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10-1.2.2组合(3)


1.2.2 组合(3)

教材分析
本节内容是数学选修 2-3 第一章 计数原理中 1.2 排列与组合的内容,是在学习了两个计数原理和排 列及组合之后,综合利用排列组合解决实际问题.要引导学生注意区别排列和组合,排列与组合的区别在 于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题.注意掌握解决排列组合问题的 思想方法,思想方法是数学

的灵魂,是数学方法与技能实质的体现,

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解利用组合解决分组与分配问题.

教学目标
重点: 组合的综合应用. 难点:组合的综合应用,组合问题的解题思想. 知识点:组合、组合数公式及应用. 能力点:分析问题、解决问题. 教育点:经历由易到难的学习过程,体会相互合作、探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何运用组合解决计数问题. 考试点:组合综合应用题. 易错易混点:在分类时容易出现遗漏.. 拓展点:如何解决排列、组合的综合题.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、引入新课
复习: (1)排列、排列数、组合、组合数的概念 (2)排列数公式 An ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? m ? 1) ( m, n ? N , m ? n )
m
m 组合数公式: Cn ?

?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? m Am m!

Cm n?

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!

(3)组合与排列的区别 【设计意图】 通过复习巩固已学的知识,为本节课的学习打下基础..

二、探究新知
例 1.大桥上有 10 盏路灯,夜间只亮三盏,为了保证照明效果,亮的灯不能相邻,且不能是最边上的路灯, 问有多少种照明方案?
1

解:考虑不亮的灯,由于边上的不亮,还有 5 盏不亮的,6 个空,把三盏亮的插入,有 C6 =20 种方案 . [设计意图] 通过本例再次让学生体会不相邻的问题用“插空法”解决.灯的位置是不能移动的,但是我们 可以先设计方案再对应到灯.本例是从元素入手.先排队.后坐位.灵活运用元素与位置的关系. 例2.方程 x ? y ? z ? 7 有多少组正整数解? 解:可以看做七个1放在一起,即1111111,从6个空中任取两个空作记号,就把他们分为了3组, 也就分别对应着 x, y, z 的取值,共有 C6 ? 15 种方案,也即方程有 15 组正整数解.
2

3

变式:方程 x ? y ? z ? 7 有多少组自然数解? 解:令 X ? x ? 1, Y ? y ? 1, Z ? z ? 1 ,则求 x ? y ? z ? 7 的自然数解的组数相当于求 X ? Y ? Z ? 10 的正 整数解的个数,有 C9 ? 36 组.
2

[设计意图]本例也是选空插入,但是插入的不是原问题的元素,而是相当于插入的“隔板” ,也即使用的是 “隔板法” .注意与例1的区别与联系.注意插入隔板的方式,两个隔板不区分,即隔板相同,两个隔板 不相邻,即处理的是“至少一个”的问题.

三、理解新知
插空法与隔板法都是选空插入,但不同的是插空法插入的是元素,而隔板法插入的是隔板. [设计意图]对知识、方法加以小结归类,为下面的学习做好必要的准备工作.

四、运用新知
相同元素分组问题----列举法 例 3.7个相同的小球全部放入 3 个相同的盒子,每个盒子至少一个,有多少种放法? 解:将 7 个相同的小球分为 3 组,每组个数分别为 511,421,322,331,即 4 种分发,每一种分法对应着一种放 法,故有 4 种放法. 变式: 7个相同的小球全部放入 3 个相同的盒子(可以有空盒),有多少种放法? 解:无空盒时,同例 3,有 4 种,有空盒时,有 700,610,520,430 共 4 种放法,故共有 8 种放法. [设计意图]相同元素分组问题,适合用列举法. 相同元素分配问题----隔板法 例 4.7个相同的小球全部放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少一个,有多少种放法? 分析:本例实质上就是例2,即放入三个盒子的球的个数即为方程 x ? y ? z ? 7 的一组正整数解,多少种 放法就对应着方程正整数解的个数. 解:用隔板法,7个相同的小球排成一列,再将两个隔板插入6个空中的两个,有 C6 ? 15 种放法.
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变式:10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子,每个盒子中球的个数不少于盒子的编号,有多少种放 法? 解:问题可转化为方程 x ? y ? z ? 10( x, y, z ? N , x ? 1, y ? 2, z ? 3) 的解有几组,令

X ? x, Y ? y ? 1, Z ? z ? 2 ,也即 X ? Y ? Z ? 7 有几组正整数解.结果为 C62 ? 15 种放法.
[设计意图]相同元素的分配问题,可以让学生试着用分类讨论的思想去做.不过相对于隔板法要麻烦. 不同元素分组问题----分类讨论
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1. 不同元素无等量分组 例5.7个不同的小球分为4,2,1三份,有多少种分发? 解: C7 C3 C1 ? 105 种.
4 2 1

[设计意图]相当于让三个人分别去取,由分步乘法计数原理即可得出. 2. 不同元素有等量分组 例6.7个不同小球分为5,1,1三份,有多少种分发?
5 1 1 C7 C2C1 ? 21 种. 解: 2 A2

[设计意图]有等量分组,要注意除以 A2 . 例7.7 个不同的小球全部放入 3 个相同的盒子,每个盒子至少放一个,有多少种放法? 分析,首先考虑每个盒子分的球数,同例 3, 盒子分到的球的个数有 511,421,322,331 四类情况,然后再考 虑每类的分法数,由分类加法计数原理得出结论. 解:
5 1 1 3 3 1 3 2 2 C7 C2C1 C7 C4 C1 C7 C4 C2 4 2 1 ? C C C ? ? ? 301 种放法. 7 3 1 2 2 2 A2 A2 A2

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[设计意图]先分类,在每一类中要注意有等量还是无等量. 不同元素分配问题(无限制条件)-----分步乘法计数原理 例 8.7 个不同的小球全部放入 3 个不同的盒子,有多少种放法? 解:可以分 7 步,每一步放一个小球,都有 3 种放法,共有 3 ? 2187 种放法.
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不同元素分配问题(有限制条件)-----分类讨论 1.不同元素无等量分组 例 9.7个不同的小球放入三个不同的盒子,每个盒子内可能放 4,2,1 个,有多少种放法? 解: C7 C3 C1 A3 ? 630 种.
4 2 1 3

[设计意图]区别于例 5,本例属于分配问题.先分组,再分配. 3. 不同元素有等量分组 例 10.7个不同的小球放入三个不同的盒子,每个盒子内可能放5,1,1 个,有多少种放法? 解:
5 1 1 C7 C2C1 3 A3 ? 126 种. 2 A2

[设计意图] 区别于例6,本例属于分配问题.先分组,再分配 例 11.7 个不同的小球全部放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少放一个,有多少种放法?
5 1 1 3 3 1 3 2 2 C7 C2C1 C7 C4 C1 C7 C4 C2 3 4 2 1 ? C7 C3 C1 ? ? ) A3 ? 1806 种放法. 解: ( 2 2 2 A2 A2 A2

[设计意图]区别于例 7,本例属于分配问题.先分组,再分配.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些数学思想方法? 学生作答:1.元素不相邻的用插空法. 2.元素分组、分配中的思想:隔板法、分类讨论的思想、转化的思想. [设计意图] 强调知识方法的总结归类,让学生了解掌握同一类问题的处理思路、方法.
3

六、布置作业
1.预习教材 P29—31; 2. 书面作业 必做题: 1.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球放入 5 个 盒子内 (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法? 解:(1) 1200 种 (2) 119 种 (3) 31 种 2.某运输公司有 3 个车队,每个车队有 10 辆汽车, 现从这 3 个车队中选派 6 辆汽车执行一项运输任务,每 个车队至少 1 辆共有多少种选派方法? 分析:这里所谓不同的选派方法,只是每个车队派车数目的不同,是相同元素的分组问题--用"隔板法" 解:把 6 个派车指标排成一排,是一种排法,有 5 个空,插 2 个板,分成 3 组即可,共有 C5 =10(种) 选做题: 3.某停车场有连成一排的 9 个停车位,现有 5 辆不同型号的车需要停放,按下列要求各有多少种停法? (1)5 辆车停放的位置连在一起; (2)有且仅有两车连在一起; (3)为方便车辆进出,要求任何 3 辆车不能在一起. 解(1) 600 种 (2) 2400 种(3) 6120 种.
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七、教后反思
本节内容比较多,相似问题放在一起容易区分其区别,但学生也容易混淆.本节更适合于分别讲过几 类问题后,总结对比,学生更容易接受.

八、板书设计
1.2.2 组合(3) 一复习 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 作业 例 10 例 11 总结

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10-1.2.2组合(3)

(3)组合与排列的区别 【设计意图】 通过复习巩固已学的知识,为本节课的学习打下基础.. 、探究新知例 1.大桥上有 10 盏路灯,夜间只亮三盏,为了保证照明...

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