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集合与函数测试题高考综合(含答案)


集合与函数测试题
一.

选择题
( )

1 已知命题“ 存在x ? R, x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是
A. (??,?1) B. (1,??) C. (??,?1) ? (1,??)

D. (—1,1) )

2? x ? 8 B ? ?x ?R logx x ? 1 ?,则 A ? (CR B) 的元素个数为( 2、若 A ? x ? Z 2 ? 2

?

?

A.0

B.1

C.2

D.3

3、 设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 A. 2 B.4 C. 2 2 D.2

1 ,则 a ? ( 2



4、 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函数, 则函数 f ?x ? ( )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 5 .设 ? ? ?? 1,1, A. -1,3

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为( 2 ?
C. 1,3 D.-1,1,3



B.-1,1

6.已知 f ( x) ? ? A. (0,1)

?(3a ?1) x ? 4 a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 x ?1 ?log a x, 1 1 1 1 B. (0, ) C. [ ,1) D. [ , ) 3 7 7 3
( a , b 为常 x 2 ? 1) ? 2 在 (??,0) 上有最小值-5, )

7.若函数 f ( x) ? ax3 ? b log2 ( x ?

数) ,则函数 f ( x) 在 (0,??) 上(

A .有最大值 9
8.函数 y ?

B .有最小值 5

C .有最大值 3
( )

D .有最大值 5

9 ? x2 的图象关于 | x ? 4| ? | x ?3|
B. y 轴对称

A. x 轴对称

C.原点对称
1

D.直线 x ? y ? 0 对称

9.若函数

? x2 ? 1( x ? 1) ,则 f(f(10)=( f ( x) ? ? lg x ( x ? 1) ?
B.2 C.1

) D.0

A.lg101

10.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) ,

0) 时, 当 x ? ( ?2,
A. ?

f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(
B.



1 2

11.已知函数 f(x)=x2+ax+b-3(x∈R)图象恒过点(2,0),则 a2+b2 的最小值为( 1 1 A.5 B. C.4 D. 5 4 ax ? b 12. 设函数 f ( x ) = 2 的图象如下图所示,则 a、b、c 的大小关系是 x ?c
y

1 2

C. 2

D. ? 2 )

1 -1
O

1

x

-1

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

二、填空题
13、函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为__ 14、若

x ? log4 3, 则(2x ? 2? x )2 ? ___

15. 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 , x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? 则当 16. .函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 ( ??, 0] 上是增函数,若 f (a) ? f (2) ,则实数 a 的取 值范 围是______

三、解答题
17.(本小题满分 10 分) 计算: (1) 2
? 1 2

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0

(2) log 2 25 ? log 3

1 1 ? log 5 16 9

2

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上为增函数,且满足

f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ?3? ? 1
(1)求 f ?9? , f ? 27? 的值 (2)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8? ? 2

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab, 的零点是-3 和 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f ( x) 的值域.

20. (本小题满分 12 分)某地区预计明年从年初开始的前 x 个月内,对某种商品的需求总量 .... f ( x) (万件)

1 x( x ? 1)(35 ? 2 x) ( x ? N且x ? 12) . 150 (1)写出明年第 x 个月的需求量 g ( x) (万件)与月份 x 的函数关系式,并求出哪个月份的需求量超过 1.4
与月份 x 的近似关系为 f ( x) ? 万件; (2)如果将该商品每月都投放市场 p 万件,要保持每月都满足市场需求,则 p 至少为多少万件.

21. .(本小题满分 12 分 ) 定义在非零实数集上的函数 f ( x) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 且 f ( x) 是区间

? 0, ?? ? 上的增函数

?1? 求 f (1), f (?1) 的值; ? 2 ? 求证: f (? x) ? f ( x) ;

) ? 0. ? 3? 解不等式 f (2) ? f ( x ? 1 2

22. (本小题满分 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ∈R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。

3

试题答案
CCBDC 13. 0, 6 ? ?. DABBA BB 15. ? x ? x 4 . 16.
? 1 2

?

4 14. 3
? 1 2

a ? ?2 或 a ? 2
? 1 2

17.解: (Ⅰ)原式= 2

?

1 2

?

1 2 ?1

? 1=2

?2

? 2 ?1 ?1 = 2 ? 2

?

1 2

? 2= 2? 2 ?2 2

(Ⅱ)原式= log2 52 ? log3 2?4 ? log5 3?2 =

2 lg 5 (?4) lg 2 (?2) lg 3 ? ? ? 16 lg 2 lg 3 lg 5

18.解: (1) f ?9? ? f ?3? ? f ?3? ? 2, f ? 27? ? f ?9? ? f ?3? ? 3 (2)? f ? x ? ? f ? x ? 8 ? ? f ? ? x ? x ? 8?? ? ? f ?9? 而函数 f(x)是定义在 ? 0, ?? ? 上为增函数

?x ? 0 ? ??x ? 8 ? 0 ?8? x?9 ? x ( x ? 8) ? 9 ?
即原不等式的解集为 (8,9) 19. 解: (Ⅰ) f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18 ??(6 分) (Ⅱ)当 x ? 0时, f max ( x) ? 18,当x ? 1时, f min ( x) ? 12 故所求函数 f ( x) 的值域为[12,18]????????(12 分) 20. 解: (1)由题设条件知 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 整理得 x2 ? 12x ? 35 ? 0,

1 x(12 ? x) ,. 25

?5 ? x ? 7, 又x ? N ,? x ? 6 .

即 6 月份的需求量超过 1.4 万件; (2)为满足市场需求,则 P ? g ( x) ,即 P ?

1 [?( x ? 6)2 ? 36] . 25

? g ( x) 的最大值为

36 36 36 ,P? ,即 P 至少为 万件. 25 25 25

,? f (0) ? 0, b ? 1. 21、解: (1)? f ( x)为R上的奇函数 又f (?1) ? ? f (1),得a ? 1.
(2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )(2 x1 ? 1) 2(2 x2 ? 2 x1 ) = ? ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数 .
4

(3)? t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立, ? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )

? f ( x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ? f ( x) 为减函数, ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .
2 2 即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立,而 3t ? 2t ? 3(t ? ) ?

1 3

1 1 ?? . 3 3

1 ?k ? ? . 3
??????????3 分

22. 解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1 (2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 1 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a= 4 1 ∴f(x)= (x+1)2 4 (3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 1 f(x+t)≤x ? (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4 令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

??????????7 分

? ? g (1) ? 0 ??4 ? t ? 0 ?? ? ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t ? g ( m) ? 0 ?
∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ?????????? 12 分

5


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