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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 6.5合情推理与演绎推理练习


第五节

合情推理与演绎推理
基 础 必 做

时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题 1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的 小前提是( A.① C.③ ) B.② D.①和②

解析 由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.

故选 B. 答案 B 2.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析 由 A 可知其为椭圆的定义; B 由 a1=1,an=3n-1 求出 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式,属于归纳推 理; C 由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab,是类比推理; D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇,也属于类比推理,故选 B. 答案 B 3.观察下式:1=1 2+3+4=3 3+4+5+6+7=5 4+5+6+7+8+9+10=7 ,?, 则第 n 个式子是( )
2 2, 2, 2, 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x 2 y2 a b

x2 y2 a b

A.n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=n

B.n+(n+1)+(n+2)+?+(2n-1)=(2n-1) C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1) D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)

2

2

2

解析 方法一:由已知得第 n 个式子左边为 2n-1 项的和且首项为 n,以后是各项依次 加 1,设最后一项为 m,则 m-n+1=2n-1,∴m=3n-2. 方法二:特值验证法.n=2 时,2n-1=3,3n-1=5, 都不是 4,故只有 3n-2=4,故选 C. 答案 C
1

4.观察下图中图形的规律,在其右下角的空格内画上合格的图形为(

)

A. C.

B. D.

解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列,规律是每一行中只有一个图 形是空心的,其他两个都是填充颜色的,第三行中已经有正三角形是空心的了,因此另外一 个应该是阴影矩形. 答案 A 5.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2

1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P—ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4 为 V2,则 =( A. C. 1 8 1 64

V1 V2

) B. D. 1 9 1 27

V1 1 解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1?3,故 = . V2 27
答案 D 6.(2015·青岛模拟)对于数 25,规定第 1 次操作为 2 +5 =133,第 2 次操作为 1 +3 +3 =55,如此反复操作,则第 2 011 次操作后得到的数是( A.25 C.55
3 3 3 3 3 3 3

)

B.250 D.133
3 3 3 3

解析 第 3 次操作为 5 +5 =250,第 4 次操作为 2 +5 +0 =133,第 5 次操作为 1 + 3 +3 =55,可知操作后得到的数以 3 为周期重复出现,而 2 011=3×670+1,所以第 2 011 次操作后得到的数等于第 1 次操作后得到的数,即为 133. 答案 D 二、填空题
3 3

2

7.观察下列等式:1 +2 =3 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10 ,?,根据上述规律, 第五个等式为__________. 解析 由前三个式子可以得出如下规律: 每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数 的立方和,且个数依次多 1,等号的右边是一个正整数的平方,后一个正整数依次比前一个 大 3,4,?.因此,第五个等式为 1 +2 +3 +4 +5 +6 =21 . 答案 1 +2 +3 +4 +5 +6 =21
3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2

3

3

2, 3

3

3

2, 3

3

3

3

2

8.观察下列图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有__________个小正方形.

解析 第 1~5 个图形中分别有 3,6,10,15,21 个小正方形, 它们分别为 1+2,1+2+3,1 +2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6, 因此 an=1+2+3+?+(n+1). 7?1+7? 故 a6=1+2+3+?+7= =28, 2 即第 6 个图中有 28 个小正方形. 答案 28 9.若{an}是等差数列,m,n,p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p -m)an=0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn}有________________. 解析 设{bn}的首项为 b1, 公比为 q, 则 bp ·bm ·bn =(b1q
-1 p-m

m-n

n-p

p-m

p-1 m-n

)

·(b1q

m-1 n-p

)

·(b1q

n

)

=b1·q =1.
m-n n-p p-m

0

0

答案 bp ·bm ·bn =1 三、解答题 10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中,(1)三 1 角形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第 2 1 三边且等于第三边的 ;? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解 由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:

(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4
3

11.观察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ?, 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 013 是第几行的第几个数? 解 (1)∵第 n+1 行的第 1 个数是 2 ,
n n

∴第 n 行的最后一个数是 2 -1. (2)2 =
n-1

+(2

n-1

+1)+(2

n-1

+2)?+(2 -1)
2n-3

n

?2

n-1

+2 -1?·2 2
11

n

n-1

=3·2

-2

n-2

.

(3)∵2 =1 024,2 =2 048,1 024<2 013<2 048, ∴2 013 在第 11 行,该行第 1 个数是 2 =1 024, 由 2 013-1 024+1=990,知 2 013 是第 11 行的第 990 个数. 培 优 演 练
10

10

1.设非空集合 M 同时满足下列两个条件: ①M? {1,2,3,?,n-1};②若 a∈M,则 n-a∈M(n≥2,n∈N ),则下列结论正确的 是( ) A.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 2 个 2 B.若 n 为偶数,则集合 M 的个数为 2 -1 个 2 C.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 2 D.若 n 为奇数,则集合 M 的个数为 2
*

n n

n-1
2 2

个 个

n+1

解析 当 n=2 时,M? {1},且满足 1∈M,2-1∈M,故集合 M 的个数为 1 个; 当 n=3 时,M? {1,2},且 1∈M,3-1=2∈M,故集合 M 的个数为 1 个; 当 n=4 时,M? {1,2,3},且 1∈M,4-1=3∈M,2∈M,4-2=2∈M, 故集合 M 的个数为 3 个,故可排除 A,C,D,选 B. 答案 B 2.观察下列算式:
4

1 =1, 2 =3+5, 3 =7+9+11, 4 =13+15+17+19, ?? 若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2 013”这个数,则 m=________. 解析 某数 m 按上述规律展开后,等式右边为 m 个连续奇数的和,观察可知每行的最 后一个数为 1=1 +0,5=2 +1,11=3 +2,19=4 +3,?,所以第 m 行的最后一个数为 m
2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3

3

+(m-1).因为当 m=44 时,m +(m-1)=1 979,当 m=45 时,m +(m-1)=2 069,所以 要使等式右边含有“2 013”这个数,则 m=45. 答案 45 3.(2014·福建卷)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2; ③c≠0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于________. 解析 由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况: (1)当①成立时,则 a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立; (2)当②成立时,则 a=2,b=2,c=0,此种情况不成立; (3)当③成立时,则 a=2,b≠2,c≠0,即 a=2,b=0,c=1, 所以 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201. 答案 201 π n n n 4.设函数 fn(θ )=sin θ +(-1) cos θ ,0≤θ ≤ ,其中 n 为正整数. 4 (1)判断函数 f1(θ ),f3(θ )的单调性,并就 f1(θ )的情形证明你的结论; (2)证明:2f6(θ )-f4(θ )=(cos θ -sin θ )(cos θ -sin θ ). 解
4 4 2 2

? π? (1)f1(θ ),f3(θ )在?0, ?上均为单调递增函数. 4? ?

? π? 对于函数 f1(θ )=sinθ -cosθ ,设 θ 1<θ 2,θ 1,θ 2∈?0, ?,则 f1(θ 1)-f1(θ 2) 4? ?
=(sinθ 1-sinθ 2)+(cosθ 2-cosθ 1), 可得 sinθ 1<sinθ 2,cosθ 2<cosθ 1,

? π? ∴f1(θ 1)<f1(θ 2),函数 f1(θ )在?0, ?上单调递增. 4? ?
(2)证明:∵原式左边=2(sin θ +cos θ )-(sin θ +cos θ ) =2(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ ·cos θ +cos θ )-(sin θ +cos θ ) =sin θ -2sin θ cos θ +cos θ =(sin θ -cos θ ) =cos 2θ . 又∵原式右边=(cos θ -sin θ ) =cos 2θ ,
2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4 6 6 4 4

5

∴2f6(θ )-f4(θ )=(cos θ -sin θ )(cos θ -sin θ ).

4

4

2

2

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