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江苏高考数学应用题题型归纳


GaoKao 应用题题型归纳
在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2.加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的 最值问题 5.熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答. “抓重点:等量关系是关键; 破难点:变量思想是主线.” 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少 元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 .x 元.公 司拟投入 1 ( x 2 ? 600) 万元作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入 1 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品 明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入 之和?并求出此时商品的每件定价. ... ...

6

5

2、某小商品 2012 年的价格为 8 元/件,年销量为 a 件,现经销商计划在 2013 年将该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间, 经调查,顾客的期望价格为 4 元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系 数为 k ,该商品的成本价格为 3 元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 (2)设 k

y 与实际价格 x 的函数关系式。

? 2a ,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%? k k ) 件,年收益 y ? (a ? )( x ? 3),5.5 ? x ? 7.5 解: (1)设该商品价格下降后为 x 元/件,销量增加到 ( a ? x?4 x?4 2a )( x ? 3) ? (8 ? 3)a ? (1 ? 20%) 解之得 x ? 6或4 ? x ? 5 (2)当 k ? 2 a 时,有 ( a ? x?4 又 5.5 ? x ? 7.5 所以 6 ? x ? 7.5
因此当实际价格最低定为 6 元/件时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%。



3.近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这 种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安 装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)与安装的这种太阳

能电池板的面积 x (单位:平方米)之间的函数关系是 电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和. (1)试解释

C ( x) ?

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数). 记 F 为该村安装这种太阳能供

C (0) 的实际意义,

并建立 F 关于 x 的函数关系式;

(2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元?

4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理费,预计当每件商品的售价为

x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x) 2 万件.
(I)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (II)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

5.某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万 件)之间大体满足关系:

? 1 ,1 ? x ? c, ? (其中 c 为小于 6 的正常数) ?6 ? x P?? 2 ? , x?c ? ? 3
(注:次品率=次品数/生产量,如 P

? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合格品)

已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元,故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解: (1)当 x ? c 时, P ? 当1 ?

2 1 2 ,? T ? x ? 2 ? x ?1 ? 0 3 3 3 6? x
,?T ? (1 ?

x ? c 时, P ? 1

1 1 9x ? 2 x2 )? x?2?( ) ? x ?1 ? 6? x 6? x 6? x

综上,日盈利额 T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为:

? 9 x ? 2 x2 ,1 ? x ? c (2)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0 ? T ? ? 6? x ? 0, x?c ?
当1 ?
2 x ? c 时, T ? 9 x ? 2 x ? 15 ? 2[(6 ? x) ? 9 ] ? 15 ? 12 ? 3

6? x

6? x

当且仅当 x 所以 (i ) 当 3 ? c

? 3 时取等号

? 6 时, Tmax ? 3 ,此时 x ? 3
(6 ? x) (6 ? x)

2 ? 54 2( x ? 3)( x ? 9) 知 (ii ) 当 1 ? c ? 3 时,由 T ? ? 2 x ? 24 x 2 ? 2

函数 T ?

9 x ? 2 x 在 [1,3] 上递增, 9c ? 2c 2 ,此时 x ? c ?Tmax ? 6? x 6?c
2

综上,若 3 ? c

? 6 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润 1 ? c ? 3 若 ,则当日产量为 c 万件时,可获得最大利润
600 万元购得一块土地,在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区每

6.为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1

幢楼的楼层数相同, 且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关 , 第 x 层楼房每平方米的建筑费用为 (kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 购地费用+所有建筑费用 (每平方米平均综合费用= ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元? 解:(1)如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10×1 000×5 平方米,所有建筑费用为 270 元.

[(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10,所以, 16 1270= 000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 ,解之得:k=50 10×1 000×5

(2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知

f (n) =
=

16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10 10×1 000×n

1 600 +25n+825≥2 1 600×25+825=1225(元)

n

当且仅当

1 600 =25n,即 n=8 时等号成立

n

7. 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元(包括 2 万元和 10 万元)的报销方 案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用 y(万元)随医疗总费用 x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得 低于医疗总费用的 50%;③报销的医疗费用不得超过 8 万元. (1)请你分析该单位能否采用函数模型 y=0.05(x +4x+8)作为报销方案; (2)若该单位决定采用函数模型 y=x?2lnx+a(a 为常数)作为报销方案,请你确定整数 a 的值.(参考数据:ln2?0.69,ln10?2.3) 【解】(1)函数 y=0.05(x +4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①,
2 2

当 x=10 时,y 有最大值 7.4 万元,小于 8 万元,满足条件③



29 3 x 但当 x=3 时,y= < ,即 y? 不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案 20 2 2 2 x-2 (2)对于函数模型 y=x?2lnx+a,设 f(x)= x?2lnx+a,则 f ?(x)=1? = ?0.

x

x

所以 f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①, 由条件②,得 x?2lnx+a? ,即 a?2lnx? 在 x?[2,10]上恒成立, 2 2

x

x

x 2 1 4-x 令 g(x)=2lnx? ,则 g?(x)= - = ,由 g?(x)>0 得 x<4, ?g(x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数. 2 x 2 2x

?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2

,由条件③,得 f(10)=10?2ln10+a?8,解得 a?2ln10?2

另一方面,由 x?2lnx+a?x,得 a?2lnx 在 x?[2,10]上恒成立, ?a?2ln2, 综上所述,a 的取值范围为[4ln2?2,2ln2], 所以满足条件的整数 a 的值为 1 二、与几何图形有关的实际问题 1 .某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=200 米,BC=100 米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1),使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求 △DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小值.

2.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计 其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于 腰长的和 )为 .... ⑴求
3 米.记防洪堤横断面的腰长为

?

,外周长(梯形的上底线段 x (米) .......BC 与两 ..

y (米).

y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域;

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.

B
x
60?

C

A

D

3、 如图, 两座建筑物 AB , CD 的底部都在同一个水平面上, 且均与水平面垂直, 它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm , 从建筑物 AB 的顶部

A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? .
? , 问点 P 在

(1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B , C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? 何处时, ? ?

? 最小?
D A

?
B P

?
第 17 题图

C

4、某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示.为充分利用现有材料, 边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC. (1)设 AB=x 米,cosA=f(x),求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解: (1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD =AB +AD -2AB·AD·cosA. 同理,在△CBD 中,BD =CB +CD -2CB·CD·cosC. 因为∠A 和∠C 互补,所以 AB +AD -2AB·AD·cosA=CB +CD -2CB·CD·cosC =CB +CD +2CB·CD·cosA. 即 x +(9-x) -2 x(9-x) cosA=x +(5-x) +2 x(5-x) cosA. 解得 2 2 cosA= ,即 f( x)= .其中 x∈(2,5). x x C (第 2 题图)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A

l B D

(2)四边形 ABCD 的面积 1 1 2 S= (AB·AD+ CB·CD)sinA= [x(5-x)+x(9-x)] 1-cos A. 2 2 =x(7-x)
2

2 2 2 2 2 2 1-( ) = (x -4)(7-x) = (x -4)( x -14x+49). x
2

记 g(x)=(x -4)( x -14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x( x -14x+49)+(x -4)( 2 x-14)=2(x-7)(2 x -7 x-4)=0, 1 解得 x=4(x=7 和 x=- 舍). 所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减. 2
2 2 2

因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108.所以 S 的最大值为 108=6 3. 5. 如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 A, B, C 三点处, AB

? AC , A 到线段 BC 的距离

AO ? 40 , ?ABO ? 2?
7

(参考数据:

tan

2? 2 3 ). 今计划建一个生活垃圾中转站 P ,为方便运输, P 准备建在线段 ? 7 3

AO (不含端点)上.
(1) 设 PO ? (2) 设

x(0 ? x ? 40) ,试将 P 到三个小区距离的最远者 S 表示为 x 的函数,并求 S 的最小值;
2? ,试将 P 到三个小区的距离之和 y 表示为 ? 的函数,并确定当 ? 取何值时,可使 y 最小? ) 7

?PBO ? ? (0 ? ? ?

6、如图,在半径为

3 、圆心角为 60? 的扇形的弧上任取一点 P ,作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 N , M



OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y ,(1)按下列要求写出函数的关系式:
? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式,
①设 PN (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出

A

y 的最大值.
P Q

解: (1)①因为 ON

? 3? x

2



3 OM ? x, 3
B

所以 MN

? 3 ? x2 ?

3 3 3 x ,所以 y ? x( 3 ? x 2 ? x), x ? (0, ) . 3 3 2 3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

O N M

②因为 PN

? 3 sin ? , ON ? 3 cos? , OM ?

所以 MN 即

? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? ,所以 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) ,
, (?

y ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ?

? (0, )) 3

?

(2)选择

? ? 3 ,?? ? (0, ) y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin 2 ? ? 3 sin(2? ? ) ? 3 6 2
所以 y max ?
3 2

? 2? ?

?

? 5? ?( , ) 6 6 6

A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工,现要在公路 AC 上找一点 D , 修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均是 1 km ,设 ?BDC ? ? ,所有员工从车间到食堂步行的总路程为 S . (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 S 最少?
7、某企业有两个生产车间分别在 解: (1)在 ?BCD 中,∵

BD BC CD , ? ? sin 60? sin ? sin ?120? ? ? ?

3 2 ∴ BD ? , CD ? sin ?

sin ?120? ? ? ? sin ?120? ? ? ? .则 AD ? 1 ? . sin ? sin ?

3 ? 2? ? sin ?120? ? ? ? ? cos ? ? 4 ?? ? ,其中 . S ? 400? 2 ? 100 ?1 ? ? ? 50 ? 50 3 ? 3 3 sin ? sin ? sin ? ? ?
(2) S ? ? ?50

? sin ? ? sin ? ? ? cos ? ? 4 ? cos ? 1 ? 4cos ? 3? ? 50 3 ? 2 sin ? sin 2 ?
? 1 . 4
当 cos ?

令 S ? ? 0 ,得 cos ?

?

1 时, S ? ? 0 , S 是 ? 的单调减函数; 4
∴当 cos ?

当 cos ?

?

1 时, S ? ? 0 , S 是 ? 的单调增函数. 4

?

1 时, S 取得最小值. 4

此时, sin ?

?

15 , 4

3 1 cos ? ? sin ? sin ?120? ? ? ? 1 3 cos ? 2 AD ? 1 ? ? 1? 2 ? ? sin ? sin ? 2 2sin ?
8、如图, ?ABC 是一块边长

AB ? 3m, AC ? 5m , BC ? 7m 的剩余角料.现要从中裁剪出一块面积最大的平行四边形用料 APQR ,要求顶点 P, Q, R 分别在边 AB, BC, CA 上.问点 Q 在 BC 边上的什么位置时,剪裁符合要求?并求这个最大值.

解:设 BQ=x,则 CQ=7-x,且 0<x<7. 11 13 5 3 3 3 由余弦定理,得 A=120°,cosB= ,cosC= , ∴sinB= ,sinC= . 14 14 14 14 xsinB (7-x)sinC 在△PQB 中,由正弦定理,得 PQ= .在△RQC 中,由正弦定理,得 RQ= . sin120° sin120° ∴S?APQR=PQ·RQ·sin120°= x(7-x)sinBsinC 15 3 7 15 3 = x(7-x),当 x= 时,取最大值 . sin120° 98 2 8

15 3 故当 Q 是 BC 中点时,平行四边形 APQR 面积最大,最大面积为 米. 8 9 、如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知已有两面墙的夹角为 60 °(即

?C ? 60? ) ,现有可供建造第三面围墙的材料 6 米(两面墙的长均大于 6 米) ,为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三角 形露天活动室尽可能大,记 ?ABC ? ? , 问当 ? 为多少时,所建造的三角形露天活动室的面积最大? AC AB BC 解:在 ?ABC 中,由正弦定理: 化简得: AC ? 4 3 ? sin ? ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 3 3 ? 1 ? BC ? 4 3 ? sin(? ? ) 所以 S ?ABC ? AC ? BC ? sin 3 2 3

? 1 3 ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) ? 12 3 sin ? ? ( sin ? ? cos ? ) 3 2 2 1 ? cos 2? 3 ? 6 3(sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos ? ) ? 6 3( ? sin 2? ) 2 2 1 ? ? 6 3 ? [ ? sin(2? ? )] 2 6 ? 2? ) 即 S ?ABC ? 6 3 ? sin(2? ? ) ? 3 3 (0 ? ? ? 6 3 ? ? ? ? , 即 ? ? 时, (S?ABC )max = 9 3 所以当 2? ? 6 2 3
10. 如图,某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距

?

6 ? 2 海里的 M,N 两点,他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔 AB,

?

设塔底延长线与海平面交于点 O.已知点 M 在点 O 的正东方向,点 N 在点 O 的南偏西 15 ? 方向, ON ? 2 2 海里,在 M 处测 得塔底 B 和塔顶 A 的仰角分别为 30 ? 和 60 ? . (1)求信号塔 AB 的高度; (2)乙船试图在线段 ON 上选取一点 P ,使得在点 P 处观测信号塔 AB 的视角最大,请判断这样的点 P 是否存在,若存在,求 出最大视角及 OP 的长;若不存在,说明理由.

A

B
O N
第 10 题图

M

11 .如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角 坐标系,若池边 AE 满足函数

2 4 2 (1)当 t ? 时,求直路 y ? ? x2 ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t ( ? t ? ) . 3 3 3 l 所在的直线方程; (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

A, B 为 相 距 2km 的 两 个 工 厂 , 以 AB 的 中 点 O 为 圆 心 , 半 径 为 2km 画 圆 弧 。 MN 为 圆 弧 上 两 点 , 且 MA ? AB, NB ? AB ,在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工厂 A 的噪音影响度与 AP 的平方成反比,比例 系数为 1,学校 P 受工厂 B 的噪音影响度与 BP 的平方成反比,比例系数为 4 。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y ,且设 AP ? xkm 。 (1)求 y ? f ( x ) ,并求其定义域; (2)当 AP 为多少时,总噪音影响度最小?
12. 如 图 ,

P N M

B

O

A

13. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段. 已知跳水板 AB 长为 2m, 跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m. 安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4m.规定:以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时 h 的取值范围.

2+h 2

B
3

A

C
5 6

E ·

F ·

D

14、如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的圆心, ?AOB

? 60? ,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:

在? AB 上选一点 C,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD,与 OA 平行的小路 CE,问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最大, 并说明理由.


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