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2013届高考数学专题训练试题2


第一部分

专题一

第2讲

函数的图象及其性质

(限时 60 分钟,满分 100 分) 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( ) A.y=sinx C.y=xlg2 B.y=-x2 D.y=-x3

解析:根据基本初等函数的图象,可以判断 y=xlg2 在(0,+∞) 上单调递增,且是奇 函数. 答案:C 2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图 象经过点( a,a), 则 f(x)=( A.log2x ) B. 1 2x C. log 1
2

x

D.x2

1 1 解析:由题意 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),∴a=loga a 2 = ,∴f(x) 2

= log 1 x .
2

答案:C 3.函数 y= A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1 或 1<x<2} 2-x 的定义域是( lgx )

C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2}

解析:要使函数有意义只需要

?2-x≥0 ? ?x>0 ?lgx≠0 ?

解得 0<x<1 或 1<x≤2, ∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. 答案:D lg|x| 4.函数 y= x 的图象大致是( )

解析:由已知,函数的定义域为{x|x≠0}, 令 y=f(x),则 f(-x)= lg|-x| =-f(x), -x

∴f(x)为奇函数,故排除 A、B, 又 f(1)=f(-1)=0,∴选 D. 答案:D 5.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则使 不等式 f(2x-1)≤f(x-2)成立的实数 x 的取值范围是( A.[-1,1] C.[0,1] B.(-∞,1] D.[-1,+∞) )

解析:由 f(x)在 R 上为偶函数得 f(2x-1)=f(|2x-1|),f(x-2)= f(|x-2|), 所以原不等式等价于 f(|2x-1|)≤f(|x-2|). 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数,

所以|2x-1|≤|x-2|,解得-1≤x≤1. 答案:A 6.设 f(x)是 R 上的任意函数,给出下列四个函数: ①f(x)f(-x);②f(x)|f(-x)|;③f(x)-f(-x); ④f(x)+f(-x). 则其中是偶函数的为( A. ①② ④ 解析:①中 F(x)=f(x)f(-x),则 F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函 数 F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;②中 F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(- x)|f(x)|,此时 F(x)与 F(-x)的关系不能确定,即函数 F(x)=f(x)|f(- x)|的奇偶性不确定;③中 F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x) =-F(x), 即函数 F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数; ④中 F(x)=f(x)+f(- x), F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x), 即函数 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数. 答案:D 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 7. 设函数 f(x)=ax+2, y=f-1(x)的图象过点(-2,1), f-1(a) 且 则 =________. 解析:由于 y=f-1(x)的图象过点(-2,1),则(1,-2)在函数 f(x) =ax+2 的图象上,因此 a+2=-2,a=-4.根据反函数知识令-4x 3 3 +2=-4,可得 x= ,因此 f-1(-4)= . 2 2 答案: 3 2 ) B. ②③ C. ③④ D. ①

8.(精选考题· 江苏高考)设函数 f(x)=x(ex+ae- x)(x∈R)是偶函 数,则实数 a 的值为________.

解析:设 g(x)=x,h(x)=ex+ae-x, 因为函数 g(x)=x 是奇函数, 则由题意知,函数 h(x)=ex+ae-x 为奇函数, 又函数 f(x)的定义域为 R, ∴h(0)=0,解得 a=-1. 答案:-1 9.对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述三个命题: ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对于任意的 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),则函数 f(x)的图象 关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数. 其中正确命题的序号为______.(把你认为正确命题的序号都填 上) 解析: y=f(x-1)图象是由 y=f(x)向右平移 1 个单位得到. ∵f(x) 是奇函数,图象关于(0,0)对称,因此 y=f(x-1)关于(1,0)对称,故① 正确; 对于②,对任意 x∈R,有 f(x+1)=f(x-1),可知 2 是 f(x)的一 个周期,故②错; ∵y=f(x-1)图象是由 y=f(x)图象向右平移 1 个单位得到的,y =f(x-1)图象关于直线 x=1 对称,则 y=f(x)关于 y 轴对称. ∴f(x)为偶函数,故③正确. 答案:①③ 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 1 10. (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+x+ 2 的图象关于点 A(0,1)

对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)· x+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)的图象与 h(x)的图象关于 A(0,1)对称,设 f(x)图象 上任意一点坐标为 B (x,y),其关于 A(0,1)的对称点 B′(x′,y′),

?x′+x=0 2 则? y′+y ? 2 =1

? ?x′=-x ,∴? . ?y′=2-y ?

∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+

1 +2, x′

1 1 1 ∴2-y=-x-x+2,∴y=x+x,即 f(x)=x+x. (2)g(x)=x2+ax+1, a ∵g(x)在[0,2]上为减函数,∴- ≥2,即 a≤-4, 2 ∴a 的取值范围为(-∞,-4]. 11. (本小题满分 15 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 0≤x≤2 当 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2) 的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的草图; (3)写出函数 f(x)的值域. 解:(1)设顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x -3)2+4,将(2,2)代入可得 a=-2,

∴y=-2(x-3)2+4,即 y=-2x2+12x-14. 设 x<-2,则-x>2. 又 f(x)为偶函数, f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. ∴函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14. (2)函数 f(x)的图象如图所示.

(3)函数 f(x)的值域为(-∞,4]. 12.(本小题满分 16 分)如果函数 f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(x) 为增函数,f(x· y)=f(x)+f(y). x (1)求证:f(y )=f(x)-f(y); (2)已知 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围. x x 解:(1)证明:∵f(x)=f(y· y)=f(y)+f(y), x ∴f(y)=f(x)-f(y). (2)∵f(3)=1,f(a)>f(a-1)+2, ∴f(a)-f(a-1)>2. a ∴f( )>2=f(3)+f(3)=f(9). a-1 ∵f(x)是增函数,

9 a ∴ >9.又 a>0,a-1>0,∴1<a< . 8 a-1 9 ∴a 的取值范围是 1<a< . 8

1.函数 y=

ln?x+1? 的定义域为( -x2-3x+4

)

A.(-4,-1) C.(-1,1)

B.(-4,1) D.(-1,1]

?x+1>0, ? 解析:定义域? ?-1<x<1. 2 ?-x -3x+4>0 ?

答案:C 2.已知函数 y=2x 的反函数是 y=f-1(x),则函数 y=f-1(1-x)的 图象是图中的( )

解析:f-1(x)=log2x,f-1(1-x)=log2(1-x).f-1(1-x)的定义域 是(-∞,1),排除 A、B、D. 答案:C 3.已知 f(x)是周期为 3 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx.设 a 11 5 7 =f( ),b=f( ),c=f( ),则( 5 2 2 A.a<b<c C.c<b<a ) B.b<a<c D.c<a<b

11 4 4 5 1 1 7 解析: a=f( )=f(- )=-f( ), b=f( )=f(- )=-f( ), c=f( ) 5 5 5 2 2 2 2 1 =f( )<0,∴c<a<b. 2 答案:D 4.若函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇 函数,又是增函数,那么 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

解析:对任意 x,f(-x)+f(x)=0, 即 ka-x-ax+kax-a-x=0, ∴(k-1)(a-x+ax)=0. ∵a-x+ax≠0,∴k=1. ∴f(x)=ax-a-x,g(x)=loga(x+1). ∵f(x)=ax-a-x 在(-∞,+∞)上为增函数,故 a>1, ∴g(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上为增函数. 答案:C
?x2-x, ? 5.已知 f(x)=? ? ?1+2lgx,

x≤0, x>0,

若 f(x)=2,则 x=________.

解析:依题意:当 x>0 时,由 f(x)=2 可得 1+2lgx=2, ∴x= 10;当 x≤0 时,由 f(x)=2 可得 x2-x=2,∴x=-1 或 x=2(舍),∴x= 10或 x=-1. 答案:-1 或 10 b 6.已知函数 f(x)=ax+x+c(a、b、c 是常数)是奇函数,且满足

5 17 f(1)= ,f(2)= . 2 4 (1)求 a、b、c 的值; 1 (2)试判断函数 f(x)在(0, )上的单调性并说明理由; 2 (3)试求函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值. 解:(1)∵函数 f(x)是奇函数,∴f(-x)+f(x)=0. b b 即-ax-x+c+ax+x+c=0,∴c=0. 5 17 由 f(1)= ,f(2)= , 2 4 5 1 b 17 得 a+b= ,2a+ = ,解得 a=2,b= . 2 2 4 2 1 ∴a=2,b= ,c=0. 2 1 1 (2)由(1)知,f(x)=2x+ ,∴f′(x)=2- 2. 2x 2x 1 1 1 当 x∈(0, )时,0<2x2< ,则 2>2. 2 2 2x 1 ∴f′(x)<0.∴函数 f(x)在(0, )上为减函数. 2 1 1 (3)由 f′(x)=2- 2=0,x>0,得 x= . 2x 2 1 1 ∵当 x> 时, 2<2,∴f′(x)>0, 2 2x 1 即函数 f(x)在( ,+∞)上为增函数. 2 1 又由(2)知 x= 处是函数的最小值点, 2 1 即函数 f(x)在(0,+∞)上的最小值为 f( )=2. 2


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