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2015年中考数学真题 圆的有关性质题型


圆的有关性质
一.选择题 1.(2015?湖南株洲,第 6 题 3 分)如图,圆 O 是△ ABC 的外接圆,∠A=68° ,则∠OBC 的大 小是 ( )

A.22° B.26° C.32° D.68° 【试题分析】 本题考点为:通过圆心角∠BOC=2∠A=136° ,再利用等腰三角形 AOC 求出∠OBC 的度数 答案为:A
A

O B C

第6题图

2、 (2015· 湖南省常德市, 第 6 题 3 分) 如图, 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形, 已知∠BOD =100° ,则∠BCD 的度数为: A、50°
A O
1000

B、80°

C、100°

D、130°

B C
第6题图

D

【解答与分析】圆周角与圆心角的关系,及圆内接四边形的对角互补 :答案为 D 3, (2015?四川南充,第 8 题 3 分)如图,PA 和 PB 是⊙O 的切线,点 A 和 B 是切点,AC 是 ⊙O 的直径,已知∠P=40° ,则∠ACB 的大小是( )

(A)60°

(B)65°

(C)70°

(D)75°

【答案】C

考点:切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质. 4. (2015?四川资阳,第 8 题 3 分)如图 4,AD、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点 P 从 点 O 出发,沿 O→C→D→O 的路线匀速运动,设∠APB=y(单位:度) ,那么 y 与点 P 运动 的时间 x(单位:秒)的关系图是

考点:动点问题的函数图象.. 分析:根据图示,分三种情况: (1)当点 P 沿 O→C 运动时; (2)当点 P 沿 C→D 运动时; (3)当点 P 沿 D→O 运动时;分别判断出 y 的取值情况,进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x(单位:秒)的关系图是哪个即可. 解答:解: (1)当点 P 沿 O→C 运动时, 当点 P 在点 O 的位置时,y=90° , 当点 P 在点 C 的位置时, ∵OA=OC, ∴y=45° , ∴y 由 90° 逐渐减小到 45° ;

(2)当点 P 沿 C→D 运动时, 根据圆周角定理,可得 y≡90°÷2=45°; (3)当点 P 沿 D→O 运动时, 当点 P 在点 D 的位置时,y=45° , 当点 P 在点 0 的位置时,y=90° , ∴y 由 45° 逐渐增加到 90° . 故选:B. 点评: (1) 此题主要考查了动点问题的函数图象, 解答此类问题的关键是通过看图获取信息, 并能解决生活中的实际问题,用图象解决问题时,要理清图象的含义即学会识图. (2)此题还考查了圆周角定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在同圆或 等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.

5、 (2015?四川自贡,第 9 题 4 分)如图, AB 是⊙O 的直径,弦
CD ? AB, ?CDB ? 30o,CD ? 2 3 ,则

阴影部分的面积为 A. 2? B. ? C.

( )

? 3

D.

2? 3

考点:圆的基本性质、垂径定理,勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等. 分析:本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对 称图形和垂径定理, 利用题中条件可知 E 是弦 CD 的中点, B 是弧 CD 的中点; 此时解法有三: 解法一,在弓形 CBD 中,被 EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的, 所以阴影部分的面积之和转化到扇形 COB 来求;解法二,连接 OD,易证△ ODE ≌△ OCE , 所以阴影部分的面积之和转化到扇形 BOD 来求;解法三,阴影部分的面积之和是扇形 COD 的面积的一半.
C A

略解: ∵ AB 是⊙O 的直径, AB ? CD ∴ E 是弦 CD 的中点, B 是弧 CD 的中点(垂径定理)

O

E
D

B

∴在弓形 CBD 中,被 EB 分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质)

∴阴影部分的面积之和等于扇形 COB 的面积.

1 1 ∵ E 是弦 CD 的中点, CD ? 2 3 ∴ CE ? CD ? ? 2 3 ? 3 ∵ AB ? CD ∴ ?OEC ? 90o 2 2 1 ∴ ?COE ? 60o , OE ? OC . 在 Rt△ OEC 中,根据勾股定理可知: OC 2 ? OE 2 ? CE 2 2
?1 ? 即 OC 2 ? ? OC ? ? ?2 ?
2

? 3?

2

.
60 o ? ? ? OC 2 60 o ? ? ? 2 2 2 ? ? ? .即 阴影部分的面积之 o 3 360 360o

解得: OC ? 2 ; S 扇形 COB =

2 和为 ? .故选 D. 3
6. (2015?浙江滨州,第 11 题 3 分) 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2,则其内切圆 半径的长为( ) A. 【答案】B 【解析】 ⊙D 为外接圆, 试题分析: 如图, 等腰直角三角形 ABC 中, 可知 D 为 AB 的中点, 因此 AD=2, AB=2AD=4, 根据勾股定理可求得 AC= 因此 EF=FC=AC-AF= 故选 B -2. AF=AD, , 根据内切圆可知四边形 EFCG 是正方形, B. C. D. —1

考点:三角形的外接圆与内切圆 7, (2015 湖南邵阳第 7 题 3 分) 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙O, 已知∠ADC=140° , 则∠AOC 的大小是( )

A.80°

B.100°

C.60°

D.40°

考点: 圆内接四边形的性质;圆周角定理.. 分析: 根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40° , 利用圆周角定理, 得∠AOC=2∠B=80° . 解答: 解:∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠ABC+∠ADC=180° , ∴∠ABC=180° =40° ﹣140° . ∴∠AOC=2∠ABC=80° . 故选 B. 点评: 此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质,得出∠B 的度数是解题关 键. 8, (2015?淄博第 11 题,4 分)如图是一块△ ABC 余料,已知 AB=20cm,BC=7cm,AC=15cm, 现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是( )

A.πcm2

B.2πcm2

C.4πcm2

D.8πcm2

考点: 三角形的内切圆与内心.. 分析: 当该圆为三角形内切圆时面积最大, 设内切圆半径为 r, 则该三角形面积可表示为: =21r,利用三角形的面积公式可表示为 ?BC?AD,利用勾股定理可得 AD,易得三角形 ABC 的面积,可得 r,求得圆的面积. 解答: 解:如图 1 所示,

S△ ABC= ?r?(AB+BC+AC)=

=21r,

过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 的延长线于点 D,如图 2,

设 CD=x, 由勾股定理得:在 Rt△ ABD 中, AD2=AB2﹣BD2=400﹣(7+x)2,
2 2 2 2 在 Rt△ ACD 中,AD =AC ﹣x =225﹣x ,

∴400﹣(7+x)2=225﹣x2, 解得:x=9, ∴AD=12, ∴S△ ABC= ∴21r=42, ∴r=2,
2 2 2 该圆的最大面积为:S=πr =π?2 =4π(cm ) ,

= × 7× 12=42,

故选 C. 点评: 本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用, 运用三角形内切圆 的半径表示三角形的面积是解答此题的关键.

9 , (2015 上海,第 6 题 4 分)如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,半径 OC⊥AB,垂足为点 D, 要使四边形 OACB 为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是( A、AD=BD; B、OD=CD; )

C、∠CAD=∠CBD; 【答案】B

D、∠OCA=∠OCB.

【解析】因 OC⊥AB,由垂径定理,知 AD=BD,若 OD=CD,则对角线互相垂直且平分, 所以,OACB 为菱形。

10 .(2015 湖北荆州第 5 题 3 分)如图,A,B,C 是⊙O 上三点,∠ACB=25° ,则∠BAO 的 度数是( )

A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 考点: 圆周角定理. 分析: 连接 OB,要求∠BAO 的度数,只要在等腰三角形 OAB 中求得一个角的度数即可 得到答案,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50° ,然后根据等腰三角形两 底角相等和三角形内角和定理即可求得. 解答: 解:连接 OB, ∵∠ACB=25° , ∴∠AOB=2× 25° =50° , 由 OA=OB, ∴∠BAO=∠ABO, ∴∠BAO= (180° ﹣50° )=65° . 故选 C.

点评: 本题考查了圆周角定理;作出辅助线,构建等腰三角形是正确解答本题的关键. 11 . (2015?浙江杭州,第 5 题 3 分)圆内接四边形 ABCD 中,已知∠A=70° ,则∠C=( )

A. 20° 【答案】D.

B. 30°

C. 70°

D. 110°

【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】∵圆内接四边形 ABCD 中,已知∠A=70° , ∴根据圆内接四边形互补的性质,得∠C=110° . 故选 D. 12. (2015?浙江湖州,第 8 题 3 分)如图,以点 O 为圆心的两个圆中,大圆的弦 AB 切小圆 于点 C,OA 交小圆于点 D,若 OD=2, tan∠OAB= A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 ,则 AB 的长是( )

【答案】C.

考点:切线的性质定理;锐角三角函数;垂径定理.

13. (2015?浙江宁波,第 8 题 4 分)如图,⊙O 为△ ABC 的外接圆,∠A=72° ,则∠BCO 的 度数为【 】

A. 15° 【答案】B.

B. 18°

C. 20°

D. 28°

【考点】圆周角定理;等腰三角形的性质;三角形内角和定理. 【分析】如答图,连接 OB,

? 所对的圆周角和圆心角, ∵∠A 和∠BOC 是同圆中同弧 BC
∴ ?BOC ? 2?A . ∵∠A=72° . ,∴∠BOC=144° ∵OB=OC,∴ ?CBO ? ?BCO .∴ ?CBO ? 故选 B. 14 . (2015?山东威海, ∠CBD=2∠BDC, ∠BAC=44° 第 9 题 3 分) 如图, 已知 AB=AC=AD, , 则∠CAD 的度数为( )

180? ? 144? ? 18? . 2

A.

68°B.

88°C.

90°D. 112°

考点: 圆周角定理.. 分析: 如图,作辅助圆;首先运用圆周角定理证明∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,结 合已知条件∠CBD=2∠BDC,得到∠CAD=2∠BAC,即可解决问题. 解答: 解:如图,∵AB=AC=AD, ∴点 B、C、D 在以点 A 为圆心, 以 AB 的长为半径的圆上; ∵∠CBD=2∠BDC, ∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC, ∴∠CAD=2∠BAC,而∠BAC=44° ,

∴∠CAD=88° , 故选 B.

点评: 该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题; 解题的方法是作 辅助圆, 将分散的条件集中; 解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分 析、判断、推理或解答. 15.(2015?山东潍坊第 10 题 3 分)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒, 水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是 8cm,水的 最大深度是 2cm,则杯底有水部分的面积是( )

A.(

π﹣4

2 )cm B.(

π﹣8

2 )cm C.( π﹣4

2 )cm D.( π﹣2

2 )cm

考点: 垂径定理的应用;扇形面积的计算.. 分析: 作 OD⊥AB 于 C,交小⊙O 于 D,则 CD=2,由垂径定理可知 AC=CB,利用正弦 函数求得∠OAC=30° ,进而求得∠AOC=120° ,利用勾股定理即可求出 AB 的值,从而利用 S
扇形

﹣S△ AOB 求得杯底有水部分的面积.

解答: 解:作 OD⊥AB 于 C,交小⊙O 于 D,则 CD=2,AC=BC, ∵OA=OD=4,CD=2, ∴OC=2, 在 RT△ AOC 中,sin∠OAC= ∴∠OAC=30° , ∴∠AOC=120° , = ,

AC= ∴AB=4 ,

=2



∴杯底有水部分的面积=S 扇形﹣S△ AOB= 故选 A.

﹣ ×

× 2=(

π﹣4

)cm

2

点评: 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理, 根据题意作出辅助线, 构造出直角三角 形是解答此题的关键. 16. (2015?甘肃兰州,第 9 题,4 分)如图,经过原点 O 的⊙P 与 x 、 y 轴分别交于 A、B 两 点,点 C 是劣弧 A. 80° 上一点,则∠ACB= B. 90° C. 100° D. 无法确定

【 答 案 】B 【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念 【知识准备】在同一个圆(或等圆)中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等;直径所对的圆 周角是直角;当圆周角为直角时,其所对的弦是直径。 【解答过程】∠ACB 和∠AOB 都是⊙P 中同一条弧所对的圆周角,所以它们相等 【归纳拓展】在其它类似题目中,我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同;再换一种场合, 如果连结 AB,还有可能需要说明 AB 是直径,或者点 P 在 AB 上。 【题目星级】★★ 17.(2015?山东东营,第 10 题 3 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90° ,AB=BC.点 D 是线 段 AB 上的一点,连结 CD,过点 B 作 BG⊥CD,分别交 CD、CA 于点 E、F,与过点 A 且 垂直于 AB 的直线相交于点 G,连结 DF.给出以下四个结论:① ;②若点 D 是 AB

的中点,则 AF= 则 A.①②

AB;③当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时,DF=DB;④若 .其中正确的结论序号是( B.③④ C.①②③ ) D.①②③④



【答案】C

考点:1.相似三角形的判定和性质;2.圆周角定理;3.三角形全等的判定与性质.

18. B, C是 (2015?山东临沂,第 8 题 3 分) 如图 A, 等于( )

上的三个点, 若

, 则

(A) 50° . (B) 80° . 【答案】D 【解析】

(C) 100° .

(D) 130° .

=260° 试题分析:根据圆周的度数为 360° ,可知优弧 AC 的度数为 360° -100° ,然后根据同 . 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,可求得∠B=130° 故选 D 考点:圆周角定理
o 19.(2015· 深圳,第 9 题 分)如图,AB 为⊙O 直径,已知为∠DCB=20 ,则∠DBA 为( )

A、 50o 【答案】D

B、 20 o

C、 60 o

D、 70 o

o 【解析】AB 为⊙O 直径,所以,∠ACB=90 ,∠DBA=∠DCA= 70 o

20. (2015· AB 是⊙O 的直径, AB=8, ∠MAB=20° ,N 南宁, 第 11 题 3 分)如图 6, 点 M 在⊙O 上, 是弧 MB 的中点,P 是直径 AB 上的一动点,若 MN=1,则△ PMN 周长的最小值为( ). (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

图6 考点:轴对称-最短路线问题;圆周角定理.. 分析:作 N 关于 AB 的对称点 N′,连接 MN′,NN′,ON′,ON,由两点之间线段最短可知

MN′ 与 AB 的交点 P′ 即为 △ PMN 周长的最小时的点,根据 N 是弧 MB 的中点可知 ∠A=∠NOB=∠MON=20° ,故可得出∠MON′=60°,故△ MON′为等边三角形,由此可得出结 论. 解答:解:作 N 关于 AB 的对称点 N′,连接 MN′,NN′,ON′,ON. ∵N 关于 AB 的对称点 N′, ∴MN′与 AB 的交点 P′即为△ PMN 周长的最小时的点, ∵N 是弧 MB 的中点, ∴∠A=∠NOB=∠MON=20° , ∴∠MON′=60°, ∴△MON′为等边三角形, ∴MN′=OM=4, ∴△PMN 周长的最小值为 4+1=5. 故选 B.

点评:本题考查的是轴对称﹣最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的 性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点. 21. (2015?四川乐山,第 10 题 3 分)如图,已知直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、

B 两点,P 是以 C(0,1)为圆心,1 为半径的圆上一动点,连结 PA、PB.则△ PAB 面积的 最大值是( )

A.8

B.12

C.

D.

【答案】C.

22. (2015?四川凉山州,第 10 题 4 分)如图,△ ABC 内接于⊙O,∠OBC=40° ,则∠A 的度 数为( )

A.80° 【答案】D.

B.100°

C.110°

D.130°

考点:圆周角定理.

23. (2015?四川泸州,第 8 题 3 分) PA、 PB 分别与⊙O 相切于 A、 B 两点, 如图, 若∠C=65° , 则∠P 的度数为 A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°

考点:切线的性质..

分析:由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP,OB 垂直于 BP, 可得出两个角为直角,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍,由已知∠C 的度数求 出∠AOB 的度数,在四边形 PABO 中,根据四边形的内角和定理即可求出∠P 的度数. 解答:解:∵PA、PB 是⊙O 的切线, ∴OA⊥AP,OB⊥BP,
O A P B
第8题图

∴∠OAP=∠OBP=90° , 又∵∠AOB=2∠C=130° , +90° +130° 则∠P=360° ﹣(90° )=50° . 故选 C.

C

点评:本题主要考查了切线的性质,四边形的内角与外角,以及圆周角定理,熟练运用性质 及定理是解本题的关键.

24. (2015?四川眉山,第 11 题 3 分)如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,∠ACO=45° ,则∠B 的度数为( )

A.30°

B.35°

C.40°

D.45°

考点: 圆周角定理.. 分析: 先根据 OA=OC,∠ACO=45° 可得出∠OAC=45° ,故可得出∠AOC 的度数,再由圆 周角定理即可得出结论. 解答: 解:∵OA=OC,∠ACO=45° , ∴∠OAC=45° , ∴∠AOC=180° =90° ﹣45° ﹣45° , ∴∠B= ∠AOC=45° . 故选 D.

点评: 本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

25. (2015?甘肃武威,第 8 题 3 分)△ ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160° ,则∠ABC 的度数是( ) A 80° . B 160° . C 100° . D 80° 或 100° .

考点: 分析:

圆周角定理. 首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC 的度数,又由

圆的内接四边形的性质,即可求得∠ABC 的度数. 解答: 解:如图,∵∠AOC=160° , ∴∠ABC= ∠AOC= × 160° =80° , ∵∠ABC+∠AB′C=180° , ∴∠AB′C=180° =100° ﹣∠ABC=180° ﹣80° . ∴∠ABC 的度数是:80° 或 100° . 故选 D.

点评:

此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数

形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.

二.填空题

1.(2015?福建泉州第 17 题 4 分)在以 O 为圆心 3cm 为半径的圆周上,依次有 A、B、C 三 个点,若四边形 OABC 为菱形,则该菱形的边长等于 3 cm;弦 AC 所对的弧长等于 2π 或 4π cm. 解:连接 OB 和 AC 交于点 D, ∵四边形 OABC 为菱形, ∴OA=AB=BC=OC, ∵⊙O 半径为 3cm, ∴OA=OC=3cm, ∵OA=OB, ∴△OAB 为等边三角形, ∴∠AOB=60° , ∴∠AOC=120° , ∴ = = =2π, =4π,

∴优弧

故答案为 3,2π 或 4π.

2.(2015 湖北鄂州第 15 题 3 分) PA 切⊙O 于点 A, AB= 已知点 P 是半径为 1 的⊙O 外一点, 且 PA=1, AB 是⊙O 的弦, 连接 PB,则 PB= 【答案】1 或 . . ,

考点:1.垂径定理;2.圆的认识;3.切线的性质.

3, (2015 上海,第 17 题 4 分)在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=12,点 A 在⊙B 上.如果⊙D 与⊙B 相交,且点 B 在⊙D 内,那么⊙D 的半径长可以等于___________.(只需写出一个符 合要求的数) 【答案】15 【解析】

O A D C B

.(2015?江苏南昌,第 10 题 3 分)如图,点 A, B, C 在⊙O 上,CO 的延长线交 AB 于点 D,∠A=50° ,∠B=30° 则∠ADC 的度数为 .

A D O B
第10题

C

, ∴∠BOC=100° , ∴∠BOD=80° , ∴∠ADC=∠B +∠BOD=30° 答案:解析:∵∠A=50° + 80° =110° 4.(2015?江苏南京,第 15 题 3 分)如图,在⊙O 的内接五边形 ABCDE 中,∠CAD=35° ,则 ∠B+∠E= _________ ° .

【答案】215.

考点:圆内接四边形的性质. 5. ( 2015? 浙江衢州 , 第 14 题 4 分) 一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 ,水面宽 宽 等于 ▲ . ,某天下雨后,水管水面上升了 ,则此时排水管水面

【答案】



【考点】垂径定理;勾股定理.. 【分析】如答图,连接 则 . ,过点 作 于点 ,交 于点 ,



,∴ ,即 .∴ ,∴

. .

∵下雨后,水管水面上升了 ∴

6. (2015?四川南充,第 16 题 3 分)如图,正方形 ABCD 边长为 1,以 AB 为直径作半圆,点 P 是 CD 中点,BP 与半圆交于点 Q,连结 DQ.给出如下结论:①DQ=1;② ;

③S△ PDQ=

;④cos∠ADQ=

.其中正确结论是_________. (填写序号)

【答案】①②④ 【解析】 试题分析:根据切线的性质可得 DQ=AD=1,过点 Q 作 QE⊥BC,则△ BQE∽△BPC,则 ,则 ①②④正确. ,过点 Q 作 QF⊥AD,则 DF= ,则 cos∠ADQ= = .则

考点:圆的基本性质. 7、 (2015?四川自贡,第 13 题 4 分)已知, AB 是⊙O 的一条直径 ,延长 AB D 至 C 点,使
AC ? 3BC , CD 与⊙O 相切于 D 点,若 CD ? 3 ,则劣弧 AD 的长为 A
O

.

B

C

13题
考点:圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等. 分析:本题劣弧 AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧 AD 所对的 圆心角的度数.在连接 OD 后,根据切线的性质易知 ?ODC ? 90o ,圆的半径和圆心角的度数 可以通过 Rt△ OPC 获得解决. 略解:连接半径 OD.又∵ CD 与⊙O 相切于 D 点 ∴ OD ? CD ∴ ?ODC ? 90o ∵ AC ? 3BC
AB ? 2OB ∴ OB ? BC ∴ OB ?
A O D B C

1 OC 2

又 OB ? OD

13题

1 ∴ OD ? OC 2

∴在 Rt△ OPC cos ?DOC ?

OD 1 ? ∴ ?DOC ? 60o OC 2
∵ CD ? 3

∴ ?AOD ? 120o ∴在 Rt△ OPC 根据勾股定理可知: OD2 ? DC 2 ? OC 2 ∴ OD 2 ?

? 3?

2

? ? 2OD ?

2

解得: OD ? 1

则劣弧 AD 的长为

120o ? ? ? OD 120o ? ? ? 1 2? ? ? . 3 180o 180o

故应填

2? 3

? ,则 8. (2015?浙江丽水,第 13 题 4 分)如图,圆心角∠AOB=20° ,将 ? AB 旋转 n? 得到 CD ? 的度数是 CD
▲ 度

【答案】20. 【考点】旋转的性质;圆周角定理. 【分析】如答图,

? ,∴根据旋转的性质,得 CD ? ?? ∵将 ? AB . AB 旋转 n? 得到 CD
∵∠AOB=20° . ,∴∠COD=20°

? 的度数是 20° ∴ CD .
9. (2015?四川省宜宾市,第 14 题,3 分)如图,AB 为⊙O 的直径,延长 AB 至点 D,使 ⌒ BD=OB,DC 切⊙O 于点 C,点 B 是CF 的中点,弦 CF 交 AB 于点 F 若⊙O 的半径为 2,则 CF= .2 3
C

A

O

E

D B

F

10. (2015?浙江省绍兴市,第 12 题,5 分)如图,已知点 A(0,1) ,B(0,-1) ,以点 A 为圆心,AB 为半径作圆,交 x 轴的正半轴于点 C,则∠BAC 等于 ▲ 度

考点:垂径定理;坐标与图形性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理.. 分析:求出 OA、AC,通过余弦函数即可得出答案. 解答:解:∵A(0,1) ,B(0,﹣1) , ∴AB=2,OA=1, ∴AC=2, 在 Rt△ AOC 中,cos∠BAC= ∴∠BAC=60° , = ,

故答案为 60. 点评:本题考查了垂径定理的应用,关键是求出 AC、OA 的长. 11.(2015· 贵州六盘水,第 11 题 4 分)如图 6 所示,A、B、C 三点均在⊙O 上, 若∠AOB=80° ,则∠ACB= .

考点:圆周角定理.. 专题:计算题. 分析:直接根据圆周角定理求解. 80° =40° 解答:解:∠ACB= ∠AOB= × . 故答案为 40. 点评:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半.

12.(2015· 贵州六盘水,第 18 题 4 分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约 1400 年,历经无数次洪水冲击和 8 次地震却安然无恙。如图 10,若桥跨度 AB 约为 40 米,主拱 高 CD 约 10 米,则桥弧 AB 所在圆的半径 R= 米.

考点:垂径定理的应用;勾股定理.. 分析:根据垂径定理和勾股定理求解即可. 解答:解:根据垂径定理,得 AD= AB=20 米.

设圆的半径是 r,根据勾股定理,
2 2 2 得 R =20 +(R﹣10) ,

解得 R=25(米) . 故答案为 25. 点评:此题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角 三角形进行有关的计算.

13.(2015?江苏泰州,第 12 题 3 分) ∠A=115° 如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中, ,则∠BOD . 等于__________°

. 【答案】150°

考点:1.圆内接四边形的性质;2.圆周角定理.

14.(2015?江苏徐州,第 15 题 3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,连接 AC.若∠CAB=22.5° ,CD=8cm,则⊙O 的半径为 4 cm.

考点: 垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理..

专题: 计算题. 分析: 连接 OC,如图所示,由直径 AB 垂直于 CD,利用垂径定理得到 E 为 CD 的中点, 即 CE=DE,由 OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,确定出三角形 COE 为等腰直角 三角形,求出 OC 的长,即为圆的半径. 解答: 解:连接 OC,如图所示: ∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB, ∴CE=DE= CD=4cm, ∵OA=OC, ∴∠A=∠OCA=22.5° , ∵∠COE 为△ AOC 的外角, ∴∠COE=45° , ∴△COE 为等腰直角三角形, ∴OC= CE=4 cm,

故答案为:4

点评: 此题考查了垂径定理,等腰直角三角形的性质,以及圆周角定理,熟练掌握垂径定 理是解本题的关键.

15.(2015?山东东营,第 15 题 4 分)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m,其 中水面的宽 AB 为 0.8m,则排水管内水的深度为 m.

【答案】0.8

考点:1.垂径定理;2.勾股定理.

16. (2015?四川甘孜、阿坝,第 23 题 4 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 垂直平分半径 OA,则∠ABC 的大小为 30 度.

考点: 垂径定理;含 30 度角的直角三角形;圆周角定理.. 分析: 根据线段的特殊关系求角的大小,再运用圆周角定理求解. 解答: 解:连接 OC,∵弦 CD 垂直平分半径 OA, ∴OE= OC, ∴∠OCD=30° ,∠AOC=60° , ∴∠ABC=30° . 故答案为:30.

点评: 本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出∠OCE=30° , ∠EOC=60° .然后再圆周角定理,从而求出∠ABC=30° . 17. (2015?四川广安,第 12 题 3 分)如图,A、B、C 三点在⊙O 上,且∠AOB=70° ,则∠C= 35 度.

考点: 圆周角定理.. 分析: 由 A,B,C 三点在⊙O 上,且∠AOB=70° ,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得答案. 解答: 解:∵∠AOB=70° , ∴∠C= ∠AOB=35° . 故答案为:35. 点评: 此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用,解题的关 键是:熟记在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的 一半. 18. (2015?甘肃兰州,第 20 题,4 分)已知△ ABC 的边 BC=4cm,⊙O 是其外接圆,且半径 也为 4cm,则∠A 的度数是____ 【 答 案 】30° 【考点解剖】本题考查同(等)弧所对圆周角和圆心角的关系,正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中,圆周角等于同弧(等弧)所对圆心角的 一半, 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。

【思路点拔】BC=半径, 那么 BC 与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形,这样, 自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。 【解答过程】分别连结 OB 和 OC,因为 BC=OB=OC,所以∠O=60° , 则在⊙O 中,∠A= 【题目星级】★★

1 ∠B=30° . 2

三.解答题 1.(2015?山东威海,第 22 题 9 分)如图,在△ ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E. (1)求证:BE=CE; (2)若 BD=2,BE=3,求 AC 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理.. 专题: 证明题. 分析: (1)连结 AE,如图,根据圆周角定理,由 AC 为⊙O 的直径得到∠AEC=90° ,然 后利用等腰三角形的性质即可得到 BE=CE; (2)连结 DE,如图,证明△ BED∽△BAC,然后利用相似比可计算出 AB 的长,从而得到 AC 的长. 解答: (1)证明:连结 AE,如图, ∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠AEC=90° , ∴AE⊥BC, 而 AB=AC,

∴BE=CE; (2)连结 DE,如图, ∵BE=CE=3, ∴BC=6, ∵∠BED=∠BAC, 而∠DBE=∠CBA, ∴△BED∽△BAC, ∴ = ,即 = ,

∴BA=9, ∴AC=BA=9.

点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质: 在判定两个三角形相似时, 应注意利用图形 中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的性质和圆周角定理.

2. (2015?四川资阳,第 22 题 9 分)如图 11,在△ ABC 中,BC 是以 AB 为直径的⊙O 的切线, 且⊙O 与 AC 相交于点 D,E 为 BC 的中点,连接 DE. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)连接 AE,若∠C=45° ,求 sin∠CAE 的值. 考点: 切线的判定;勾股定理;解直角三角形.. 分析: (1)连接 DO,DB,由圆周角定理就可以得出∠ADB=90° ,可以得出∠CDB=90° ,根 OD=OB 可以得出∠ODB=∠OBD, 据 E 为 BC 的中点可以得出 DE=BE, 就有∠EDB=∠EBD, 由的等式的性质就可以得出∠ODE=90° 就可以得出结论. (2)作 EF⊥CD 于 F,设 EF=x,由∠C=45° ,得出△ CEF、△ ABC 都是等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 BE=CE= x,AB=BC=2 x,AE= x,进而

就可求得 sin∠CAE 的值. 解答:解: (1)连接 OD,BD, ∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD. ∵AB 是直径, ∴∠ADB=90° , ∴∠CDB=90° . ∵E 为 BC 的中点, ∴DE=BE, ∴∠EDB=∠EBD, ∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD, 即∠EDO=∠EBO. ∵BC 是以 AB 为直径的⊙O 的切线, ∴AB⊥BC, ∴∠EBO=90° , ∴∠ODE=90° , ∴DE 是⊙O 的切线; (2)作 EF⊥CD 于 F,设 EF=x ∵∠C=45° , ∴△CEF、△ ABC 都是等腰直角三角形, ∴CF=EF=x, ∴BE=CE= ∴AB=BC=2 x, x, = . x,

在 RT△ ABE 中,AE= ∴sin∠CAE= =

点评: 本题考查了圆周角定理的运用, 直角三角形的性质的运用, 等腰三角形的性质的运用, 切线的判定定理的运用,勾股定理的运用,解答时正确添加辅助线是关键. 3、 (2015?四川自贡,第 24 题 14 分)在△ ABC 中, AB ? AC ? 5,cos ?ABC ? 点 C 顺时针旋转,得到△ A1 B1C . ⑴.如图①,当点 B1 在线段 BA 延长线上时. ①.求证: BB1 P CA1 ;②.求△ AB1C 的面积;

3 ,将△ ABC 绕 5

⑵. 如图②,点 E 是 BC 上的中点,点 F 为线段 AB 上的动点,在△ ABC 绕点 C 顺时针旋转
B1 B1 过程中,点 F 的对应点是 F1 ,求线段 EF1 长度的最大值与最小值的差. A1 A A F F1

A1

B



C

B

E

C



考点:旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、 勾股定理、圆的基本性质等.

分析: ⑴.①.见图①要使 BB1 P CA1 根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角 ?1 ? ?2 来证得. 如 图 根 据 A B ? A C 可 以 得 出 ?B ? ?A C B , 根 据 旋 转 的 特 征 可以 得 出 B1 C ? BC, 所 以

?1 ? ?B ,而 ?2 ? ?ACB (旋转角相等) ,所以 ?1 ? ?2 .

②. 求△ AB1C 的面积可以把 AB1 作为底边,其高在 B1 A 的延长线上,恰好落在等腰三角形

? ABC 的 AB 上;在等腰 ? ABC 和 ? BB C ,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定
1

理可以求出 AB、BB1、CE ,而 AB1 ? BB1 ? AB ,△ AB1C 的面积可以通过

1 AB1 ? CE 求出. 2

⑵. 见图②.点 C 到 AB 的垂线段最短,过点 C 作 CF ? AB 于 F ;点 F 点 F 的对应点是 F1 , 若以点 C 为圆心 CF 为半径画圆交 BC 于 F1 , EF1 有最小值; 根据⑴的 CA ? AB ? 5 和求出

的 BC ? 6 , 当点 F 为线段 AB 上的移到端点 A 时 CA 最长, 此时其对应点 F ' 移动到 A1 时 CA1 也就最长; 如图②, 以点 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 于的延长线 F1 ' , EF1 有最大值. EF1 有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决(见图②).

2.略解: ⑴.①.证明: ∵ AB ? AC, B1C ? BC ∴ ?B ? ?ACB, ?1 ? ?B ∵ ?2 ? ?ACB (旋转角相等) ∴ ?1 ? ?2 ∴ BB1 P CA1 ②.过 A 作 AF ? BC 于 F ,过 C 作 CE ? AB 于 E ∵ AB ? AC , AF ? BC ∴ BF ? CF (三线合一) ∵在 Rt

3 ? ?AFB 中, cos ?ABC ? BF AB 5

,又 AB ? 5
A
E

B1
1

∴ BF ? 3 ∴ BC ? 6 ∴ B1C ? BC ? 6 ∴作 CE ? AB 后 BE ? B1 E (三线合一) ∴ B1 B ? 2BE
B

A1

2 F



C

∵ 在 Rt ∴ BE ?

BE 3 ? ?AFB 中, cos ?BEC ? BC 5

18 5 36 5
2

∴ BB1 ?

18 ? 24 ∴ CE ? 6 2 - ? ? ? = (注:也可以用三角函数求出) 5 ? 5?
∴ AB1 ?

36 11 ?5 ? 5 5

1 11 24 132 ? ∴△ AB1C 的面积为: ? ? 2 5 5 25
⑵.如图过点 C 作 CF ? AB 于 F ,以点 C 为圆心 CF 为半径画圆交 BC 于 F1 , EF1 有最小值.此 时在 Rt △ BFC 中, CF ? ∴ CF1 ?

24 . 5

24 5
24 9 ?3? ; 5 5

∴ EF1 的最小值为 CF ? CE ?

F1

F1 '

如图,以点 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 于的延长线
F1 ' , EF1 有最大值.

此时 EF1 ' ? EC ? CF1 ' ? 3 ? 6 ? 9 ∴线段 EF1 的最大值与最小值的差 9 ? 4, (2015?浙江滨州,第 21 题 9 分)

9 36 ? . 5 5

如图,⊙O 的直径 AB 的长为 10,弦 AC 的长为 5,∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D. (1)求弧 BC 的长; (2)求弦 BD 的长.

【答案】 (1)

(2)

(2)连接 OD. ∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD, ∴AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD=45° 在 Rt△ ABD 中,BD= 考点:圆周角定理,解直角三角形,弧长公式 5. (2015?浙江杭州,第 19 题 8 分) 如图 1,⊙O 的半径为 r(r>0),若点 P′在射线 OP 上,满足 OP′?OP=r ,则称点 P′是点 P 关 于⊙O 的“反演点”,如图 2,⊙O 的半径为 4,点 B 在⊙O 上,∠BOA=60° ,OA=8,若点 A′、 B′分别是点 A,B 关于⊙O 的反演点,求 A′B′的长.
2

.

B O P' 图1 O 图2 A

P

【答案】解:∵⊙O 的半径为 4,点 A′、B′分别是点 A,B 关于⊙O 的反演点,点 B 在⊙O 上, OA=8, ∴ OA? ? OA ? 42 , OB? ? OB ? 42 ,即 OA? ? 8 ? 42 , OB? ? 4 ? 42 . ∴ OA? ? 2, OB? ? 4 .∴点 B 的反演点 B′与点 B 重合. 如答图,设 OA 交⊙O 于点 M,连接 B′M, ∵OM=OB′,∠BOA=60° ,∴△OB′M 是等边三角形. ∵ OA? ? A?M ? 2 ,∴B′M⊥OM. ∴在 Rt ?OB ' M 中,由勾股定理得 A?B? ? OB?2 ? OA2 ? 42 ? 22 ? 2 3 . 【考点】新定义;等边三角形的判定和性质;勾股定理. 【分析】先根据定义求出 OA? ? 2, OB? ? 4 ,再作辅助线:连接点 B′与 OA 和⊙O 的交点 M, 由已知∠BOA=60° 判定△ OB′M 是等边三角形,从而在 Rt ?OB ' M 中,由勾股定理求得 A′B′ 的长.

? 的中点 P 作 6. (2015?广东省,第 24 题,9 分)⊙O 是△ ABC 的外接圆,AB 是直径,过 BC
⊙O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D,连接 AG, CP,PB. (1)如题图 1;若 D 是线段 OP 的中点,求∠BAC 的度数; (2)如题图 2,在 DG 上取一点 k,使 DK=DP,连接 CK,求证:四边形 AGKC 是平行四 边形; PH⊥AB. (3) 如题图 3, 取 CP 的中点 E, 连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H, 连接 PH, 求证:

? 的中点,∴PG⊥BC,即∠ODB=90° . 【答案】解: (1)∵AB 为⊙O 直径,点 P 是 BC
1 1 ∵D 为 OP 的中点,∴OD= OP ? OB . 2 2
∴cos∠BOD=
OD 1 ? . ∴∠BOD=60° . OB 2

∵AB 为⊙O 直径,∴∠ACB=90° . ∴∠ACB=∠ODB. ∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60° . (2)证明:由(1)知,CD=BD, ∵∠BDP=∠CDK,DK=DP,∴△PDB≌△CDK(SAS). ∴CK=BP,∠OPB=∠CKD. ∵∠AOG=∠BOP,∴AG=BP. ∴AG=CK. ∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP. 又∵∠G=∠OBP,∴AG∥CK. ∴四边形 AGCK 是平行四边形. (3)证明:∵CE=PE,CD=BD,∴DE∥PB,即 DH∥PB. ∵∠G=∠OPB,∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD. ∵OA=OG,∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH. 又∵∠ODB=∠HOP,OB=OP,∴△OBD≌△HOP(SAS). ∴∠OHP=∠ODB=90° . ∴PH⊥AB. 【考点】圆的综合题;圆周角定理;垂径定理;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值; 平行的判定和性质;全等三角形的判定和性质;等腰三角形的性质;平行四边形的判定. 【分析】 (1)一方面,由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60° ;另一方 面 , 由 证 明 ∠ACB=∠ODB=90° 得 到 AC∥PG , 根 据 平 行 线 的 同 位 角 相 等 的 性 质 得 到 ∠BAC=∠BOD=60° .

(2) 一方面, 证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到 AG=CK; 另一方面, 证明 AG∥CK, 从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证. (3)通过应用 SAS 证明△ OBD≌△HOP 而得到∠OHP=∠ODB=90° ,即 PH⊥AB.

7. (2015?绵阳第 22 题,11 分)如图,O 是△ ABC 的内心,BO 的延长线和△ ABC 的外接 圆相交于点 D,连接 DC,DA,OA,OC,四边形 OADC 为平行四边形. (1)求证:△ BOC≌△CDA; (2)若 AB=2,求阴影部分的面积.

考点: 三角形的内切圆与内心;全等三角形的判定与性质;扇形面积的计算.. 专题: 计算题. 分析: (1)由于 O 是△ ABC 的内心,也是△ ABC 的外心,则可判断△ ABC 为等边三角 形 , 所 以 ∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°, BC=AC , 再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 ∠ADC=∠AOC=120° ,AD=OC,CD=OA=OB,则根据“SAS”证明△ BOC≌△CDA; (2) 作 OH⊥AB 于 H, 如图, 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30° , 根据垂径定理得到 BH=AH= AB=1,再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BH=AH= AB=1,OH= BH= ,OB=2OH= ,然后根据三角形面积公式和扇形面积

公式,利用 S 阴影部分=S 扇形 AOB﹣S△ AOB 进行计算即可. 解答: (1)证明:∵O 是△ ABC 的内心,也是△ ABC 的外心, ∴△ABC 为等边三角形, ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120° ,BC=AC, ∵四边形 OADC 为平行四边形, ∴∠ADC=∠AOC=120° ,AD=OC,CD=OA, ∴AD=OB, 在△ BOC 和△ CDA 中

, ∴△BOC≌△CDA;

(2)作 OH⊥AB 于 H,如图, ∵∠AOB=120° ,OA=OB, ∴∠BOH= (180° ﹣120° )=30° , ∵OH⊥AB, ∴BH=AH= AB=1, OH= BH= , ,

OB=2OH=

∴S 阴影部分=S 扇形 AOB﹣S△ AOB = 2× ﹣ ×

=



点评: 本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆, 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算.

8. (2015?四川省内江市,第 27 题,12 分)如图,在△ ACE 中,CA=CE,∠CAE=30° ,⊙O 经过点 C,且圆的直径 AB 在线段 AE 上. (1)试说明 CE 是⊙O 的切线; (2)若△ ACE 中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB;

(3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点) ,连接 OD,当 CD+OD 的最小值为 6 时, 求⊙O 的直径 AB 的长.

考点: 圆的综合题;线段的性质:两点之间线段最短;等腰三角形的性质;等边三角形的 判定与性质;菱形的判定与性质;锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值.. 专题: 综合题. 分析: (1)连接 OC,如图 1,要证 CE 是⊙O 的切线,只需证到∠OCE=90° 即可; (2)过点 C 作 CH⊥AB 于 H,连接 OC,如图 2,在 Rt△ OHC 中运用三角函数即可解决问 题; (3)作 OF 平分∠AOC,交⊙O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图 3,易证四边形 AOCF 是 菱形,根据对称性可得 DF=DO.过点 D 作 DH⊥OC 于 H,易得 DH= DC,从而有 CD+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当 F、D、H 三点共线时,DH+FD(即 CD+OD)最小,然后在 Rt△ OHF 中运用三角函数即可解决问题. 解答: 解: (1)连接 OC,如图 1,

∵CA=CE,∠CAE=30° , ∴∠E=∠CAE=30° ,∠COE=2∠A=60° , ∴∠OCE=90° , ∴CE 是⊙O 的切线;

(2)过点 C 作 CH⊥AB 于 H,连接 OC,如图 2,

由题可得 CH=h. 在 Rt△ OHC 中,CH=OC?sin∠COH, ∴h=OC?sin60° = ∴OC= = OC, h, h;

∴AB=2OC=

(3)作 OF 平分∠AOC,交⊙O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图 3,

则∠AOF=∠COF= ∠AOC= (180° ﹣60° )=60° . ∵OA=OF=OC, ∴△AOF、△ COF 是等边三角形, ∴AF=AO=OC=FC, ∴四边形 AOCF 是菱形, ∴根据对称性可得 DF=DO. 过点 D 作 DH⊥OC 于 H, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30° , ∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30° = DC, ∴ CD+OD=DH+FD. 根据两点之间线段最短可得:

当 F、D、H 三点共线时,DH+FD(即 CD+OD)最小, 此时 FH=OF?sin∠FOH= 则 OF=4 ,AB=2OF=8 OF=6, . .

∴当 CD+OD 的最小值为 6 时,⊙O 的直径 AB 的长为 8

点评: 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、 特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等 知识,把 CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第(3)小题的关键.

9. (2015?浙江省台州市,第 22 题)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,点 E 在对角线 AC 上, EC=BC=DC (1)若∠CBD=39° ,求∠BAD 的度数 (2)求证:∠1=∠2

10. (2015 呼和浩特,24,9 分)(9 分)如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,P 是⊙O 外的一点, AM 是⊙O 的直径,∠PAC=∠ABC (1) 求证:PA 是⊙O 的切线; ⌒ (2) 连接 PB 与 AC 交于点 D,与⊙O 交于点 E,F 为 BD 上的一点,若 M 为BC BD FD CD 的中点,且∠DCF=∠P,求证:PD = ED = AD . 考点分析:圆→垂径定理、相切 相似三角形 逻辑推理→逆推 解析: 什么是逆推?就是在做几何证明题时,从要证的结论出发进行推导,即假 定结论成立,将该结论作为已知条件进行推理,同时从题目中的已知条件 出发推理,向中间过程中的某关键步骤靠拢。 说过,在圆里证明直角有三种方法。方法一,假设该直角成立,且该直角 由两个锐角组成,那么就去分别找与这两个角相等或互余的角,看看他们 的关系;方法二,与一个直角是同位角或内错角的关系;方法三,用勾股逆定理算出来。

先看第一问, 首先你要在草稿纸上精确地把图画一遍, 否则卷面的图一会就被你的尝试标花 了。做圆的题目,有相切或证相切,马上先将切点或要证的切点连接到圆心;做圆的题目, 有过直径的弦, 马上把直角三角形画出来, 连接了 BM 和 MC。 这两步在证相切时经常用到, 因为前者需要一个包括两个锐角的直角, 而后者能提供两个互余关系的锐角。 从本题图上看, 标的∠1 既是要证直角中的一个锐角,也是 Rt△ ACM 中的一个锐角,很明显,我们找到思 路了,继续往下走。 下一步就是要看∠PAC=∠AMC?这个两个角离得还不近,通常做法是,我们继续寻找与这 两个角分别相等或有互余关系的角。已知有一个:∠PAC=∠ABC,那么要看∠ABC 是否能 等于∠AMC?能相等吗?你能看出来吗?为什么? 该第二问了。 讲过, 一般圆的题目中给出两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积 (可 能有两条是同一条) 。或者给出线段的比值等于线段比值,基本上是相似问题,因为圆周角 太容易相等了。如果出现的是乘积形式,就写比值形式,看他 们处于那两个三角形中,这个就是解题思路,一般而言,呼市 相似题目还没有出到需要倒腾线段或进行线段加减后才能参与 相似线段比的运算。 BD FD CD 先看哪些线段的比, PD = ED = AD ,还有哪些新的已知条 件,这些已知条件的加入能推导出什么结论,哪些结论对证明 相似有利。 ⌒ M 为BC 的中点,什么意思?垂径定理,还是等弧对着的圆周角相等?不知道,的做法是两 个结论都标到图上,然后装在心里,呵呵,不是埋在心底,那太深了,一会提不出来。 等弧对着等角, 但好像我们用不上这两个三角形, 看看垂径定理。 在《考前重点突破》讲过, 两个等弦或两个等弧共一点,八成用垂径定理,没错,是八成,就是 80%。如果没有从共 点出发的直径,你一定给他搞一条,看看会有什么突破方向。本题,直径已经存在,就是 AM,垂径定理及其推论,你因该会。在图上早就标了垂足 H。你先前已经证得 AM⊥AP, 根据垂径定理的推论,唾手可得 AM⊥BC,则两条直线同时垂直一条直线,则两条直线是平 行,常说有平行出内错。在《考前重点突破中》中,如果在几何题中有平行,85%的情况是 用内错角,10%的情况用同位角,5%是同旁内角,千万别瞧不起 5%这个,有时候你在以算 角为主的几何题中还真的不好绕过他。 不管他是∠1 和∠3 的内错,还是∠PAC 和∠BCA 的内错,足以使△ BDC 和△ PDA 相似,

BD CD 相似的目的只有一个,就是对应边长度比例相同,则有PD = AD 。其实这道题目这个结论 CD 有点小损,应该把AD 写在中间,我想出卷人故意写到最后的,这样会有些小思考,所以你 需要更大的视野,尤其在圆的题目中。 你的眼界有多大, 世界就有多大! 其实我们老百姓都是井底之蛙, 只是井口大小不一样而已, 但我们只要经营得好,照样是我们的一片天,一片地!——曾刚 哎,又拽文采、哲理了。其实就是想把数学教好,这就是的天,的地,你们的天和地呢? FD CD ∠1=∠2 这个条件还没有用上,先看看ED = AD涉及到的线段所在哪些成对的三角形中, 如果你看不出来,也没办法,还是有的:重新画图后用红色笔将这个四根线段着重描一描, 起码先看出个对顶角吧。 好吧,先认为你能看出来,连接 AE。不用说如果△ ADE 和△ CDB 不相似,你倔死也写不出 FD CD 来ED = AD。已经有对顶角了,再找一对角,我们先看下∠AED 和∠CFD,∠CFD 不再圆 周上,不好倒腾,先弃之!再看∠4 和∠2,离得比较远,好在两个角都在圆周上,能倒腾! ∠2=∠1 ,那么∠1 等于什么?平行出内错呀,你找不到∠1 的同位角和同旁内角,所以 ∠1=∠3,那么再看∠3 是否能与∠4 相等,一看,这个两个圆周角共弦,但图上没有连接 EC,那我们是否需要把 EC 连接上呢?不用,这个两个圆周角共 证明:(1) 连接 MC。 ∵AM 为⊙O 直径 ∴∠ACM=90° ∴∠AMC+∠MAC =90° 又∵∠AMC=∠ABC ∴∠ABC+∠MAC=90° 又 ∵∠ABC=∠PAC 。

A E O F B M C D

P

∴∠PAC+∠MAC=90° ∴∠PAM=90° ,即 MA⊥AP ∴AP 为⊙O 的切线. (2)连接 AE. ⌒ ∵M 为BC 中点,AM 为⊙O 的直径 ∴AM⊥BC

又∵AM⊥AP ∴AP∥BC ∴△ADP∽△CDB 更为朴素、本质) BD CD ∴ PD = AD . ∵AP//BC ∴∠CBE =∠P 又∵∠CBE=∠CAE ∴∠P=∠CAE 又∵∠P=∠DCF ∴∠DCF=∠CAE ∵∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△CDF FD CD ∴ED = AD . BD FD CD 综上,可证得: PD = ED = AD. (这里,用的是两条直线被一组平斜线所截,所得对应线段成比例,

A E O F B M C D

P

11. (2015?广东广州,第 23 题 12 分)如图,AC 是⊙O 的直径,点 B 在⊙O 上,∠ACB=30° (1)利用尺规作∠ABC 的平分线 BD,交 AC 于点 E,交⊙O 于点 D,连接 CD(保留作图 痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图形中,求△ ABE 与△ CDE 的面积之比.

考点:

作图—复杂作图;圆周角定理.

分析: (1)①以点 B 为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角 ABC 两边于点 M,N;② 分别以点 M,N 为圆心,以大于 MN 的长度为半径画弧,两弧交于一点;③作射线 BE 交

AC 与 E,交⊙O 于点 D,则线段 BD 为△ ABC 的角平分线; (2)连接 OD,设⊙O 的半径为 r,证得△ ABE∽△DCE,在 Rt△ ACB 中,∠ABC=90° , ∠ACB=30° ,得到 AB= AC=r,推出△ ADC 是等腰直角三角形,在 Rt△ ODC 中,求得 DC= = r,于是问题可得.

解答: (1)如图所示;

(2)如图 2,连接 OD,设⊙O 的半径为 r, ∵∠BAE=∠CDE, ∠AEB=∠DEC, ∴△ABE∽△DCE, 在 Rt△ ACB 中,∠ABC=90° ,∠ACB=30° , ∴AB= AC=r, ∵∠ABD=∠ACD=45° , ∵OD=OC, ∴∠ABD=∠ACD=45° , ∴∠DOC=90° , 在 Rt△ ODC 中,DC= = r,



=

=

= .

点评:

本题主要考查基本作图,圆周角定理,勾股定理,作一个角的平分线,牢

记一些基本作图是解答本题的关键.

12. (2015?广东佛山,第 23 题 8 分)如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别 交于点 E、F. (1)若∠E=∠F 时,求证:∠ADC=∠ABC; (2)若∠E=∠F=42° 时,求∠A 的度数; (3)若∠E=α,∠F=β,且 α≠β.请你用含有 α、β 的代数式表示∠A 的大小.

考点:

圆内接四边形的性质;圆周角定理.

分析: (1)根据外角的性质即可得到结论; (2)根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果; (3)连结 EF,如图,根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A,再根据三角形外角性质得 ∠ECD=∠1+∠2,则∠A=∠1+∠2,然后根据三角形内角和定理有 ∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180° ,即 2∠A+α+β=180° ,再解方程即可. 解答: 解: (1)∠E=∠F, ∵∠DCE=∠BCF, ∴∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF, ∴∠ADC=∠ABC;

(2)由(1)知∠ADC=∠ABC, ∵∠EDC=∠ABC, ∴∠EDC=∠ADC, ∴∠ADC=90° , ∴∠A=90° =48° ﹣42° ;

(3)连结 EF,如图, ∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形, ∴∠ECD=∠A, ∵∠ECD=∠1+∠2, ∴∠A=∠1+∠2, ∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180° , ∴2∠A+α+β=180° , ∴∠A=90° ﹣ .

点评:

本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边

形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起 来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.

13. (2015 山东省德州市,23,10 分) (1)问题 . 如图 1,在四边形 ABCD 中,点 P 为 AB 上一点,∠DPC=∠A=∠B=90° BC=AP· BP. 求证:AD· (2)探究 如图 2,在四边形 ABCD 中,点 P 为 AB 上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ 时,上述结论是否 依然成立?说明理由. (3)应用 请利用(1)(2)获得的经验解决问题: 如图 3,在△ ABD 中,AB=6,AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单位长度的速度,由点 A 出发,沿 边 AB 向点 B 运动,且满足∠DPC=∠A.设点 P 的运动时间为 t(秒) ,当以 D 为圆心,以 DC 为半径的圆与 AB 相切,求 t 的值.

【答案】 (1)见解析; (2)t 的值为 1 秒或 5 秒.

考点:相似三角形的判定及性质;切线的性质及判定;圆的有关性质 14. (2015 山东省德州市,21,10 分)如图,⊙O 的半径为 1,A,P,B,C 是⊙O 上的四

. 个点. ∠APC=∠CPB=60° (1)判断△ ABC 的形状: ;

(2)试探究线段 PA,PB,PC 之间的数量关系,并证明你的结论; (3)当点 P 位于的什么位置时,四边形 APBC 的面积最大?求出最大面积.

【答案】 (1)等边三角形; (2) (2)PA+PB=PC.(3)

理由如下:如图 2,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,

考点:圆周角定理;圆的有关性质;全等三角形的判定 ……依次顺延

15. (2015· 湖北省孝感市,第 20 题 8 分) 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( (1)用直尺和圆规作出 (2)若 ) .

所在圆的圆心 O ; (要求保留作图痕迹,不写作法) (4 分) 所在圆的半径. (4 分)

的中点 C 到弦 AB 的距离为 20 m, AB ? 80 m,求

C A B

(第20题)

考点:作图—复杂作图;勾股定理;垂径定理的应用.. 专题:作图题. 分析: (1)连结 AC、BC,分别作 AC 和 BC 的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点 O,

如图 1; (2)连接 OA,OC,OC 交 AB 于 D,如图 2,根据垂径定理的推论,由 C 为 的中点得到

OC⊥AB,AD=BD= AB=40,则 CD=20,设⊙O 的半径为 r,在 Rt△ OAD 中利用勾股定理
2 2 2 得到 r =(r﹣20) +40 ,然后解方程即可.

解答: 解: (1)如图 1,

点 O 为所求; (2)连接 OA,OC,OC 交 AB 于 D,如图 2, ∵C 为 的中点,

∴OC⊥AB, ∴AD=BD= AB=40, 设⊙O 的半径为 r,则 OA=r,OD=OD﹣CD=r﹣20,
2 2 2 在 Rt△ OAD 中,∵OA =OD +BD ,

∴r2=(r﹣20)2+402,解得 r=50, 即 所在圆的半径是 50m.

点评:本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是 结合了几何图形的性质和基本作图方法;解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质, 结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图, 逐步操作. 也考查了勾股定理和垂径

定理. 16(2015 威海,第 22 题 9 分)


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