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高三第一次月考文科数学试题


龙文高三第一次月考练习 龙文高三第一次月考练习 高 三 数 学 ( 文)
(测试时间 120 分钟) 小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 1. 已知集合 M =
[来源:Z§xx§k.Com]

{x
}

? x +1 ? x 2 < 4},N = ? x < 0? , 则集合 M I N 等于 ? x?3 ?





{ C. {x

A. x x < ?2

? 1 < x < 2}
3 2

{ D. {x

B. x x > 3

2 < x < 3}
( )

}

2. “对任意的 x ∈ R, x ? x + 1 ≤ 0 ” 命题 的否定是 A.不存在 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≤ 0 C.存在 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 > 0 B.存在 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≥ 0 D. 对任意的 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 > 0

3. 如果对于任意实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 例如 [3.27 ] = 3 , [ 0.6 ] = 0 . 那么 [ x ] = [ y ] ” “ x ? y < 1 ” “ 是 的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ( )

?2 x, 4. 设 函 数 f ( x ) = ? ? g ( x ),
( ) A. ? 5 ( )

x < 0, 若 f ( x ) 是 奇 函 数 , 则 g (2) 的 值 是 x > 0.
1 4

1 4


B. ?4 函 数

C.

D. 4

f ( x ) = x 3 + x( x ∈ R )

A.是奇函数且在 (?∞,+∞) 上是增函数 C.是偶函数且在 (?∞,+∞) 上是增函数

B.是奇函数且在 (?∞,+∞) 上是减函数 D.是偶函数且在 (?∞,+∞) 上是减函数

6.已知 f ( x) =| log 3 x | ,则下列不等式成立的是 ( A. f ( ) > f ( 2) )

1 1 1 1 B. f ( ) > f (3) C. f ( ) > f ( ) D. f ( 2) > f (3) 2 3 4 3 x y 3 +3 , N = ( 3) x + y , P = 3 xy(其中 0 < x < y ) 则 M , N , P 大小关系为( , 7. M = 设 2

)

(A) M < N < P

(B) N < P < M

(C) P < M < N

(D) P < N < M

8.在 R 上定义运算 ? : x ? y = x (1 ? y ). 若不等式 ( x ? a ) ? ( x + a ) < 1 对任意实数 x 成则 ( A. C. )

?1 < a < 1 1 3 ? <a< 2 2
x = 2 ,则 x =__________.

B. 0 < a < 2 D. ?

3 1 <a< 2 2

小题, 把答案填在题中横线上 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 填空题: 9.已知 log 3

10.已知幂函数 y = f ( x) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) = __________ . 11. 设集合 M = { y | y = ( ) , x ∈ [0,+∞ )}, N = { y | y = log 2 x, x ∈ (0,1]} , 则集合 M U N

1 2

1 2

x

是_______________________.
2

12. 将 2 3 , ( ) 2 , 2 2 按从大到小的顺序排列应该是

2 3

1

1



13.定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x + 1) = ? f ( x), 且f ( x) = ? 则 f (3) = 14 . 若 函 数 f ( x) = a x ? x ? a 是 . .

?1 (?1 < x ≤ 0) , ?? 1 (0 < x ≤ 1)

(a > 0且a ≠ 1) 有 两 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 15 . 设 集 合

A = x x 2 ? 3x + 2 = 0

{

}



B = x x 2 ? ax + (a ? 1) = 0

{

}



C = x x 2 ? mx + 2 = 0 ,若 A U B = A , A I C = C ,
(Ⅰ)求实数 a 的取值集合. (Ⅱ)求实数 m 的取值集合.

{

}

16. (本小题满分 14 分)

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

已知函数 f ( x) = x | x ? 2 | . (Ⅰ)写出 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅱ)解不等式 f ( x ) < 3 ;
[来源:Z。xx。k.Com]

(Ⅲ)设 0 < a ≤ 2 ,求 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值.

17. (本小题满分 14 分) 且在点 P 处的切线斜率为 8. 已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx ( a, b ∈ R) 的图象过点 P (1,2) , (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

18.求函数 y = x 2 ? 2ax ? 2 在区间 [0,2] 上的最小值.

,当 x > 0 时, f ( x ) = x( 5 ? x ) + 1 ,求 f ( x ) 在 R 19. (Ⅰ)已知奇函数 f ( x ) ( x ∈ R ) 上的 表达式. ( Ⅱ ) 设 定 义 在 [-2 , 2] 上 的 偶 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0 , 2] 上 单 调 递 减 , 若

f ( 1 ? m ) < f ( m ) ,求实数 m 的取值范围.

20.已知函数 f ( x) = log 2 ( x + 1) ,当点 ( x, y ) 是 y = f ( x) 的图象上的点时,点 ( , 20.

x 3

y )是 2

y = g ( x) 的图象上的点.
(Ⅰ)写出 y = g ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当 g ( x ) ? f ( x ) ≥ 0 时,求 x 的取值范围; (Ⅲ)当 x 在(Ⅱ)所给范围取值时,求 g ( x ) ? f ( x ) 的最大值.

高三数学九月月考试卷 2010. 2010.9. 小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 1. 已知集合 M =

{x
}

{ C. {x

A. x x < ?2

? 1 < x < 2}

? x +1 ? x 2 < 4}, = ? x < 0? , 则集合 M I N 等于 N ? x?3 ? B. {x x > 3}
D. x 2 < x < 3

( C



{

}

2. “对任意的 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≤ 0 ” 命题 的否定是 A.不存在 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≤ 0 C.存在 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 > 0 B.存在 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 ≥ 0 D. 对任意的 x ∈ R, x 3 ? x 2 + 1 > 0

( C



3. 如果对于任意实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大 整数. 例如 [3.27 ] = 3 , [ 0.6 ] = 0 . 那么“ [ x ] = [ y ] ”是“ x ? y < 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 4. 设函数 f ( x ) = ? ( A ) A. ? (B)必要而不充分条件 (D)既不充 分也不必要条件
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

[来源:学|科|网]

( A)

?2 x,

? g ( x ),

x < 0, 若 f ( x ) 是奇函数,则 g (2) 的值是 x > 0.
1 4

1 4

B. ?4

C.

D. 4

5.函数 f ( x) = x 3 + x( x ∈ R ) ( A ) A.是奇函数且在 (?∞,+∞) 上是增函数 C.是偶函数且在 (?∞,+∞) 上是增函数 B.是奇函数且在 (?∞,+∞) 上是减函数 D.是偶函数且在 (?∞,+∞) 上是减函数

6.已知 f ( x) =| log 3 x | ,则下列不等式成立的是 ( C )

1 1 1 1 B. f ( ) > f (3) C. f ( ) > f ( ) D. f ( 2) > f (3) 2 3 4 3 x y 3 +3 7.设 M = , N = ( 3) x + y , P = 3 xy (其中 0 < x < y ) 则 M , N , P 大小关系为( D ) , 2
A. f ( ) > f ( 2) (A) M < N < P (B) N < P < M (C) P < M < N (D) P < N < M

8. R 上定义运算 ? : x ? y = x (1 ? y ). 若不等式 ( x ? a ) ? ( x + a ) < 1 对任意实数 x 成立, 在 则 (

C) A. C.

?1 < a < 1 1 3 ? <a< 2 2
x = 2 ,则 x =__________.81

B. 0 < a < 2 D. ?

3 1 <a< 2 2

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 填空题: 9.已知 log 3

10.已知幂函数 y = f ( x) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) = __________.

1 2

2 2

11. 设集合 M = { y | y = ( ) , x ∈ [0,+∞ )}, N = { y | y = log 2 x, x ∈ (0,1]} , 则集合 M U N

1 2

x

是_______________________. ( ?∞,1]
2

12. 将 2 3 , ( ) 2 , 2 2 按从大到小的顺序排列应该是

2 3

1

1



2 1 2 1 23 > 22 > ( )2 3

13.定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x + 1) = ? f ( x), 且f ( x) = ? 则 f (3) = 14 . 若 函 数 f ( x) = a x ? x ? a . ?1

?1 (?1 < x ≤ 0) , ?? 1 (0 < x ≤ 1)

(a > 0且a ≠ 1) 有 两 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

a >1



小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 15 . 设 集 合

A = x x 2 ? 3x + 2 = 0

{

}



B = x x 2 ? ax + (a ? 1) = 0

{

}



C = x x 2 ? mx + 2 = 0 ,若 A U B = A , A I C = C ,
(1)求实数 a 的取值集合. (2)求实数 m 的取值集合. (2)由 A I C = C 得 C ? A 当 C 是空集时, = m ? 8 < 0即 ? 2 2 < m < 2 2
2
[来源:学科网]

{

}

当 C 为单元素集合时, ? = 0, m = ±2 2 ,此时 C={ 2 }或 C={ ? 2 } 不满足题意 当 C 为双元素集合时,C 只能为{1,2},此时 m = 3 综上 m 的取值集合为 {m|m = 3或 ? 2 2 < m < 2 2}

16. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) = x | x ? 2 | . (Ⅰ)写出 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)解不等式 f ( x ) < 3 ; (Ⅲ)设 0 < a ≤ 2 ,求 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值.

2 ? 2 ? x ? 2 x = ( x ? 1) ? 1, x ≥ 2, (Ⅰ)解: f ( x ) = x | x ? 2 |= ? 2 2 ? ? x + 2 x = ?( x ? 1) + 1, x < 2. ?

∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?∞, 和 [2, ∞) ; 单 调递减区间是 [1, . 1] + 2]
? x ≥ 2, ? x < 2, (Ⅱ)解:Q x | x ? 2 |< 3 ? ? 2 ? 2 ≤ x < 3 或 x < 2, 或? 2 ? x ? 2 x ? 3 < 0, ? x ? 2 x + 3 > 0,

∴ 不等式 f ( x ) < 3 的解集为 {x | x < 3}.

[来源:学&科&网]

(Ⅲ)解: (1)当 0 < a ≤ 1 时, f ( x ) 是 [0,a ] 上的增函数,此时 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大 值是 f ( a ) = a (2 ? a ) (2)当 1 < a ≤ 2 时, f ( x ) 在 [0, 上是增函数,在 [1,a ] 上是减函数,此时 f ( x ) 在 [0,a ] 1] 上 的最大值是 f (1) = 1 ; 综上,当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是 a (2 ? a ) ;当 1 < a ≤ 2 时, f ( x ) 在

[0,a ] 上的最大值是 1 。
17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx ( a, b ∈ R) 的图象过点 P (1,2) , 且在点 P 处的切线斜率为 8. (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅰ)解:∵函数 f ( x ) 的图象过点 P (1,2) , ∴ f (1) = 2 . ∴ a + b = 1. ①

又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8, ∴ f ' (1) = 8 ,

又 f ' ( x) = 3 x + 2ax + b ,
2

∴ 2a + b = 5 .



解由 ①②组成的方程组,可得 a = 4, b = ?3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ' ( x) = 3 x + 8 x ? 3 ,
2

令 f ' ( x) > 0 ,可得 x < ?3或x > 令 f ' ( x ) < 0 ,可得 ? 3 < x <

1 ; 3

1 . 3 1 1 ( ,+∞) ,减区间为 (?3, ) . 3 3
[来源:学科网]

∴函数 f (x ) 的单调增区间为 ( ?∞,?3),

18.求函数 y = x 2 ? 2ax ? 2 在区间 [0,2] 上的最小值.

a < 0 时 , ymin = ?2

[来源:Z_xx_k.Com]

0 ≤ a ≤ 2 时 , ymin = ?a 2 ? 2

a > 2 时 , ymin = 2 ? 4a
19. (1)已知奇函数 f ( x ) ( x ∈ R ) ,当 x > 0 时, f ( x ) = x( 5 ? x ) + 1 ,求 f ( x ) 在 R 上的表达式. 解:因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f ( 0 ) = 0 . 当 x < 0 时, ? x > 0 ,故有 f ( ? x ) = ? x [ 5 ? ( ? x )] + 1 = ? x( 5 + x ) + 1 . 所以 f ( x ) = ? f ( ? x ) = x( 5 + x ) ? 1 .

? x( 5 ? x ) + 1 ( x > 0 ), ? 所以 f ( x ) = ?0 ( x = 0 ), ? x( 5 + x ) ? 1 ( x < 0 ). ?
(2)设 定义在[-2,2]上的偶函数 f ( x ) 在区间[0,2]上单调递减,若 f ( 1 ? m ) < f ( m ) , 求实数 m 的取值范围. 解:因为 f ( x ) 是偶函数, 所以 f ( x ) = f (| x |) , 所以不等式 f ( 1 ? m ) < f ( m ) ? f (| 1 ? m |) < f (| m |) . 又 f ( x ) 在区间[0,2]上单调递减,

?| 1 ? m |>| m |, ? 所以 ??2 ≤ 1 ? m ≤ 2, ??2 ≤ m ≤ 2. ?

解得 ?1 ≤ m <

1 . 2
x 3 y )是 2

20.已知函数 f ( x) = log 2 ( x + 1) ,当点 ( x, y ) 是 y = f ( x) 的图象上的点时,点 ( , 20.

y = g ( x) 的图象上的点.
(1)写出 y = g ( x ) 的表达式; (2)当 g ( x ) ? f ( x ) ≥ 0 时,求 x 的取值范围; (3)当 x 在(2)所给范围取值时,求 g ( x ) ? f ( x ) 的最大值.

(1)令 解:

x y = m, = n ,则 x = 3m, y = 2n ,由点 ( x, y ) 在 y = log 2 ( x + 1) 的图 象上 3 2 1 可得 2n = log 2 (3m + 1) , 故 n = log 2 (3m + 1) , 2 1 1 又 (m, n) 是函数 y = g ( x ) 的图象上的点, 故 g ( x ) = log 2 (3 x + 1) ( x > ? ) . 2 3 1 (2)因为 g ( x ) ? f ( x ) ≥ 0 ,所以 log 2 (3 x + 1) ≥ log 2 ( x + 1) . 2

?3 x + 1 > 0 ? 由对数函数的性质可得 ? x + 1 > 0 , 解得 0 ≤ x ≤ 1 . ? 2 ?3 x + 1 ≥ ( x + 1) (3)因为 0 ≤ x ≤ 1 , 1 3x + 1 1 9 1 9 所以 g ( x ) ? f ( x ) = log 2 = log 2 ≤ log 2 . 2 4 2 ( x + 1) 2 8 (3 x + 1) + +4 2 3x + 1 1 当且仅当 3 x + 1 = 2 时,即 x = 时等号成立, 3 1 9 故 g ( x ) ? f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值为 log 2 . 2 8


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