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正弦型函数y=Asin(wx+$)


正弦型函数y=Asin(ωx+φ)

观察与思考
y

Q

?t
O

P
?
x

如图,P是圆心在原点,半径为 R的圆周上一点,且∠xOP=φ,P 转动的角速度为ωrad/s,t秒后点 P到达点Q的位置,你能用t表示 点Q的纵坐标y吗?

射线OP旋转得角度为ωt,所以∠xOQ=ωt+φ,因此:

y ? R sin(?t ? ? )

相关概念:

? R sin(?t ? ? ) 中,点P旋转一周所需 要的时间 T ? 2? 叫做点P转动的周期. ? 1 ?
在函数 y 在一秒内,点P的转动周数 f ?

的频率.

T

?

2?

, 叫做转动

OP与X轴正方向的夹角φ叫做初相.

新概念: 形如

y ? A sin(? x ? ? ) (其中A,ω,φ 都是常数)

通常叫做正弦型函数.

y=Asinx型函数的图像:

1.用“五点法”在同一坐标系中分别作出函数 y=sinx,y=2sinx,y=1/2sinx的图像,并观察它们之间 具有怎样的关系? 结论: ①函数y=Asinx的值域为[-|A|,|A|],|A|的大小反映了曲 线y=Asinx波动幅度的大小,因此|A|也称为振幅;
②当A>0且A≠1时,函数y=Asinx,x∈R的图像可以看 作把正弦曲线y=sinx上所有点的纵坐标伸长(当A>1 时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不 变)而得到的,称为振幅变换.

y=sinωx(ω>0)型函数的图像

2.用“五点法”在同一坐标系中分别作出函数 y=sinx,y=sin2x,y=sin(x/2)的图像,并观察它们之间 具有怎样的关系? 结论: 2? ①函数y=sinωx(ω≠0)的最小正周期为 ? ;
②函数y=sinωx,(x∈R,ω>0,ω≠1)的图像可以看作把 正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到 的,称为周期变换. 振幅变换与周期变换都属于函数图像的伸缩变换!

y=sin(x+φ)+b型函数的图像

结论:把函数y=sinx的图像向左(当φ>0时)或向右 (当φ<0时)平移|φ|个单位,再向上(当b>0时)或向下 (当b<0时)平移|b|个单位,即得函数y=sin(x+φ)+b的 图像,即为平移变换.

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像: 3.作出函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图像. 3 方法一、五点法; 方法二、图像变换两方案,两个凡是. 思考:怎么作上述函数在[0,π]上的图像?

?

y

3
1

y=3sin(2x+π/3)
y=sin2x

5π/6 3π/2 -π/3 O π/6 π/2 π 7π/6 5π/3 2π -π/6 2π/3
-1

x

y=sin(2x+π/3)
-3

y=sinx y=sin(x+π/3)

? 1.将函数y=sinx的图像向右平移 6 个单位长度后,再
2 6

做一做:

把各点横坐标伸长到原来的2倍,所得到的图像对应函 数解析式为 . y ? sin( 1 x ? ? )
2.要得到函数y=2sin3x的图像,只需将函数 y=2sin(3x-π/6)的图像( D )

A.向右平移π/6个单位长度

B.向左平移π/6个单位长度

C.向右平移π/18个单位长度 D.向左平移π/18个单位长度 小贴士:可用“五点法”验证!

3.先将函数y=sin2x的图像向右平移π/3个单位长度, 再作所得图像关于直线x=π/6的对称图形,则最后得到 的图像对应函数解析式为 . y ? ? sin 2 x 4.函数y=sin(2x+π/3)图像的对称轴方程可能是( D)

A.x=-π/6

B.x=-π/12

C.x=π/6

D.x=π/12

5.关于函数f(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R)有下列命题: ①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍; ②由y=f(x)的表达式可改写成y=4cos(2x-π/6);

③y=f(x)的图像关于点(-π/6,0)对称;
④y=f(x)的图像关于直线x=-π/6对称.

其中正确命题的序号是

②③

.

6.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)

3? 的图像关于直线x=π/4对称,则函数y=f( -x)是(D ) 4
A.偶函数且它的图像关于点(π,0)对称 B.偶函数且它的图像关于点(3π/2,0)对称 C.奇函数且它的图像关于点(3π/2,0)对称 D.奇函数且它的图像关于点(π,0)对称

7.函数y=sin2x的最小正周期为 8.函数y=sinπx.cosπx是( C ) A.周期为π的奇函数 C.周期为1的奇函数

π

.

B.周期为π的偶函数 D.周期为1的偶函数

9.给出函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部 分图像如图,则f(x)= ,函数图像与直线y=1的交 点坐标为 . y x ?
2
? O ?
2

3? 2

f ( x) ? 2sin( ? ) 2 4

-2

1 7? 1 ( ? ? 4k? , ),( ? 4k? , )( k ? Z ) 6 2 6 2

?

x

小贴士:A用振幅求,ω 用周期求,φ代点求, 要代最低或最高,尽量 别代半山腰!

10.如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近 似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,试写出这段曲线一个 可能的解析式.
y 30 20 10 O 6 10 14 x

3? y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ?[6,14] 8 4

?

11.已知函数y=sinωx在[-π/3,π/3]上是减函数,则ω 的取值范围为 . 3
[? , 0) 2

12.为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出 现50次最大值,求ω的最小值. 197? 2 k ? 13.已知函数 f ( x) ? sin( x ? )(k ? 0). 试求最小的正 整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本

5

3

身)变化时,f(x)至少有一个最大值和一个最小值. K=32

三角函数综合应用: 1.已知函数f(x)=( 3sinωx-cosωx).cosωx(ω>0)最小正 周期为π/2. ? 1

f ( x) ? sin(2? x ? ) ? , ? ? 2 ①求ω的值; 6 2 1 ymax ? , ymin ? ?1 ②求f(x)的单调区间; 2
③求f(x)图像的对称轴方程和对称中心坐标;

2 6 2 ? k? 1 ? k? ( ? 对称轴方程 x ? 6 ? 4 , (k ? Z ) 对称中心坐标 24 4 , ? 2 )(k ? Z )

④若x∈(0,π/3],求f(x)的最大值和最小值. ? k? 5? k? ? k ? ? k? 增区间[? ? , ? ](k ? Z ) 减区间[ 6 ? 2 , 12 ? 2 ](k ? Z )
12

f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x. 2.已知函数 3 ①求函数f(x)在[0,π]上的增区间;

?

②将函数f(x)的图像向右平移m个单位长度,使所得 图像对应的函数为偶函数,求m的最小正值;
③函数y=sinx的图像经过怎样的变换可得f(x)的图像? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 ? 7? ①增区间为 [0, 12 ]和[ 12 , ? ] ②m的最小正值为 5?
12


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