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三角函数复习1


一、角的有关概念
1、角的概念的推广

y

α的终边
正角 零角
x

α ∈(∞,+∞)

o

负角

α的终边
180 1弧度= ( )° ≈ 57.30° = 57°18, π π 1° = 180

2、角度与弧度的互化 角度与弧度的互化

π =180°

二、弧长公式与扇形面积公式
1、弧长公式: 弧长公式:

l =αr
1 S= r 2

R

L

α
2、扇形面积公式: 扇形面积公式:

l

1 S= αr2 2

三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。

y
O

x

2、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 角的终边落在“射线上” 直线上” 垂直的两条直线上” 垂直的两条直线上”的一般表示式

y

y

y

α
O

x

α
O

x

α
O

x

2kπ +α (k ∈Z )

kπ +α (k ∈Z )

kπ +α (k ∈Z ) 2

角 终边上一点 , (1) 定义: α 终边上一点P (x, y), = x 2 + y 2 > 0 定义: r
y sin α = r

四. 任意角的三角函数

x cos α = r

y tan α = x

当点P在单位圆上时, 当点 在单位圆上时,r =1 在单位圆上时 (2) 三角函数值的符号: 三角函数值的符号:
y y y

O

x

O

x

O

x

五. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系:sin θ + cos θ = 1 平方关系: sin θ = tan θ (2) 商的关系: 商的关系: cos θ
2 2

解题方法: 正用、反用、变形用、 的妙用 切弦互化、 的妙用、 正用、反用、变形用、1的妙用、切弦互化、 完全平方公式、平方差公式、立方差( 完全平方公式、平方差公式、立方差(和)公式 注意判断符号! 注意判断符号!

典型例题
是第三象限的角, α/2 例 1. 若 α 是第三象限的角 , 问 α/2 是哪个象限的 是哪个象限的角? 角?2α是哪个象限的角?

各个象限的半角 各个象限的 半角 范围可以用下图记 半角范围可以用下图记 忆,图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 图中的Ⅰ 半角范围 一、二、三、四象限角的半角范围; 四象限角的半角范围;

例2.已知sinα=0.8,求tanα. 已知sinα=0 tanα. sinα=
方法指导:此类例题的结果可分为以下二种情况. 方法指导:此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值 又知角所在象限, 已知一个角的某三角函数值, (1)已知一个角的某三角函数值,又知角所在象限,有 一解. 一解. (2)已知一个角的某三角函数值 但不知角所在象限, 已知一个角的某三角函数值, (2)已知一个角的某三角函数值,但不知角所在象限, 有两解. 有两解.

一、诱导公式
诱导公式一 cos(α + k 2π ) = cosα tan(α + k 2π ) = tanα 诱导公式二 sin( π +α) = sin α cos(π +α) = cosα 诱导公式三
sin( α) = sin α, cos(α) = cosα.
sin( π α) = sin α cos(π α) = cosα
sin( α + k 2π ) = sin α

诱导公式六

公式记忆 (把α看成锐角) 奇变偶不变 符号看象限

诱导公式四 诱导公式五

用诱导公式求值的一般步骤
任 意 负 角 或公式一 任 意 正 的三角函 角 的 三 数 用公式三 角函数 360° 用公式一 0° 到 360° 的角的三角 函数

用公式二 或四或五

锐角 三角 函数

求 值

可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”

解题分析
1.在利用诱导公式求三角函数的值时,一定要注意符号 在利用诱导公式求三角函数的值时, 在利用诱导公式求三角函数的值时 2。三角变换一般技巧有 。 切化弦, 降次, ①切化弦, ②降次, 变角, 化单一函数, ③变角, ④化单一函数, 妙用1, 分子分母同乘除, ⑤妙用 , ⑥分子分母同乘除,

(1)化简: sin 160° 1 sin 2 20° (2)已知:tan α = 3 ,求
π 3π 2 cos( α ) 3 sin( + α ) 2 2 的值. 4 cos(α ) + sin(-2π α )

1 + 2 sin 20° cos160°

答案:( ) 答案:(1)-1 :(

(2)9 )

(一)三角函数的图象与性质
y=sinx y 图 象 定义域 值 域 性 周期性 奇偶性 1


y=cosx y 1
3π 2

π
2

-1

o

π
2

π

2π x

π π

o π 2 -1 2 R

π

3π 2

2π x

R [-1,1] , T=2

奇函数

π
π

[-1,1] , T=2 偶函数

π

质 单调性 [2kπ 2 ,2kπ + 2 ]增函数 π 3π [2kπ + ,2kπ + ]减函数 2 2

π

[2kπ π,2kπ ]增 数 函 [2kπ,2kπ +π ]减 数 函

3、正切函数的图象与性质 、
y=tanx y 图 象
3π 2

π π

o

π
2

2

π

3 π 2

x

定义域 {x | x ≠ kπ + , k ∈ N} 2 R 值域 周期性

π

T =π
π π
2 2

奇偶性 奇函数

单调性 (kπ , kπ + )(k ∈Z)

函数 y = Asin ωx + (A > 0、ω > 0) 的单调区 间的确定,基本思想是把“ 间的确定,基本思想是把“ ω x + ” 看成一个整 比如由 π + 2kπ ≤ ω x + ≤ π + 2kπ 解出 体,

(

)

2

2

的取值范围所得区间即为增区间。 x 的取值范围所得区间即为增区间。

π + 2kπ ≤ ω x + ≤ 3π + 2kπ 解出 x 的 由
2 2

取值范围所得区间即为减区间。 取值范围所得区间即为减区间。 减区间

例 1 函数 y = 4sin(2 x + )( x ∈ R ) 的对称轴是直 3 kπ π ,0) kπ + π (k ∈ Z ) ( x= 2 6 2 12 ,对称中心是________, 对称中心是________ 线_________________ ,对称中心是________,
π , kπ + 7π (k ∈ Z ) + 12 12 单调减区间是______________. 单调减区间是______________.


π

,

,

分析: “ 看成一个整体, 分析: 把 2x + ” 看成一个整体, 以函数 y =sin x 3 的图象和性质为基础来想.(“形”对应关系) 的图象和性质为基础来想. 对应关系)

π

课堂练习
1.给出四个函数: 给出四个函数: cos(2 π/6 (A)y=cos(2x+π/6) π/6 (C)y=sin(x/2+π/6) sin(2 +π/6 (B)y=sin(2x+π/6) π/6 (D)y=tan(x+π/6)

则同时具有以下两个性质的函数是( 则同时具有以下两个性质的函数是( 最小正周期是π ①最小正周期是π 称.

A

)

图象关于点(π/ (π/6 ②图象关于点(π/6,0)对

f(x)=2 sin(3 2. 关于函数 f(x)= 2 sin(3x-3π/4 ) , 有下列 命题: 命题: 其最小正周期是2π/3 ①其最小正周期是2π/3; 其图象可由y= sin3 向左平移π/ y=2 π/4 ② 其图象可由 y=2sin3x 向左平移 π/4 个单位 得到; 得到; 其表达式可改写为y= cos(3 π/4 y=2 ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4); ④在x∈[π/12,5π/12]上为增函数. x∈[π/12, π/12]上为增函数. 12 12 ①④ 其中正确的命题的序号是_________ 其中正确的命题的序号是_________

π 3、 求求y=sin -3x 的的的的的的的。 求 4 2kπ π 2kπ 7π 为 + , + (k为为求) 3 4 3 12

[

( ) ]

三角函数部分题型
一、概念题:
1、任意角的概念 2、弧度制概念 3、任意角的三角函数概念; 4、周期 5、三角函数线 概念是逻辑判断的依据,是数学分析、理解的基础 二、考查记忆、理解能力题 如:简单的运用诱导公式 要求做到:记忆熟悉、计算细心、答案正确 三、求值题 1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题

三、三角函数的图象与性质题 1、求定义域(注意与不等式的结合) 2、求值域题 4、奇偶性 3、求周期 5、单调性:如求单调区间、比较大小 四、图象变换题 1、画图和识图能力题:如:描点法、 五点法作图、变换法 2、已知图象求解析式(五点法作图的应用)

1 ) 例 (90年,上海 α α 设 角是第二象限且满足 cos | cos , α | = 2 2 α ( ; ; 则 角属于 C )A.第-象限 B.第二象限 2 C.第三象限 D.第四象限 ; .
点评: 点评 本题先由α所在象限确定 所在象限,再 的 所在象限确定α/2所在象限 本题先由 所在象限确定 所在象限 再α/2的 余弦符号确定结论. 余弦符号确定结论

1、( 年)在 ( 0,2π )内使 sin x > cos x 、(02年 、( 取值范围是( 成立的 x 取值范围是( C ) π ( A)(π , π ) ∪(π , 54 )(B)(π ,π ) 4 2 4

(C)( 4 , )(D)( 4 ,π ) ∪( , ) 2、( 年)函数 y = x cos x 的部分图 、(00年 、( 象是( 象是( D )
π
5π 4

π

5π 4

3π 2

y

y

y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

( A)

(B)

(C)

(D)

例9、(98年)关于函数 f (x) = 4sin(2x + )(x ∈ R) 、 年 关于函数 有 3 下列命题: 下列命题: ① y = f (x)的表达式可改写为 ③ y = f (x) 的图象关于点 ② y = f (x)是以2π为最小正周期的周期函数
π ,0 6

π

π y = 4cos 2x 6

对称
6

④ y = f (x) 的图象关于直线 x = 对称

π

① 其中正确的命题序号是。 其中正确的命题序号是。 ③

3.下列函数中,周期为 2 的偶函数是 ( A. y=sin4x B.y=cos4x C.y=tan2x

π

B)

D.y=cos2x

5.函数f(x)=sinx-cosx的最大值是 A. 2 B. 1 C.
2 2

( )

D

D.

2

5π 6 . 函 数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴是直线 2 ( )

B

A. x= -

π

B. x= π

4

8

C. x= -π

2

D.5π
4

8.下列各式中,正确的是
5π 4π A. Sin 7 >sin B. sin(7

C.tan15π>tan(- π )
8

D.cos(-

π π )>sin(- ) 6 5 3π 9π
5



C )
)

)>cos(-

7 π

4

9.要得到函数y=cos(2x)的图象,只需将函数y=sin2x的图 4 象 ( ) A.向左平移



π C.向左平移 (单位长) 4

8(单位长)

π B. 向右平移 8 (单位长)

π D. 向右平移 (单位长) 4

π 13.函数y=2cos(2x- )的一个单调区间是 ( 6 π 5π π , ] B.[ π , 7π] A.[C.[- ,0] D. [- π , π ] 12 12 2 2 2 12 12

A)

π 14.将函数y=sinx的图象向左平移 (单位长),再把所 3 得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则最后得到 x π A. y=sin( + ) 2 3
C.y=sin( x +π ) 3 3 的曲线的解析式为 (

π B.y=sin(2x- ) 3

A)

π D.y=sin(3x+ ) 3


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