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2012届高三数学文二轮复习课时作业3:基本初等函数


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2012 届高三数学文二轮复习课时作业 3 基本初等函数
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 分值:100 分

图1 2 1.设映射 f:x→-x +2x 是实数集 M 到实数集 N 的映射,若对于实数 p∈N,在 M 中不 存在原象,则 p 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 2 解析:由题意知 f:x→-(x-1) +1 的象集为(-∞,1],(-∞, N, 2 即映射 f:x→-(x-1) +1 的象集是 N 的真子集, ∴关于 p∈N,在 M 中无原象, 由图知 p 的取值范围是(1,+∞).故选 A. 答案:A 2.2log510+log50.25=( ) A.0 B.1 C.2 D.4 2 解析:2log510+log50.25=log510 +log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.故选 C. 答案:C 2 ? ?3x-1 3.设函数 f(x)=? 1 ? ?x

x≥0
,若 f(a)>a,则实数 a 的取值范围是( )

x<0

A.(-∞,-3) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(0,1) 2 解析:当 a≥0 时,f(a)= a-1,则由 f(a)>a 即 a<-3,所以这样的 a 不存在.当 a<0 3 1 时,f(a)= ,则由 f(a)>a,即 a<-1,∴a<-1.综上可知,所求 a 的取值范围为(-∞,-

a

1). 答案:B 4.(2011·天津高考)已知 a= 5 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解 析 : ∵
log 2 3.4

,b= 5

log4 3.6

?1? ,c= ? ? ?5?

log 3 0.3

,则(

)

?1? ? ? ?5?

log 3 0.3



5

log 3

10 3

, 1<log23.4<2,0<log43.6<1,1<log3

10 <2 , 又 3

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10

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log 3 10 10 10 log 3.4 log 3.6 3 log23.4>log2 >log3 ,∴log23.4>log3 >log43.6,∴ 5 2 > 5 > 5 4 ,故选 C. 3 3 3 答案:C 5.(2010·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的 取值范围是( ) A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞) 解析:f(x)=|lgx|的图象如图 2 所示,由图知 f(a)=f(b),则有 0<a<1<b,∴f(a)= 1 1 |lga|=-lga,f(b)=|lgb|=lgb,即-lga=lgb,得 a= ,∴a+2b=2b+ .

b

b

图2 1 1 令 g(b)=2b+ ,g′(b)=2- 2,显然 b∈(1,+∞)时,g′(b)>0,∴g(b)在(1,+

b

b

1 ∞)上为增函数,得 g(b)=2b+ >3,故选 C.

b

答案:C 6.(2010·浙江高考)设函数的集合

? P=?f x =log2 x+a +b?a=- ,0, ,1;b=-1,0,1
? ?

? ?

?

1 2

1 2

? ? ?, 平面上点的集合 ? ?

? Q=? x,y ?x=- ,0, ,1;y=-1,0,1 2 2
1 1
? ?

? ?

?

? ? ?, 则在同一直角坐标系中, P 中函数 f(x) ? ?

的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是( .. A.4 B.6 C.8 D.10

)

1 解析:集合 Q 中共有如图 3 所示的 12 个点,函数 f(x)=log2x 过点( ,-1),(1,0), 2

图3 故 a=0,b=0 满足条件,将 f(x)=log2x 的图象左、右、上、下平移,满足条件的 a、 b 共有
? ?a=0, ? ?b=0, ?

1 ? ?a= , ? 2 ? ?b=0,

? ?a=0, ? ?b=1, ?

? ?a=1, ? ?b=1, ?

? ?a=1, ? ?b=-1, ?

1 ? ?a= , ? 2 ? ?b=1,

6 组.故选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分)
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1 x 7.已知 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=4 ,则 f(- )=________. 2 1 1 解析:f(- )=-f( )=-4 2 =-2.故填-2. 2 2 答案:-2 * 2 8.(2011·陕西高考)设 n∈N ,一元二次方程 x -4x+n=0 有整数 根的充要条件是 n .. =________. * 解析:先求有根的条件,即 Δ =16-4n≥0,又 n∈N ,所以 n 取值为 1,2,3,4;将其逐 个代入验证可知 n=3 或 n=4. 答案:3 或 4 2 ? ? , 9.(2011·北京高考)已知函数 f(x)=?x ? ? x-
1

x≥2,
3

若关于 x 的方程 f(x)



x<2.

=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析:作出函数 y=f(x)的图象如图 4.

图4 则当 0<k<1 时,关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根. 答案:(0,1) 三、解答题(共计 40 分) 1 1 1 10.(10 分)(2011·安徽高考)(1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+ ≤ + +xy;

xy x y (2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明:(1)由于 x≥1,y≥1,
1 1 1 所以 x+y+ ≤ + +xy

xy x y 2 ?xy(x+y)+1≤y+x+(xy) .
将上式中的右式减左式,得 2 [y+x+(xy) ]-[xy(x+y)+1] 2 =[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca= ,logba= ,logcb= ,

xy

x

y

logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 1 1 1 x+y+ ≤ + +xy.

xy x y

其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.
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1 11. (15 分)定义在[-1,1]上的奇函数 f(x), 已知当 x∈[-1,0]时的解析式 f(x)= x- 4

a
2
x

(a∈R). (1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 解:(1)设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0], 1 a f(-x)= -x- -x=4x-a·2x, 4 2 x x ∴f(x)=a·2 -4 ,x∈[0,1], x x (2)∵f(x)=a·2 -4 ,x∈[0,1], x 令 t=2 ,t∈[1,2], ∴g(t)=a·t-t =-(t- ) + . 2 4 当 ≤1,即 a≤2 时,g(t)max=g(1)=a-1. 2 当 1< <2,即 2<a<4 时,g(t)max=g( )= . 2 2 4 当 ≥2 时,即 a≥4 时,g(t)max=g(2)=2a-4. 2
2

a

2

a2

a

a

a

a2

a

综上,a≤2 时,f(x)的最大值为 a-1;当 2<a<4 时,f(x)的最大值为 ;当 a≥4 时, 4 f(x)的最大值为 2a-4. 3 12.(15 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x).当-1≤x≤1,f(x)=x . (1)求证:x=1 是函数 y=f(x)的一条对称轴; (2)求 x∈[1,5]时,求 f(x)的表达式; (3)求 x∈R 时的函数解析式; (4)若 A={x||f(x)|>a,x∈R},A≠?,求 a 的范围. 解:(1)证明:因为 f(x)为奇函数, 所以-f(x)=f(-x),因为 f(x+2)=f(-x), 所以 f[(x-1)+2]=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x), 所以直线 x=1 是函数 f(x)图象的一条对称轴. (2)因为 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的函数. 3 又-1≤x≤1 时,f(x)=x , 当 x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1], 3 所以 f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=-(x-2) , 当 x∈(3,5]时,x-4∈(-1,1], 3 所以 f(x)=f(x-4+4)=f(x-4)=(x-4) , 所以当 x∈[1,5]时,f(x)的解析式为 3 ? ,x∈[1,3], ?- x- ? f(x)= 3 ? x- ,x ,5]. ?
? ? (3)f(x)=? ? ?

a2

x-4k

3

,x
3

-1+4k,1+4k], ,x +4k,3+4k].

+4k-x

(4)∵A≠?, ∴|f(x)|>a 有解,即 a<|f(x)|max. 当 x∈[-1,3]时,

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?x ,x∈[-1, , ? f(x)=? 3 ? -x ,x∈[1,3], ?
3

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∴0≤|f(x)|≤1(x∈R).∴a<1.

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