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浙教版九年级上数学二次函数的应用



教学过程: 一、 知识要点
在生活实践中,人们经常面对带有“最”字的问题,如在一定的方案中,花费最少、消耗 最低、面积最大、产值最高、获利最多等。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值.

二、例题讲解

例 1.在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的 速度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P、Q 两点同 时出发,分别到达 B、C 两点后就停止移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm?)是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm?),写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的 取值范围. (3)t 为何值时 s 最小,最小值时多少?

例 2.小明的家门前有一块空地,空地外有一面长 10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的 爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了 浇花和赏花的方便, 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门(木质) .花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?

x

例 3.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示),拱高 6m,跨度 20m,相邻两支柱间的距离 均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示),求抛物线的解析式; (2)求支柱 的长度; (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带),其中的一条行车道能 否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.

例 4.如图,把一张长 10cm,宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形, 再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计) . 2 (1)要使长方体盒子的底面积为 48cm ,那么剪去的正方形的边长为多少? (2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最 大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;

(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大 小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况;如果有,请你求 出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.

例 5:某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映:每涨价 1 元, 每星期少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件,已知商品的进价为每件 40 元, 如何定价才能使利润最大?

变式 1、某商店购进一批单价为 20 元的日用品,如果以单价 30 元销售,那么半个月内可以 售出 400 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1 元,销售 量相应减少 20 件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

变式 2.某旅行社组团去外地旅游,30 人起组团,每人单价 800 元.旅行社对超过 30 人的 团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低 10 元.你能帮助分析一下,当旅行 团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?

例 6: 某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x (元)与产品的日销售量 y (件)之间的关系如下表: 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. ⑴求出日销售量 y (件)与销售价 x (元)的函数关系式; ⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为 多少元?此时每日销售利润是多少元?

x(元) y(件)

1 5 2 5

2 0 2 0

3 0 1 0

… …

练习.市“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品,如果以 30?元/千克销售,那么每天可 售出 400 千克.由销售经验知,每天销售量 y (千克)?与销售单价 x (元)

( x ? 30 )存在如下图所示的一次函数关系式. ⑴试求出 y 与 x 的函数关系式; ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元,当销售单价为何值时,每天可获 得最大利润?最大利润是多少? ⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元,?现该超市经理要求每天 利润不得低于 4180 元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x 的范围(?直接写 出答案).

三、随堂练习
1.某人从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度 h (单位:米)与小球运动时间 t (单位:秒) 的函数关系式是 ,那么小球运动中的最大高度 h最大 ? .

2.如图,铅球运动员掷铅球的高度 y (m)与水平距离 x (m)之间的函数关系式是:

y??

1 2 2 5 x ? x ? ,则该运动员此次掷铅球的成绩是( 12 3 3
B.12 m C.8 m D.10m

)

A.6 m
y

O

x

(图 2) 3.小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y ? ? 命中篮圈中心,则他与篮底的距离 L 是( A.4.6m B.4.5m C.4m

1 2 x ? 3.5 的一部分,如上图所示,若 5

) D.3.5m

4.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道 篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x 米. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少 m? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多 少米?比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

x

5.小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地,矩形面积 S(单位:平方米)随矩形一边 长 x(单位:米)的变化而变化. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 是多少时,矩形场地面积 S 最大?最大面积是多少?

四、作业
1. 将一张边长为 30 ㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的小正方形, 然后折叠 成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时,长方体的体积最大( ) A.7 B.6 C.5 D.4 2.某幢建筑物,从 10 m 高的窗口 A,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所 在的平面与墙面垂直,如图 6,如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m,离地面 落地点 B 离墙的距离 OB 是( A.2 m B.3 m
M A

40 m,则水流 3

) C.4 m D.5 m

O

B

3.如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴 绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高 1 米的小明距较近的那棵 树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米.

4.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边 靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围成.若设花园的宽为 x(m) ,花园的面积为 y(m?). (1)求 y 与 x 之间的函数关系,并写出自变量的取值范围; (2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当 x 取 何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?

5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计 划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 系,如图 12-①所示;种植花卉的利润 利润与投资量的单位:万元) 与投资量 成正比例关

与投资量 成二次函数关系,如图 12-②所示(注:

(1)分别求出利润



关于投资量 的函数关系式;

(2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能 获取的最大利润是多少?

6、如图 3、已知抛物线 y=x +(2n-1)x+n -1 (n 为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时, 求出它所对应的函数关系式; (2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、 且在对称轴左侧的一个动点, 过 A 作 x 轴的 平行线,交抛物线于另一点 D,再作 AB⊥x 轴于 B,DC⊥x 轴于 C. ①当 BC=1 时,求矩形 ABCD 的周长; ②试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时 A 点 y 的坐标;如果不存在,请说明理由. 经 2 经 1 经 B
-1 0 1 2 C 3

2

2

经 -1 经 经 -2 A 经 -3 经




D

x 经 经
4

图3


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