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高中数学导数与函数知识点归纳总结


高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义:
设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函数值 y 也引起相应的增量

?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ;比值
率;如果极限 lim

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化 ? ?x ?x

?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在,则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 ? lim ?x ?x?0 ?x

y ? f ( x) 在 x 0 处的导数。

f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ? x ? x

0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

2 导数的几何意义: (求函数在某点处的切线方程)
函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率,也就是说,曲
' ' 线 y ? f ( x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ( x 0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ( x)( x ? x 0 ).

3.基本常见函数的导数: ① C ? ? 0; (C 为常数) ③ (sin x)? ? cos x ; ⑤ (e x )? ? e x ; ⑦ ? ln x ?? ? 二、导数的运算
1.导数的四则运算: 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即:

② xn

? ?? ? nx

n ?1

;

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ; ⑧ ? l o g a x ?? ?

1 ; x

1 log a e . x

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ?

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: ? f

?

? ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ?
(Cf ( x))' ? Cf ' ( x). ( C 为常数)

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:

法则 3 :两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:

? f ? x ? ?? f ? ? x? g ? x? ? f ? x? g? ? x? ? g ? x ? ? 0? 。 ? ? ? 2 g x ? ? g x ? ? ? ? ? ? ? ?

2.复合函数的导数 形如

y ? f [? ( x)] 的函数称为复合函数。法则: f ?[? ( x)] ? f ?(? )*? ?( x) .

三、导数的应用 1.函数的单调性与导数
(1)设函数

y ? f ( x) 在某个区间 (a, b) 可导,

如果 如果

f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为增函数; f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数。 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常函数。

(2)如果在某区间内恒有

2.函数的极点与极值:当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时,
' ' ①如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) >0,右侧 f ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ' ' ②如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) <0,右侧 f ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值.

3.函数的最值:
一 般 地 , 在 区 间

[ a, b]

上 连 续 的 函 数

f ( x)



[ a, b]

上 必 有 最 大 值 与 最 小 值 。 函 数

值点处取得。 f ( x) 在区间 [a, b]上的最值 只可能在区间端点及极
求函数

f ( x) 在区间 [a, b]上最值的一般步骤:①求函数 f ( x) 的导数,令导数 f ' ( x) ? 0 解出方程的跟

②在区间 [ a, b] 列出 x,

f ' ( x), f ( x) 的表格,求出极值及 f (a)、f (b) 的值;③比较端点及极值点处的函数值的大

小,从而得出函数的最值。

4.相关结论总结:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、函数的概念
1.函数的概念 ①设

A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯
) 叫做集合

一确定的数

f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法则 f f : A? B.

A到B

的一个函数,记作

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

五、函数的性质 1.函数的单调性
①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )<f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是增函数 . ... (1)利用定义 (2 )利用已知函数的 图象 判定方法

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

单调性 (3) 利用函数图象 (在

o

x1

x2

x

某个区间图 象上升为增)

函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )>f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是减函数 . ...

(4)利用复合函数 (1)利用定义 (2 )利用已知函数的

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

单调性 (3) 利用函数图象 (在

o

x1

x2

x

某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数, 减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

y ? f [ g( x) ], 令 u ? g ( x) , 若 y ? f (u ) 为 增 , u ? g ( x) 为 增 , 则
为减,

y

y ? f [ g( x) ]为 增 ; 若 y ? f (u )

u ? g ( x)

为减,则

y ? f [ g ( x)] 为 增 ; 若 y ? f (u ) 为 增 , u ? g ( x) 为 减 , 则 y ? f [ g( x)]为 减 ; 若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.
(2)打“√”函数

f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 的图像与性质 x

o

x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数.
2.最大(小)值(较常用导数求函数最值,类比记忆函数的极值)
①一般地, 设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I

, 如果存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有 是函数

f ( x) ? M



(2) 存在 x0 ? I , 使得 ②一般地, 设函数

f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M

f ( x)

的最大值, 记作

f max ( x) ? M .
f ( x) ? m ;

y ? f ( x) 的定义域为 I

, 如果存在实数 m 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有

(2)存在 x0 ? I ,使得

f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m .

3.奇偶性
①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 . f( - x)= - . . . . . . f(x) ,那么函数 f(x)叫做奇函 . . . . .. 数 . . 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x, 都有 . f( - x)= f(x) , . . . . . . . . . 那么函数 f(x)叫做偶函数 . ... (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于原点对称) (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于 y 轴对称) ②若函数 图象 判定方法

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数) 的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.


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