 解得:x1=25,x2=35. ∵x≤28, ∴x=25. 答:想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应当为 25 元. 点评: 本题考查了销售问题的数量关系每件的利润× 数量=总利润的运用,列一元二次方程解实际 问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键.

16.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为 10 元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规 定这种产品的销售价不高于 18 元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/ 千克)之间的函数关系如图所示: (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的 销售利润最大?最大利润是多少? (3)该经销商想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为多少?

考点: 二次函数的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)设函数关系式 y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出 k 和 b 即可,由成本价 为 10 元/千克,销售价不高于 18 元/千克,得出自变量 x 的取值范围; (2)根据销售利润=销售量× 每一件的销售利润得到 w 和 x 的关系,利用二次函数的性质得最值即可; (3)先把 y=150 代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出 x,再根据 x 的取值范围即可确定 x 的 值. 解答: 解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得 , 解得 ,



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多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴y 与 x 之间的函数关系式 y=﹣2x+60(10≤x≤18); (2)W=(x﹣10)(﹣2x+60) =﹣2x +80x﹣600, 对称轴 x=20,在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增大, ∵10≤x≤18, ∴当 x=18 时,W 最大,最大为 192. 即当销售价为 18 元时,每天的销售利润最大,最大利润是 192 元. (3)由 150=﹣2x +80x﹣600, 解得 x1=15,x2=25(不合题意,舍去) 答:该经销商想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定为 15 元. 点评: 本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,结合实际 情况利用二次函数的性质解决问题. 17.某研究所将某种材料加热到 1000℃时停止加热,并立即将材料分为 A、B 两组,采用不同工艺做降温 对比实验,设降温开始后经过 x min 时,A、B 两组材料的温度分别为 yA℃、yB℃,yA、yB 与 x 的函数关 系式分别为 yA=kx+b,yB= (x﹣60) +m(部分图象如图所示),当 x=40 时,两组材料的温度相同. (1)分别求 yA、yB 关于 x 的函数关系式; (2)当 A 组材料的温度降至 120℃时,B 组材料的温度是多少? (3)在 0<x<40 的什么时刻,两组材料温差最大?
2 2 2

考点: 二次函数的应用. 专题: 应用题;数形结合. 分析: (1)首先求出 yB 函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出 yA 函数关系式; (2)首先将 y=120 代入求出 x 的值,进而代入 yB 求出答案; (3)得出 yA﹣yB 的函数关系式,进而求出最值即可. 解答: 解:(1)由题意可得出:yB= (x﹣60) +m 经过(0,1000),
2 2

则 1000= (0﹣60) +m, 解得:m=100, ∴yB= (x﹣60) +100,
2



24



多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 当 x=40 时,yB= × (40﹣60) +100, 解得:yB=200, yA=kx+b,经过(0,1000),(40,200),则 解得: , ,
2

∴yA=﹣20x+1000; (2)当 A 组材料的温度降至 120℃时, 120=﹣20x+1000, 解得:x=44, 当 x=44,yB= (44﹣60) +100=164(℃), ∴B 组材料的温度是 164℃; (3)当 0<x<40 时,yA﹣yB=﹣20x+1000﹣ (x﹣60) ﹣100=﹣ x +10x=﹣ (x﹣20) +100, ∴当 x=20 时,两组材料温差最大为 100℃. 点评: 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法 等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键. 18.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是 50 元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销 售单价是 100 元时,每天的销售量是 50 件,而销售单价每降低 1 元,每天就可多售出 5 件,但要求销售单 价不得低于成本. (1)求出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元,且每天的总成本不超过 7000 元,那么销售单价应控 制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本× 每天的销售量) 考点: 二次函数的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)根据“利润=(售价﹣成本)× 销售量”列出方程; (2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答; (3)把 y=4000 代入函数解析式,求得相应的 x 值;然后由“每天的总成本不超过 7000 元”列出关于 x 的不 等式 50(﹣5x+550)≤7000,通过解不等式来求 x 的取值范围. 解答: 解:(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)] =(x﹣50)(﹣5x+550) 2 =﹣5x +800x﹣27500 2 ∴y=﹣5x +800x﹣27500(50≤x≤100); (2)y=﹣5x +800x﹣27500 2 =﹣5(x﹣80) +4500 ∵a=﹣5<0,
2 2 2 2 2



25



多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴抛物线开口向下. ∵50≤x≤100,对称轴是直线 x=80, ∴当 x=80 时,y 最大值=4500; (3)当 y=4000 时,﹣5(x﹣80) +4500=4000, 解得 x1=70,x2=90. ∴当 70≤x≤90 时,每天的销售利润不低于 4000 元. 由每天的总成本不超过 7000 元,得 50(﹣5x+550)≤7000, 解得 x≥82. ∴82≤x≤90, ∵50≤x≤100, ∴销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间. 点评: 本题考查二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题. 19.某种商品每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间满足关系:y=ax +bx﹣75.其图象如图所示. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于 16 元?
2 2

考点: 二次函数的应用. 专题: 销售问题. 分析: (1)根据待定系数法,可得二次函数解析式,根据顶点坐标,可得答案; (2)根据函数值大于或等于 16,可得不等式的解集,可得答案. 2 解答: 解;(1)y=ax +bx﹣75 图象过点(5,0)、(7,16), ∴ ,

解得
2



y=﹣x +20x﹣75 的顶点坐标是(10,25) 当 x=10 时,y 最大=25, 答:销售单价为 10 元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为 25 元; (2)∵函数 y=﹣x +20x﹣75 图象的对称轴为直线 x=10, 可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16), 2 又∵函数 y=﹣x +20x﹣75 图象开口向下,
2



26



多一点细心,少一点后悔。多一份勤奋,少一份后悔。 ∴当 7≤x≤13 时,y≥16. 答:销售单价不少于 7 元且不超过 13 元时,该种商品每天的销售利润不低于 16 元. 点评: 本题考查了二次函数的应用,利用待定系数法求解析式,利用顶点坐标求最值,利用对称 点求不等式的解集.



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