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2015-2016学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲小结 新人教A版选修4-1


2015-2016 学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲小结 新 人教 A 版选修 4-1
1.圆周角定理 (1)圆周角的概念:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角应满足两个条件:一是顶点在圆上,二是两边都和圆相交,二者缺一不可. (2)圆周角定理:圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,其度数等于它 所对的弧的度数的一半. 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 相交弦所成角定理: 圆的两条相交弦所成角的度数等于它所夹的弧与它的对顶角所夹弧 的度数和的一半. (3)直角三角形中线定理的逆定理:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这 个三角形是直角三角形. 2.圆内接四边形的性质与判定 (1)圆内接多边形的概念: 如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上, 那么这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆 叫做多边形的外接圆. 任一个三角形都有外接圆,但任一个四边形并不一定有外接圆. (2)圆内接四边形的性质. 定理 1:圆内接四边形对角互补. 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内对角. 托勒密定理:圆内接四边形的两对边乘积之和等于两对角线的乘积. (3)圆内接四边形的判定. 定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆. 推论 1:如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形内接于圆. 推论 2:如果两个三角形有一个公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边同侧,那 么这两个三角形有公共的外接圆. 3.圆的切线的性质与判定 (1)直线与圆的位置关系. 以直线与圆的公共点个数可将直线与圆的位置关系划分为: 相交(两个公共点)、 相切(一 个公共点)和相离(没有公共点).直线与圆的位置关系的判定可通过比较圆心到直线的距离 和圆的半径的大小来实现. (2)圆的切线的性质.
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定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. (3)圆的切线的判定. 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (4)切线长定理. 定理:从圆外一点引圆的两条切线长相等. 推论: 经过圆外的一个已知点和圆心的直线, 平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角. (5)三角形的内切圆和旁切圆. 与一个三角形的三边都相切的圆, 叫做这个三角形的内切圆, 内切圆的圆心叫做三角形 的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 与三角形的一边和其他两边的延长线都相切的圆, 叫做三角形的旁切圆, 旁切圆的圆心 叫做三角形的旁心. 三角形的内心是三角形三内角平分线的交点, 三角形的内心是唯一的. 三角形的旁心是 三角形的一内角和其余两外角的平分线的交点,三角形的旁心有三个. 4.弦切角 (1)弦切角的概念:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角必须具备三个条件:①顶点在圆上;②一边是圆的切线;③另一边是过切点的 弦.三者缺一不可. (2)弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,其度数等于它所夹的弧的度数的一半. 推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等;同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等. 5.四大定理 (1)相交弦定理: 圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. (2)割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. (3)切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中 项. 逆定理: 从圆外一点引圆的割线, 如果圆上一点与这点的连线是这点到割线与圆的交点 的两条线段的比例中项,那么这点与圆上点的连线是圆的切线. (4)切线长定理:
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从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角.

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