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平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
目标定位 1.理解平面向量数量积及其几何意义; 2.体会平

面向量数量积与向量投影的关系;3.掌握平面量数量积的性 质、运算律和几何意义.

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自 主 预 习
1.定义
已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,我们把数量 |a|· |b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b =|a||b|cosθ .

0 规定:零向量与任一向量的数量积为 0,即 0· a=___.

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2.几何意义 对于a· b=|a||b|cos θ(其中θ是a与b的夹角),|a|cos θ(|b|cos θ)叫 向量a在b方向上 (b在a方向上)的投影. 作_______________ 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘 积(如图).

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3.向量数量积的性质
设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.

|a|cos〈a,b〉 (1)a· e=e· a=____________ ;
(2)a⊥b?a· b=___ b=__ 0 且 a· 0 ?a⊥b;
2 | a | (3)a· a=____或|a|=____;

|a|2

a· b |a||b| ; (4)cos〈a,b〉=_____

≤ a||b|. (5)|a· b|____|

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4.向量数量积的运算律

(1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律); (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).

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即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1) 两个向量的数量积是一个数,符号仅与它们的夹角有 关.( √ ) (2)一个向量在另一个向量上的投影是一个向量.( × ) 1 → → (3)△ABC 是边长为 1 的等边三角形,AB· BC=2.( × ) (4)若|a|=|b|,则 a· c=b· c.( × )

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提示

(1)由数量积的定义知正确.

(2)投影是一个数,不是向量. 1 → → → → (3)AB·BC=|AB||BC|cos 120°=-2. (4)a· c=|a||c|cos〈a· c〉 , b· c=|b||c|cos〈b,c〉 ,不一定相 等.

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2.|a|=2,|b|=1,向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( 1 A.- 2 C.-1 )

B.120° D.向量 b 的长度
? 1? 120°=2×?-2?=-1. ? ?

解析 a 在 b 方向上的投影为|a|cos
答案 C

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3.若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°,则 a· b 等于( 1 A.2 3 C.1+ 2 ) 3 B.2 D.2

1 1 解析 a· b=|a||b|cos 60°=1×1×2=2.
答案 A

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4.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)· (a-b)=________.

解析 (a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=9-16=-7.
答案 -7

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类型一 数量积及其几何意义
【例 1】 (1)已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 B.4 ) C.-2 D.2

→ → (2)若等腰△ABC 的底边 BC 长为 4, 则BA· BC的值为________.

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解析

(1)设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ,则向量 a 在向量 b

a· b 方向上的投影为|a|cos θ= =-4. |b| (2)如图,过 A 作 AD⊥BC,垂足为 D, 1 因为 AB=AC,所以 BD= BC=2, 2 → |cos∠ABC=|BD →| 于是|BA 1→ 1 =2|BC|=2×4=2, → ·BC → =|BA → ||BC → |cos∠ABC=4×2=8. 所以BA

答案 (1)A (2)8
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规律方法

(1)定义法:若已知向量的模及其夹角,则直接利

用公式 a· b=|a||b|cosθ. 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条 件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符 合以上条件. (2)几何意义法:若已知一向量的模及另一向量在该向量上的 射影,可利用数量积的几何意义求 a· b.

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→ → → 【训练 1】 在△ABC 中, 已知|AB|=5, |BC|=4, |AC|=3, 求: → ·BC → ;(2)AC → 在AB → 方向上的投影;(3)AB → 在BC → 方向上的 (1)AB 投影.

→ |=5,|BC → |=4,|AC → |=3, 解 ∵|AB ∴△ABC 为直角三角形,且 C=90°. AC 3 BC 4 ∴cos A=AB= ,cos B=AB= . 5 5

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4 → → → → (1)AB·BC=-BA·BC=-5×4×5=-16; 3 → → 5×3× AC ·AB 5 9 → → → (2)|AC|·cos〈AC,AB〉= = =5; 5 →| |AB → → → → BC · AB - BA · BC → → → (3)|AB|·cos〈AB,BC〉= = → → |BC| |BC| 4 -5×4× 5 = =-4. 4

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类型二 平面向量数量积的基本运算(互动探究)

【例2】 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的
夹角是60°时,分别求a· b.

[思路探究] 探究点 a∥b 时,a 与 b 夹角是多少? 提示 a 与 b 夹角为 0°或 180°.

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①当 a∥b 时,

若 a 与 b 同向,则它们的夹角 θ=0°, ∴a· b=|a||b|cos 0° =3×6×1=18; 若 a 与 b 反向,则它们的夹角 θ=180°, ∴a· b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18; ②当 a⊥b 时,它们的夹角 θ=90°,∴a· b=0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时, 1 有 a· b=|a||b|cos 60°=3×6×2=9.

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规律方法

(1)∵a∥b 时,a 与 b 的夹角为 0°或 180°.∴两

个非零向量共线?a· b=± |a||b|.(2)非零向量 a⊥b?a· b=0; (3)两个向量的数量积 a· b=|a||b|cos θ 的符号,与它们的夹角 有关,夹角范围是[0°,180°].

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【训练2】 若向量a、b、c满足a+b+c=0且|a|=3,|b|=1,

|c|=4,求a· b+b· c+c· a=________.
解析 法一 由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,可知向量 a

与 b 同向,而向量 c 与它们反向. ∴有 a· b+b· c+c· a=3cos 0°+4cos 180°+12cos 180° =3-4-12=-13. 法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a· b+b· c+c· a),

(a+b+c)2-(a2+b2+c2) ∴a· b+b· c+c· a= 2 0-(32+12+42) = =-13. 2

答案 -13
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类型三 向量数量积运算律的应用
【例3】 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a

+2b)· (a-3b).
解 (a+2b)· (a-3b)

=a· a-a· b-6b· b
=|a|2-a· b-6|b|2 =|a|2-|a|· |b|cos θ-6|b|2 =62-6×4×cos 60°-6×42 =-72.

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规律方法

熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质是解决

此类问题的关键.计算形如(ma+nb)· (pa+qb)的数量积可仿多

项式乘法的法则展开计算,再运用数量积定义和模的公式化
简求解.

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【训练 3】 已知 e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,设 a =2e1+e2,b=-3e1+2e2. (1)求 e1·e2; (2)求|a|,|b|; (3)求 a 与 b 的夹角 θ.
解 1 (1)e1·e2=|e1||e2|cos 60°=2.
2 2

(2)|a| =(2e1+e2) ∴|a|= 7,

1 2 2 =4e1+4e1·e2+e2=4+4× +1=7, 2

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|b| = ( - 3e1 + 2e2) =7,∴|b|= 7.

2

2

1 2 2 = 9e 1 + 2( - 3e1)· (2e2) + 4e 2 = 9 - 12× + 4 2

(3)a· b=(2e1+e2)· (-3e1+2e2) 7 2 2 =-6e1+e1·e2+2e2=- . 2 7 - 2 a· b 1 ∴cos θ = = =-2, |a||b| 7× 7 ∴a 与 b 的夹角 θ=120°.

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[课堂小结]

1.对数量积概念的三点说明
(1) 从定义上看:两向量的数量积是一个数量,而不是向量, 其数值可正、可负、可为零,其决定因素为两向量的夹角. (2)从运算上看:两向量a,b的数量积称作内积,写成a· b,

其中“· ”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号,不可
省略. (3) 两向量的数量积有明确的物理和几何意义,学习时注意 掌握.

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2.理解数量积的几何意义的三个关注点
(1)a· b 等于|a|与 b 在 a 方向上的投影的乘积,也等于|b|与 a 在 b 方向上的投影的乘积.其中 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向 上的投影是不同的. (2)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ (θ 是 a 与 b 的夹角), 也可以 a· b 写成 . |a| (3)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可 为零.

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3.关于数量积的运算律
由于数量积有交换律与分配律,向量的数量积有类似于多 项式乘法公式的运算公式要注意运用,以简化运算.

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1.已知|a|=3,|b|=5,且 a· b=12,则向量 a 在向量 b 上的投 影为( 12 A. 5 ) B.3 C.4 D.5

a· b 12 解析 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a,b〉= = 5 . |b| 答案 A

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?1 ? ? b?=-36,则 2.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)· ?5 ?

a 与 b 的夹

角为( A.60° C.135°

) B.120° D.150°

解析

由已知:|a|· |b|cos〈a,b〉=-60°,∴cos〈a,b〉

1 =-2,∴〈a,b〉=120°. 答案 B

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3.已知|a|=1,|b|= 2,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角 是________.

解析 ∵(a-b)⊥a,∴(a-b)· a=0,∴|a|2-a· b=0, 2 ∴1-1× 2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉= 2 ∴〈a,b〉=45°.

答案 45°

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→ → 4.如图,在平行四边形 ABCD 中,|AB|=4,|AD|=3,∠DAB =60°,求: → ·BC →. (1)AD

→ ·CD →. (2)AB → ·DA →. (3)AB
解 → ·BC → =|AD → |2=9. (1)AD

→ ·CD → =-|AB → |2=-16. (2)AB → ·DA → =|AB → ||DA → |cos(180°-60°)= (3)AB
? 1? 4×3×?-2?=-6. ? ?

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