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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(经典)


2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

? 我们学过功的概念,即一个物体在力 F 的作用下产生 ?

位移?s , 力 F 所做的功W应当怎样计算?
? F

? s

θ

? ? W=|F ||s |cosθ

? ? 其中θ是 F 与s的夹角.

功是一个标量,是一个数量,它由力和位 移两个向量来确定.这给我们一种启示,能否把

“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢?
从力所做的功出发,我们引入向量“数量

积”的概念.

向量的夹角的概念

? ? ???? ? ??? ? ? OA ? a,OB ? b 两个非零向量 a 和 b ,作 , ? ? ? ? 则 ?AOB ? ? 叫做向量 a和 b 的夹角.记作?a, b?.
? b
?
A
B

? a

O

注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同 起点的.

特别地 ? ? a 与 b 同向 ?

? O b B

a

A

? ? a与 b 反向 ? a ? B b O A
? ??

? ?0
? b ? ? a O A
B

? ? ? a 与 b 垂直 ? ? 2

向量夹角的取值范围:0 ? ? ? ?

1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积
的含义及其物理意义.(重点)

2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理
解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和

运算律进行相关的判断和运算.(重点、难点)

数量积的定义

? ? ? ? 已知两个非零向量 a与 b,我们把数量 a b cos ? ? ? 叫做 a 与 b的数量积(或内积).
? ? ? ? ? ? 记作a ? b 即a ? b ? a b cos ?,

? ? 其中θ 是 a与b 的夹角.

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

思考1:向量的数量积是一个数量,那么它

什么时候为正,什么时候为负?
? ? 当 0 ? ?a, b? ? 90? 时,它为正值;
?

? ? 当 ?a, b? ? 90? 时,它为0;
? ? 当 90 ? ?a, b? ? 180? 时,它为负值.
?

投影的概念

? ? ? ? b cos ? ( a cos ? )叫做向量 b 在 a方向上(向 ? ? 量 a在 b方向上)的投影.
? b
O θ
B1

B

? a

A

数量积的几何意义

? ? 数量积 a ? b 等于

? 上的投影 b cos ? 的乘积.

? ? ? ? a 的长度 a 与 b 在 a 的方向

还有其他说法吗? ? ? ? ? ? ? 向量 a与 b 的数量积等于 b 的长度 b 与 a 在 b ? 的方向上的投影 a cos ? 的乘积.

思考2:由向量数量积的定义,你能否得到下面的结论?

? ? 设 a,b 是非零向量,
? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? 0.

? ? a ? b ? ? ? 90? ? cos ? ? 0.
? ? ? a b cos ? ? 0. ? ? ? a ? b ? 0.

? ? ? ? ? ? (2)当 a与 b同 向 时 , a ? b ?| a || b |; ? ? ? ? ? ? 当 a与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b |; ? ? ? ? ? ? 2 特别地, a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a .
? ? 当a与b同向时,? =0? , 所以 cos ? ? 1, ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 a b cos ? ?| a || b | ,所以a ? b ?| a || b | . ? ? 当a与b反向时,? =180? , 则 cos ? ? ?1, ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 a b cos ? ? - a b ,即a ? b ? ? | a || b | .

? ? ? ? ? 2 特 别 地 , a ? a ?| a || a |?| a | .

? ? ? ? (3) | a ? b |?| a || b | .
? ? ? ? 因为 | a ? b |?| a || b || cos ? |, | cos ? |? 1, ? ? ? ? 所以| a ? b |?| a || b | .

向量数量积的性质

? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? 0. ? ? ? ? ? ? (2)当 a与 b同 向 时 , a ? b ?| a || b |; ? ? ? ? ? ? 当 a与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b |; ? ? ? ? ? ? 2 特 别 地 , a ? a ? | a | 或 | a |? a ? a .
? ? ? ? (3) | a ? b |?| a || b | .

? ? 设a,b 是非零向量,

? ? ? ? ? ? ? 例1. 已知 a ? 5, b ? 4, a与b的夹角? ? 120 ,求a ? b.

? ? ? ? 解:a ? b ? a b cos ?
? 5 ? 4 ? cos120 1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10.
?

思考3:回顾实数运算中有关的运算律,你能推 导向量数量积的下列运算律吗?

? ? ? ? () 1 a ? b ? b ? a;
? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

? ? ? ? ? ? ? ? () 1 a ? b ? a b cos a, b ? b a cos a, b ? b ? a;

? ? ? ? () 2 ( ?a ) ? b ? ? a b cos a, b ? ? =? a b cos a, b ? ? ? a ? b cos a, b ? ? =a ? ( ?b)

??? ? ? 设向量a, b, a ? b 在 c 上的
投影分别是OM,MN,ON,

? b

? a
M

? ? a?b

? ? ? ???? ? (3)(a ? b) ? c ? ON? c ???? ? ???? ? ? ? (OM ? MN)? c ???? ? ? ???? ?? ? OM? c ? MN? c ? ? ? ? ? a ? c ? b ? c.

O

N ?

c

思考4:下列两个运算律成立吗?

? ? ? ? ? ? (1) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c); ? ? ? ? ? ? (2) a ? c ? b ? c ? a ? b.(消去律)
? ? ? ? ? ? (1) a ? b ? R , b ? c ? R , c与 a的 方 向 不 定 , 故 不 成 立 ; ? ? (2)c ? 0 时不成立.

向量数量积的运算律

? ? ? ? () 1 a ? b ? b ? a;

? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
? ? ? ? ? ? 注意:(1) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ); (2)不满足消去律.

例2.我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2= ?? 2 2 2 2 a +2ab+b ,(a+b)(a-b)=a -b .对任意向量 a, b 是否也有下面类似的结论?
? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1) a+b =a +2a ? b+b ; ? ? ? ? ?2 ?2 (2) a+b ? a-b =a -b 。

? ?

? ??

?

解:有; ? ? 2 ? ? ? ? (1) a+b = a+b ? a+b ? ? ? ? ? ? ? ? =a ? a+a ? b+b ? a+b ? b ?2 ? ? ?2 =a +2a ? b+b ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a+b ? a ? b =a ? a ? a ? b+b ? a ? b ? b ?2 ?2 =a ? b 。

?

? ?

??

?

? ??

?

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4, a与b的夹角为60°, ? ? ? ? 求(a ? 2b) ? (a - 3b).

? ? ? ? 解:(a ? 2b) ( ? a ? 3b) ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b

?2 ? ? ?2 ?| a | ?a ? b ? 6 | b | ? 2 ? ? ?2 ?| a | ? | a || b | cos 60° ? 6 | b |
? 36 ? 12 ? 96 ? ?72.

? ? ? ? 解:因为( a ? kb ) ? ( a ? kb ) , ? ? ? ? ?2 ? 2 2 所以(a ? kb) ? (a ? kb) ? 0,即a ? k b ? 0.

? ? ? ? 例4. 已知 a ? 3, b ? 4,且a与b不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?

?2 ?2 2 2 又因为a ? 3 ? 9, b ? 4 ? 16, 所以9 ? 16k 2 ? 0.

3 所以k ? ? . 4 ? ? ? ? 3 即k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

? ? ? ? 1.已知 | a |? 3,| b |? 4, 且 | a | 与 | b | 的夹角 ? ? 150 ? , ? ? ? ? 2 ? ? 求 a ? b, ( a ? b ) ,| a ? b | . ? ? ? ? ? 解 : a ? b ?| a || b | cos ? ? 3 ? 4 ? cos150 ? ?6 3, ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 (a ? b) ? a ?a ? 2a ? b ? b? b ? a ? 2a ? b ? b
? 3 ? 2( ?6 3) ? 4 ? 25 ? 12 3, ? ? ? ? 2 | a ? b |? (a ? b) ? 25 ? 12 3.
2 2

??? ? ??? ? BC ? 8,CA ? 7, ?C ? 60?,求 BC ? CA. 2.在△ABC中,

A

7
B
60?

120?

8

C

??? ? ??? ? BC ? CA ? 8 ? 7 ? cos120? ? ?28.

? ? ? ? ? ? 3. a ? 12, b ? 9, a ? b ? ? 54 2, 求 a与b的夹角. ? ? ? ? a ? b ?54 2 2 解: cos a, b ? ? ? ? ?? , 12 ? 9 2 a b ? ? 因为0 ? a, b ? ? ,
? ? 3? 所以 a, b ? . 4

? ? ? ? ? ? ? ? 4.若 | a |?| b |? 1, a ? b且2a ? 3b与ka ? 4b也互相垂直,
? ? ? ? 解:因为(2a ? 3b) ? (k a ? 4b), ? ? ? ? 所以(2a ? 3b) ? (k a ? 4b) ? 0. ?2 ?2 所以2ka ?12b ? 0. ? 2 ?2 因为a ? b ? 1, 所以 k ? 6.

求k的值.

1.向量的夹角(共起点) 2.向量的投影 3.向量的数量积的定义,几何意义

? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos a , b

4.向量数量积的性质

? ? ?2 ? ? ? 特别地,a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a .

? ? ? ? () 1 a ? b ? b ? a; ? ? ? ?? ? ? ? (2) (? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b);
? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

5.向量数量积的运算律

言论的花,开得愈大;行为的果子,结得 愈小. ——冰心

一知半解的人,多不谦虚;见多识广有本 领的人,一定谦虚. ——谢觉哉


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