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空间向量知识清单


选修 2-1 第三章 空间向量及其运算知识清单 知识 1、空间向量及其加减法与数乘运算
(1) 空间向量的基本概念 空间向量、相等向量、零向量、单位向量 (2) 空间向量的加法与数乘的运算规律

_________________________________________________________________________________. 有关概念① 线性表示式:表达式 xa ? yb ? zc ,叫做向量 a 、 b 、 c 的线性表示式或线性组合. ② 基底:如果三个向量 a 、 b 、 c 是三个不共面的向量,则 a 、 b 、 c 的线性组合 xa ? yb ? zc 能生成所 有的空间向量,这时 a 、 b 、 c 叫做空间的一个基底,记作 {a , b, c} ,其中 a 、 b 、 c 都叫做基向量.

知识 3、空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角及范围:_________________________________________________________. (2) 异面直线定义:_________________________________________________________. 两条异面直线所成的角: _______________________________________________________________. 异面直线所成角的范围:_____________________________. 如何利用向量求两直线所成的角:_______________________________________________________ _________________________________________________. (3) 数量积的定义:_________________________________________________________. (4) 数量积的性质:_______________________________________________________________________. ______________________________________________________________________.

知识 2、空间向量的基本定理及推论
(1) 共线向量定理:______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________. (a)定理可以分解为以下两个命题: ① a ∥b(b ? 0) ,则存在唯一实数 x,使得 a ? x b ; 若 ② 存在实数 x,使得 a ? xb(b ? 0) ,则 a ∥b . (b)想一想:在定义中为什么要规定 b ? 0 呢?

(c)注意:① 零向量与空间任一向量共线; ② 共线向量不具有传递性:若 a ∥b , b ∥c ,则 a ∥c 一定成立吗?为什么?

(5) 两个向量数量积的运算律:_________________________________________________________. _________________________________________________________. (6) 求两向量的夹角公式:_________________________________________.

(d)定理作用:① 证明两直线平行;

② 证明三点共线.

(7) 求长度或距离

①| a | ? a ? a ? a ;
2

2

②(a ? b) ? (a ? b) ?| a |2 ? | b |2 ;

(2)共面向量定义:________________________________________________________________________. 共面向量的基线可能相交、平行、异面. 共面向量:__________________________________________________________________________________ __________________________________________________. 常 见 结 论 : 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 (x,y) , 使 得

③(a ? b ? c)2 ?| a |2 ? | b |2 ? | c |2 ?2a ? b ? 2b ? c ? 2a ? c . (8) 利用向量证明垂直关系: a ? b ? a ? b ? 0

知识 4 空间直角坐标系
(1) 单位正交基底 (2) 空间直角坐标系的建立 (3) 空间直角坐标系的画法 (4) 向量的坐标表示

MP ? x MA? y MB
或对空间一点 O 来说,有 OP ? OM ? x MA ? y MB ,或 OP ? xOA ? yOB ? zOM( x ? y ? z ? 1) . 定理的作用: ① 证明点、线共面; ② 用已知向量表示位置向量; ③ 证明线面平行.

(2)空间向量分解定理:__________________________________________________________________
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知识 5、空间向量的坐标运算
(1) 空间向量的坐标 (2) 空间向量的坐标运算。 (模、加、减、数乘、数量积) 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) ①a ? b ? ___________________________________; ②a ? b ? __________________________________; ③? a =______________________________________; ④a ?b ? ___________________________________;

(3)用向量方法证明两直线垂直或求两直线所成的角 ① 设两直线所成的角为 θ,则两直线的方向向量所成的角与 θ______________________. ② 设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2 ,则 l1 ? l 2 ? _____________, cos ? ? _______________.

知识 7、平面的法向量与平面的向量表示
(1)法向量 ① 概念:__________________________________________________________________________________. ② 平面的向量表示:________________________________________________________________________. ③ 利用平面的法向量判断平面与平面的位置关系 设 n1 和 n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,则 _______________________________________________________________________________________. (2)三垂线定理:__________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________. 三垂线定理的逆定理: ______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________. 应用时一般按照下面步骤:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影、寻找第四条线.(一个面、四条 线) 画图:

?

? ? ? ⑤| a |? a ? a ? _______________________;
⑥cos ? a, b ?? __________________=_________________________________. ⑦ A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? __________________________________________________; 设

| AB |? __________________________________________________.
(3) 空间向量平行的充要条件:__________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________. (4) 空间向量垂直的充要条件:__________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________

知识点 6、直线的方向向量与直线的向量方程
(1)用向量表示直线或点在直线上的位置 ① 直线的方向向量:_____________________________________________________________________. ② 空间直线的向量参数方程的三种形式:___________________________________________________ _______________________________________________________________________________________. ③ 线段中点的向量表示式:设点 M 是线段 AB 的中点,则______________________________________. (2)用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行 ① _______________________________________________________________________________________. ② _______________________________________________________________________________________. ② _______________________________________________________________________________________. (3)求平面的法向量 常用方法有① 直接法;② 待定系数法 用待定系数法求平面法向量步骤:① _____________________________;② ___________________________; ③ ________________________________________; ④ ________________________________________.

知识 8、直线与平面夹角
(1)直线与平面夹角 ① 定义:__________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________. ② 当夹角为 90° 时,___________________________;当夹角为 0° 时,_______________________________.

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③ 直线与平面夹角范围:__________________________. ④ 最小角定理:_____________________________________________________________________________. ⑤ 线线角、线面角的关系________________________________________ (2)求线面角的方法 常用方法有:① 定义法;② 向量法. 用定义法求线面角的步骤: ① 找(或作)出直线和平面所成的角;② 计算:即解三角形;③ 结论:即点明直线和平面所成角的大小. (3)线面角公式 :设直线 l 为平面 ? 的斜线,a 为 l 的方向向量,n 为平面 ? 的法向量,? 为 l 与 ? 所 成的角,则_____________________________. 作图说明 ? 与 ? a , n? 的关系

(3)用定义法求二面角的大小 ① 所谓定义法,就是在二面角的棱上取一合适点作出平面角,然后解三角形即可(或者作(找)一个与棱 垂直的平面,与二面的交线构成的角). ② 用定义法求二面角的步骤:(ⅰ )作(找)出二面角的平面角;(ⅱ )写出(或证明)所作平面角即为所求二面角 的平面角;(ⅲ )利用解三角形的知识求解. (4)利用三垂线定理求二面角 步骤如下:① 在其中一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线; ② 过垂足作棱的垂线(或过这个特殊点作棱的垂线); ③ 连接两个垂足,根据三垂线定理(或逆定理)得平面角.

? ?

知识 10、距离
(1)基本概念

知识 9、二面角及其度量
(1)二面角 ① 概念:___________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________. ② 二面角的记法:___________________________________________________________________________. ③ 二面角的平面角:_________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________. ④ 直二面角:______________________________________________________________________________. ⑤ 二面角的范围:______________________. (2)用向量法来确定二面角性质及其度量的方法 ① 如下图, (自己作图) 分别在二面角 ? ? l ? ? 的面 ? 、? 内, 并沿 ? 、? 延伸的方向, n1 ? l ,n2 ? l 作 向量,则 ? n1 , n2 ? 等于该二面角的平面角. ② 如图,设 m1 ? ? , m2 ? ? , 则 ?m1 , m2 ? 与该二面角的平面角_____________________.

① 图形与图形的距离:_______________________________________________________________________. ② 点到平面的距离:_________________________________________________________________________. ③ 直线与它的平行平面的距离:_______________________________________________________________. ④ 两个平行平面的距离 (ⅰ )公垂线:_______________________________________________________________________________. (ⅱ )公垂线段:_____________________________________________________________________________. (ⅲ )两平行平面的距离:_____________________________________________________________________. (2)求点到面的距离 常用方法有:① 等体积法(构造三棱锥,转化为体积问题);② 向量法 用向量法求点 A 到面距离的步骤:① 求出平面 ? 的法向量 n ; ② 在平面 ? 内任取一点 B,计算 AB ; ③ 计算 d ?

| AB ? n | |n|

.

(3)求直线到平面的距离 ① 求直线到平面的距离, 往往转化为点到平面的距离求解, 且这个点要适当选取, 以求解最为简单为准则. ② 求距离的一般方法和步骤:一作、二证、三计算,即先作出表示距离的线段,再证明它就是所要求的距 离,然后再计算.

c o ? m1 , m 2 ? ? s

m1 ? m 2 | m1 | | m 2 | ,
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必修 2 线线、线面、面面平行或垂直判断定理
分别写出:①文字语言;②符号语言;③图形语言. 线面平行判断定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③

线面垂直判断定理 ①_______________________________________________________________________________________. ② _________________________________________________________________________________________. ③

线面平行性质定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③ 线面垂直性质定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③

面面平行判断定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③ 面面垂直判断定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③

面面平行性质定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③ 面面垂直性质定理 ①________________________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________________________. ③

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