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1986年全国统一高考数学试卷(文科)


1986 年全国统一高考数学试卷(文科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是( A. B. C. D.



2. (5 分)函数 y=5x+1 的反函数是( ) A. y=log5(x+1) B. y=logx5+1 C. y=log5(x﹣1) D. y

=log(x﹣1)5 3. (5 分)已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7, 8}是( ) A. A∪ B B. A∩B
(?IA)∪ (?IB) D (?IA)∩(?IB) C. .

4. (5 分)函数 A. 周期为 的奇 B 周期为 . 函数 C. 周期为 的奇 D 周期为 . 函数

是( 的偶函数



的偶函数

5. (5 分)已知 c<0,则下列不等式中成立的一个是( A. c>2c B. C. D.



6. (5 分)给出 20 个数:87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86, 89,92,95,88 它们的和是( ) A. 1789 B. 1799 C. 1879 D. 1899 7. (5 分)已知某正方体对角线长为 a,那么,这个正方体的全面积是( A. B. 2a2 C. D. )

8. (5 分)如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2﹣4F>0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么必有 ( ) A. D=E B. D=F C. E=F D. D=E=F 9. (5 分) (2004?重庆)已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立的( ) A. 充分不必要条 B 必要不充分条件 件 . C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件

. 10. (5 分)在下列各图中,y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是( A. B. C. D. )

二、解答题(共 12 小题,满分 0 分) 11. (5 分)求方程 的解.

12. (5 分)已知

的值.

13. (5 分)在 xoy 平面上,四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0) 、 (1,0) 、 (2,1)及(0, 3)求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积.

14. (5 分)求

15. (5 分)求

展开式中的常数项.

16. (5 分)求椭圆

有公共焦点,且离心率为

的双曲线方程.

17. (10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任一 点,求证:平面 PAC 垂直于平面 PBC.

18. (12 分)求满足方程

的辐角主值最小的复数 Z.

19. (12 分)已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1) ,B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且 有 BP:PA=1:2,当点 B 在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为那种曲线. 20. (12 分)甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1 项,丙、丁两 个公司各承包 2 项,问共有多少种承包方式.

21. (12 分)已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证: (1)当 b≠时,tg3A= . (2) (1+2cos2A)2=a2+b2. 22. (12 分)已知数列{an},其中 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 . ,且当 n≥3 时, .

1986 年全国统一高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是( A. B. C. D.



考点: 分析: 解答:

复数的基本概念. 复数的三角形式是 r(cosθ+isinθ) ,观察所给的四种形式,只有一种形式符合要求,注意式子 中各个位置的符号,可得结果. 解:∵ Z=r(cosθ+isinθ) , ∴ Z=2(cos +isin ) ,

点评:

故选 B 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式,注意两种形式的标准形式,不要在 简单问题上犯错误.

2. (5 分)函数 y=5x+1 的反函数是( ) A. y=log5(x+1) B. y=logx5+1 C. y=log5(x﹣1) D. y=log(x﹣1)5 考点: 分析: 解答:

点评:

反函数. 本题考查指数式和对数式的互化、反函数的求法、函数值域的求法等相关知识;根据已知,利 用反函数的定义结合指对互化即可得到 x,再由原函数确定值域即可. 解:由 y=5x+1 及指数式与对数式的互化得 x=log5(y﹣1) 又函数 y=5x+1 的值域为 y>1 ∴ 函数 y=5x+1 的反函数是 y=log5(x﹣1) (x>1) 故选 C 本题小巧,所用知识单一,较为容易,尽管题目简单,却考查了对基础知识的灵活掌握情况, 也考查了运用知识的能力. 注意反函数结果是否把定义域写入的问题,本题选项没有注明定义域,这是因为反函数解析式 确定的 x 的范围和原函数的值域相同,所以省略,我们在求反函数时,一般是给出定义域的.

3. (5 分)已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7, 8}是( ) C. (?IA)∪ (?IB) D. A. A∪ B B. A∩B (?IA)∩(?IB) 考点: 分析: 解答: 交集及其运算. 可以看出 2,7,8 既不在 A 中,也不再 B 中,故需求补集. 解:?IA={1,2,6,7,8} ?IB={2,4,5,7,8} (?IA)∩(?IB)={2,7,8} 故选 D. 本题考查集合的交集和补集运算,较简单. 是( 的偶函数 )

点评:

4. (5 分)函数 A. 周期为 的 B. 周期为

奇函数 C. 周期为 奇函数 考点: 分析: 解答:

的 D. 周期为

的偶函数

二倍角的正弦. 逆用二倍角的正弦公式,整理三角函数式,应用周期的公式求出周期,再判断奇偶性,这是性 质应用中的简单问题. 解:∵ y= ∴ T=2π÷4= sin2xcos2x= , sin4x

点评:

∵ 原函数为奇函数, 故选 A 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式. 化简的标准: 第一, 尽量使函数种类最少, 次数最低,而且尽量化成积的形式;第二,能求出值的要求出值;第三,根号内的三角函数式 尽量开出;第四,尽量使分母不含三角函数.把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式再解决三角 函数性质有关问题. )

5. (5 分)已知 c<0,则下列不等式中成立的一个是( A. c>2c B. C. D.

考点: 分析: 解答:

有理数指数幂的化简求值. 注意指数函数的单调性跟底的范围有关. 解: 故

点评:

本题是对指数函数性质的考查,属简单题.

6. (5 分)给出 20 个数:87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86, 89,92,95,88 它们的和是( ) A. 1789 B. 1799 C. 1879 D. 1899 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

收集数据的方法. 计算题. 本题要求求 20 个数字的和,数字个数较多,解题时要细心,不要漏掉数字或重复使用数字. 解:由题意知本题是一个求和问题, 87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799, 故选 B. 本题是一个最基本的问题,考查的是数字的加法运算,这样的题目若出上,则是一个送分的题 目. )

7. (5 分)已知某正方体对角线长为 a,那么,这个正方体的全面积是( A. B. 2a2 C. D.

考点:

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

专题: 分析: 解答: 点评:

计算题. 先求正方体的棱长,然后求全面积. 解:设正方体的棱长为 x,则有:a2=3x2,所以正方体的表面积是 6x2=2a2. 故选 B. 本题考查正方体的对角线和边长的关系,是基础题,学生必须会做题目.

8. (5 分)如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2﹣4F>0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么必有 ( ) A. D=E B. D=F C. E=F D. D=E=F 考点: 分析: 解答:

点评:

圆的一般方程. 圆关于直线 y=x 对称,只需圆心坐标满足方程 y=x 即可. 解: 曲线关于直线 y=x 对称, 就是圆心坐标在直线 y=x 上, 圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2 ﹣4F>0)中,D=E. 故选 A. 本题考查圆的一般方程,对称问题,是基础题.

9. (5 分) (2004?重庆)已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立的( ) A. 充分不必要条B. 必要不充分条 件 件 C. 充要条件 D. 既不充分也不 必要条件 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 压轴题. 由题设条件知 p?r?s?q.但由于 r 推不出 p,所以 q 推不出 p. 解:依题意有 p?r, r?s, s?q, ∴ p?r?s?q. 但由于 r 推不出 p, ∴ q 推不出 p. 故选 A. 本题考查充分条件,必要条件,充要条件的判断,解题时要认真审题,注意公式的合理运用. )

10. (5 分)在下列各图中,y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是( A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象与图象变化. 压轴题;数形结合. 要分析满足条件的 y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象情况,我们可以使用排除法,由二次项 系数 a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系,可排除 A,C;由二次函数常数项 c 为 0,函数图象过原点,可排除 B. 解:在 A 中,由二次函数开口向上,故 a>0

点评:

故此时一次函数应为单调递增,故 A 不正确; 在 B 中,由 y=ax2+bx,则二次函数图象必过原点 故 B 也不正确; 在 C 中,由二次函数开口向下,故 a<0 故此时一次函数应为单调递减,故 C 不正确; 故选 D. 根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧,希望大家熟练掌握.

二、解答题(共 12 小题,满分 0 分) 11. (5 分)求方程 考点: 分析: 解答: 的解.

指数函数综合题. 将方程两侧化成以 5 为底数的指数式,由同底数的指数式相等必有指数相等即可解. 解:∵ ∴ ∴ = = =

点评:

本题主要考查解指数方程的问题.注意方程两侧可都化成同底数后再求解. 的值.

12. (5 分)已知 考点: 分析: 解答:

复数代数形式的混合运算. ω 的值是 1 的一个立方虚根,ω2+ω+1=0 是它的性质. 解:由 = =0

点评:

本题考查复数代数形式的混合运算,是基础题.

13. (5 分)在 xoy 平面上,四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0) 、 (1,0) 、 (2,1)及(0, 3)求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积. 考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. 画出图形,旋转后的几何体是一个圆台,去掉一个倒放的圆锥,求出圆台的体积,减去圆锥的 体积即可. 解:在 xoy 平面上,四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0) 、 (1,0) 、 (2,1)及(0, 3) ,这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体是:底面半径为 3,高为 2,上底面半径为 1 的圆台,去掉一个底面半径为 1,高为 1 的圆锥, 所以几何体的体积是: 故答案为: = .

点评:

本题是基础题,考查旋转体的体积,旋转体的图形特征,棱锥的体积,考查空间想象能力,计

算能力,是常考题型.

14. (5 分)求

考点: 专题: 分析:

极限及其运算. 计算题.

分子分母同时除以 n2,把

转化为

,由此可得

的值.

解答: 答: = = .

点评:

本题考查

型函数的极限问题,解题时要注意公式的正确选取.

15. (5 分)求 考点: 专题: 分析: 解答:

展开式中的常数项.

二项式定理. 计算题. 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第 r+1 项,令 x 的指数为 0 求出常数项. 解: 展开式的通项 Tr+1=(﹣1)r25﹣rC5rx15﹣5r

点评:

令 15﹣5r=0 得 r=3 所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

16. (5 分)求椭圆

有公共焦点,且离心率为

的双曲线方程.

考点: 专题: 分析: 解答:

双曲线的标准方程. 计算题. 根据椭圆方程求得焦点坐标,进而得到双曲线的焦点,设双曲线方程,根据离心率和焦点求得 a 和 b,方程可得. 解:椭圆的焦点为(± ,0) 设双曲线方程为 则 a2+b2=5 =1

=



联立解得 a=2,b=1 故双曲线方程为 点评:

本题主要考查了求双曲线标准方程的问题.常用待定系数法,设出双曲线的标准方程,根据题 设条件求出 a 和 b.

17. (10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任一 点,求证:平面 PAC 垂直于平面 PBC.

考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

平面与平面垂直的判定. 证明题;综合题. 要证明平面 PAC 垂直于平面 PBC,直线证明平面 PBC 内的直线 BC,垂直平面 PAC 内的两条 相交直线 PA、AC 即可. 证明:连接 AC ∵ AB 是圆 O 的直径 ∴ ∠ ACB=90° 即 BC⊥ AC 又∵ PA⊥ 圆 O 所在平面,且 BC 在这个平面内 ∴ PA⊥ BC 因此 BC 垂直于平面 PAC 中两条相交直线 ∴ BC⊥ 平面 PAC∴ △ PBC 所在平面与△ PAC 所在平面垂直. 本题考查直线与平面平行与垂直的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是基础题. 的辐角主值最小的复数 Z.

18. (12 分)求满足方程 考点: 分析: 解答:

复数的代数表示法及其几何意义. 首先明确 z 对应点的轨迹,再进一步求解. 解:满足方程 其圆心 A 对应的复数为

的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆, ,半径为

,因而圆与 x 轴相切于点 Q,点 Q 对应的复数是

﹣3 从点 O 作圆的另一条切线 OP,P 为切点, 则点 P 所对应的复数为所求的复数 ∵ ,

设点 B 对应的复数为 1, ∴ ∠ BOA=150° ,|OA|= ,∠ QOA=180° ﹣∠ BOA=30° ∵ OP、OQ 是同一点引出的圆的两条切线,A 是圆心, ∴ ∠ AOP=∠ QOA=30° ,∠ QOP=2∠ QOA=60° ,

∠ BOP=180° ﹣∠ QOP=120° , |OP|=|OA|cos∠ AOP= ∴ 所求的复数 Z= . .

点评:

本题是复数的几何意义和简单解析结合的综合的考查.

19. (12 分)已知抛物线 y2=x+1,定点 A(3,1) ,B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且 有 BP:PA=1:2,当点 B 在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为那种曲线. 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的关系. 计算题. 设出点 P(x,y)和点 B(X,Y) ,由定比分点公式得到这两个坐标的关系.即用 x,y 来表 示 X,Y.再根据 B 点在抛物线上,满足抛物线方程,即可得 x,y 的关系,亦即轨迹方程, 进而进一步判断曲线类型. 解:设点 B 的坐标(X,Y) ,点 P 的坐标为(x,y) ,则

解答:

∴ ∵ 点 B 在抛物线上,∴ Y2=X+1, 将(1) , (2)代入此方程,得

化简得 3y2﹣2y﹣2x+1=0, , 因此轨迹为抛物线

点评:

在求解轨迹方程的问题时,一般都是“求什么设什么”的方法,再利用题中的条件列出等式即可

得到轨迹方程,这也是高考中学生不易把握的一个知识点. 20. (12 分)甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1 项,丙、丁两 个公司各承包 2 项,问共有多少种承包方式. 考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

排列、组合的实际应用. 计算题. 根据题意,依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数,甲公司承包 8 项工程中的 3 项有 C83 种,乙 公司承包甲剩下的 5 项中的 1 项有 C51 种,丙公司承包剩余 4 项中的 2 项有 C42 种,丁公司承 包剩余的 2 项有 C22 种,由乘法原理,计算可得答案. 解:甲公司承包 8 项工程中的 3 项有 C83 种,乙公司承包甲剩下的 5 项中的 1 项有 C51 种, 丙公司承包剩余 4 项中的 2 项有 C42 种,丁公司承包剩余的 2 项有 C22 种, 由乘法原理,可得共 C83?C51?C42?C22=1680(种) 答:共有 1680 种承包方式. 本题考查组合的应用,难度不大,解题时须注意元素数目的变化.

21. (12 分)已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证: (1)当 b≠时,tg3A= . (2) (1+2cos2A)2=a2+b2. 考点: 专题: 分析: 三角函数恒等式的证明. 证明题;压轴题. (1)通过和差化积公式分别对 sinA+sin3A+sin5A 和 cosA+cos3A+cos5A 进行化简,最后两式 相除即可证明. (2)通过和差化积公式分别对 sinA+sin3A+sin5A 和 cosA+cos3A+cos5A 进行化简,两式分别 平方后相加化简后即可证明结论. 证明: (1)sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A =2sin cos +sin3A

解答:

=2sin3A?cos2A+sin3A=sin3A(1+2cos2A) , ∴ sin3A(1+2cos2A)=a ① 同理有 cos3A(1+2cos2A)=b ② 两式相除,即得 tan3A=

点评:

(2)∵ 根据(1)sin3A(1+2cos2A)=a,① cos3A(1+2cos2A)=b,② 2 2 ∴ ① +② sin23A(1+2cos2A)2+cos23A(1+2cos2A)2=a2+b2, ∴ (1+2cos2A)2(sin23A+cos23A)=a2+b2, ∴ (1+2cos2A)2=a2+b2. 本题主要考查了三角函数恒等式的证明.证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角 函数的关系等.公式多、难度大故应在这方面多下功夫. ,且当 n≥3 时, .

22. (12 分)已知数列{an},其中 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 .

考点: 专题: 分析:

数列的应用;极限及其运算. 计算题;压轴题. (1)设 an﹣an﹣1=xn﹣1,则由已知条件得 . . ,由此及彼入手能够推导出

解答:

解: (1)设 an﹣an﹣1=xn﹣1,则由已知条件得 所以数列{an}组成了一个公比为 的等比数列, 其首项 ,



. ∴ an﹣a1=(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1) = ,



. .

点评:

本题考查数列的性质和应用及极限知识,解题时要认真审题,合理选取公式.


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