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高二数学(3[1].1复数的几何意义)


3.1 数系的扩充和复数的概 念 3.1.2 复数的几何意义

复习巩 固

1.虚数单位i的基本特征是什么?

(1)i2=-1; (2)i可以与实数进行四则运算,且原

有的加、乘运算律仍然成立. 虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾,并将实数集扩充到了
复数集。
<

br /> 复习巩 固

2.复数的一般形式是什么?复数相等 的充要条件是什么?

a+bi(a,b∈R); 实部和虚部分别相等.

复习巩 固

3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如 何? 设z=a+bi(a,b∈R).
当b=0时z为实数; 当b≠0时,z为虚数; 当a=0且b≠0时,z为纯虚数.

复习巩 固

4.复数集、实数集、虚数集、 纯虚数集之间的关系如何?
复数 纯虚数 实数 虚数

提出问 题

5.实数与数轴上的点一一对应,从 而实数可以用数轴上的点来表示,这 是实数的几何意义,根据类比推理, 复数也应有它的几何意义.因此,探究 复数的几何意义就成为一个新的学习 内容.

问题探 究

1、在什么条件下,复数z惟一确定? 给出复数z的实部和虚部
2、设复数z=a+bi(a,b∈R),以 z的实部和虚部组成一个有序实数对 (a,b),那么复数z与有序实数对 (a,b)之间是一个怎样的对应关系?

一一对应

问题探 究

3、有序实数对(a,b)的几何意义是什 么?复数z=a+bi(a,b∈R)可以用什 y ( a, b) 么几何量来表示?
b
Z : a+ b i a x O

复数z=a+bi(a,b∈R)可以用直角 坐标系中的点Z(a,b)来表示.

形成结 论

用直角坐标系来表示复数的坐标平面 叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做 虚轴.

形成结 论

一般地,实轴上的点,虚轴上的点,各 象限内的点分别表示什么样的数?
y

b
O
a

Z : a+ bi

实轴上的点表示实数;

x

虚轴上的点除原点外都表示纯虚数,

各象限内的点表示虚部不为零的虚数.

问题探 究

1、用有向线段表示平面向量,向量的 大小和方向由什么要素所确定?
有向线段的始点和终点.

2、用坐标表示平面向量,如何根据向 量的坐标画出表示向量的有向线段?
以原点为始点,向量的 坐标对应的点为终点画 有向线段.
O
y (a , b) x

3、在复平面内,复数z=a+bi(a, b∈R)用向量如何表示?
y

问题探 究

b
O a

Z : a+ bi

x

以原点O为始点,点Z(a,b)为终点的 uuu r 向量 OZ .

4、复数z=a+bi(a,b∈R)可以用向量 uuu r 表示,向量OZ 的模叫做复数z的模,记作 |z|或|a+bi|,那么|a+bi|的计算公式 是什么?
y

问题探 究

b

Z : a+ bi a

| a + bi |=

a +b

2

2

O

x

问题探 究

5、设向量a,b分别表示复数z1,z2, 若a=b,则复数z1与z2的关系如何?
规定:相等的向量表示同一个复数.

6、若|z|=1,|z|<1,则复数z对应 复平面内的点的轨迹分别是什么? 单位圆,单位圆内部.

典例讲 评

例1 已知复数

z = log2 (m - 3m - 3) + i log2 (m - 3)
对应的点在直线x-2y+1=0上,求实数m 的值.

2

m =

15

典例讲 评

例2 若复平面内一个正方形的三个顶 点对应的复数分别为z1=1+2i,z2=-2+ i,z3=-1-2i,求这个正方形第四个顶 点对应的复数.
y Z1

z 4=2 -i

Z2 O Z3 Z4 x

典例讲 评

例3 设复数 z = log x + 4i , 1
2

若|z|≥5,求x的取值范围.

1 x ? (0, ] U [8, ? ) 8

课堂小 结

1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的,即 一一对应 复数z=a+bi 复平面内的点 Z ( a, b) 2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的,即 复数z=a+bi 一一对应 复平面内的向 uuu r 量 OZ

3.复数z=a+b i 与复平面内的点 uuu r Z(a,b)和向量OZ 是一个三角对应 关系,即
复数z=a+bi

课堂小 结

点 Z(a , b)

uuu r 向量 OZ

3.2

复数代数形式的四则运算 复数代数形式的加、减 运算及其几何意义

3.2.1

复习巩固

1.复数的代数形式是什么?在什么 条件下,复数z为实数、虚数、纯虚数?
代数形式:z=a+bi(a,b∈R). 当b=0时z为实数; 当b≠0时,z为虚数; 当a=0且b≠0时,z为纯虚数.

提出问题

2.复数z=a+bi(a,b∈R)对应复 平面内的点Z的坐标是什么?复数z可以 用复平面内哪个向量来表示? 对应点Z(a,b),
y Z(a,b) O x

uuu r 用向量 OZ 表示.

提出问题

3.两个实数可以进行加、减运算, 两个向量也可以进行加、减运算,根 据类比推理,两个复数也可以进行加、 减运算,我们需要研究的问题是,复 数的加、减运算法则是什么?

问题探究

1、设向量m=(a,b),n=(c,d),则向 量m+n的坐标是什么?

m+n=(a+c,b+d)

uuur uuur 2、设向量OZ 1, 分别表示复数 z , OZ 1 2 uuur uuur z2,那么向量 OZ 1 + 表示的复数应该 OZ 2 是什么? z 1+z 2

问题探究

问题探究

3、设复数z1 = a + b i , z = c + d i 对 2 uuur uuur uuur 应的向量分别为 , ,那么向量 OZ OZ OZ 1 1 2 uuur uuur uuur OZ 2 , OZ 1 + OZ 2 的坐标分别是什么? uuur OZ 1 =(a,b), uuur OZ 2 =(c,d), uuur uuur OZ 1 + OZ 2 =(a+c,b+d).

问题探究

4、设复数z1=a+bi,z2=c+di,则 复数z1+z2等于什么? z1+z2=(a+c)+(b+d)i.

问题探究

5、(a+bi)+(c+di)=(a+c)+ (b+d)i就是复数的加法法则,如何 用文字语言表述这个法则的数学意 义? 两个复数的和仍是一个复数. 两个复数的和的实部等于这两个复数的 实部之和,两个复数的和的虚部等于这 两个复数的虚部之和.

问题探究

6、两个实数的和仍是一个实数,两个 复数的和仍是一个复数,两个虚数的和 仍是一个虚数吗? 不一定.

问题探究

7、复数的加法法则满足交换律和结 合律吗?

z 1+z 2= z 2+z 1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

问题探究

8、规定:复数的减法是加法的逆运算, 若复数z=z1-z2,则复数z1等于什么? z 1=z +z 2

9、设复数z1=a+bi,z2=c+di,z= x+yi,代人z1=z+z2,由复数相等的 充要条件得x,y分别等于什么? x=a-c,y=b-d.

问题探究

10、根据上述分析,设复数z1=a+bi, z2=c+di,则z1-z2等于什么?

z 1 - z 2 = (a - c )+ (b - d )i

形成结论

复数的减法法则: 1、(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 2、两个复数的差仍是一个复数. 两个复数的差的实部等于这两个复 数的实部之差,两个复数的差的虚部等 于这两个复数的虚部之差.

问题探究

1、设复数z1=a+bi,z2=c+di对应的 uuur uuur 向量分别为OZ 1, OZ 2,则复数z1-z2对应 的向量是什么?|z1-z2|的几何意义是 Z2 y 什么?

uuur uuur uuuu r OZ 1 - OZ 2 = Z 2Z 1

Z1

|z1-z2|的几何意义表 O 示复数z1,z2对应复平 面内的点之间的距离.

x

问题探究

2、设a,b,r为实常数,且r>0,则 满足|z-(a+bi)|=r的复数z对应复 平面上的点的轨迹是什么? 以点(a,b)为圆心,r为半径的圆.
y

Z0

r

Z

O

x

问题探究

3、满足|z-(a+bi)|=|z-(c+di)|的 复数z对应复平面上的点的轨迹是什么?
y Z2 O

Z

点(a,b)与点(c,d) 的连线段的垂直平 分线 . x

Z1

问题探究

4、设a为非零实数,则满足|z-a|= |z+a|,|z-ai|=|z+ai|的复数z分 别具有什么特征?
若|z-a|=|z+a|,则z为纯虚数或零; 若|z-ai|=|z+ai|,则z为实数.

典例讲评

例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). -11i 例2 如图,在矩形OABC中,|OA|=2|OC| 点A对应的复数为 3 + i ,求点B和向量 uuu r y B 对应的复数 . AC
1 (- + 2 1 (- 2 3 3) + (1 + )i C 2 3 3) + ( - 1)i 2

A

O

x

课堂小结

1.复数的加、减运算法则表明,若干 个复数的代数和仍是一个复数,复数的 和差运算可转化为复数的实部、虚部的 和差运算. 2.在几何背景下求点或向量对应的复 数,即求点或向量的坐标,有关复数模 的问题,根据其几何意义,有时可转化 为距离问题处理.

课堂小结

3. 在实际应用中,既可以将复数 的运算转化为向量运算,也可以将向 量的运算转化为复数运算,二者对立 统一.

布置作业

P109练习:1,2.

P112习题3.2A组:2,3.

3.2

复数代数形式的四则运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

复习巩固

1.设复数z1=a+bi,z2=c+di,则 z1+z2,z1-z2分别等于什么? z1+z2=(a+c)+(b+d)i. z 1 - z 2 = ( a - c )+ (b - d )i 2.设z1,z2为复数,则|z1-z2|的几何 意义是什么? 复数z1,z2对应复平面内的点之间的 距离.

问题探究

1、设a,b,c,d∈R, 则(a+b)(c+d)怎样展开? (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

形成结论

1、设复数z1=a+bi,z2=c+di, 其中a,b,c,d∈R,则 z1z2=(a+bi)(c+di),按照上述运 算法则将其展开,z1z2等于什么? z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2、(a+bi)2=a2-b2+2abi.

问题探究

1、复数的乘法是否满足交换律、 结合律和对加法的分配律? z 1· z 2=z 2· z1,(z1· z 2) · z 3=z 1· (z2· z3), z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

问题探究

2、对于复数z1,z2,|z1· z 2| 与 |z1|· |z2|相等吗?
|z1· z2|=|z1|· |z2|

问题探究

3、在实数中, 2 + 3与 2 - 3 互称为有理化因式,在复数中,a+bi 与a-bi互称为共轭复数,一般地,共 轭复数的定义是什么? 实部相等,虚部互为相反数的两个复 数叫做互为共轭复数.

问题探究

4、复数z的共轭复数记作 z,虚部不 为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数, 那么z与 z 在复平面内所对应的点的位置 关系如何?z ×z 等于什么?y 关于实轴对称
Z

z ?z

| z | =| z |

2

2

O

x

z

问题探究

5、若复数z1=z2· z,则称复数z为复 数z1除以z2所得的商,即z=z1÷z2. 一般地,设复数z1=a+bi,z2=c+ di(c+di≠0),如何求z1÷z2?
a + bi (a + bi )(c - di ) ac + bd bc - ad = = 2 + 2 i 2 2 c + di (c + di )(c - di ) c + d c +d

问题探究

(a + bi ) ? (c 6、

ac + bd bc - ad di ) = 2 + 2 i 2 2 c +d c +d

就是复数的除法法则,并且两个复数相 除(除数不为0),所得的商还是一个 复数,那么如何计算 a + bi ?

b - ai a + bi i (- ai + b) = = i b - ai b - ai

问题探究

z1 | z1 | 7、怎样理解 | |= ? z2 | z2 |

典例讲评

例1 设z=(1+2i)÷(3-4i)×(1+i)2 求z. 4 2

z= -

5

+

5

i

3 + mi 例2 设复数 z = ,若z为纯虚 3 + 3i
数,求实数m的值. m=-3

课堂小结

1.复数的乘法法则类似于两个多项 式相乘,展开后要把i2换成-1,并将 实部与虚部分别合并.若求几个复数的 连乘积,则可利用交换律和结合律每 次两两相乘.

课堂小结

2.复数的除法法则类似于两个根式 的除法运算,一般先将除法运算式写 成分式,再将分子分母同乘以分母的 共轭复数,使分母化为实数,分子按 乘法法则运算.

课堂小结

3.对复数的乘法、除法运算要求 掌握它们的算法,不要求记忆运算公 式,对复数式的运算结果,一般要化 为代数式.

布置作业

P111练习:1,2,3.

复数的概念与运算题型分析 第一课时

题型一:复数的混合运算

3 - 4i 15 8 例1 计算: + i - (1 + i ) 1 + 2i
-17-3i 3 2z + (4z + 6)i 例2 设复数z=1-i,求 - 3z 的值. 1-i



1 例3 已知复数z满足 z + - i = 0 , 2 z z - z + 1
z + z+ 1
2

题型二:复数的变式运算

的值.

求 (z + 1) + z 的值.

1 例4 已知复数z满足 z + + 1 = 0 , z 4
-1

i

题型三:求满足某条件的复数值 且| z

1 + iz 例5 已知复数z满足 为纯虚数, z

- i |= 4 | z | ,求z的值.
i i z = or 5 3

题型三:求满足某条件的复数值
例6 已知复数z满足

z - 2i = 1 + (2z - 1)i ,求z的值.
5 i z= 3 3

题型三:求满足某条件的复数值 例7 已知复数z满足|z-2|=2,且 4 z + ? R ,求z的值. z
z=4或z

= 1?

3i .

P112习题3.2A组:4,5. P116复习参考题A组:2,3.

复数的概念与运算题型分析 第二课时

题型四:求复数式中的实参数值 例8 已知复数z=1+i,若 2 z + az + b ,求实数 a , b 的值 . = 1 i 2 z - z+1 a=-1,b=2.

题型四:证明复数的有关性质 例9 求证:复数z为纯虚数的充要 条件是z2<0.

题型四:证明复数的有关性质

例10 已知复数z满足|z|=1,求证: 1 z + ? R. z

例11 已知复数z1,z2满足z1· z 2=0 , 求证:z1=0或z2=0.

题型五:求复数式中的实参数值 例12 已知复数z满足|z|=1,且

(z - m ) = 2m (m < 0) ,求m的值.

2

m = 1-

2

题型六:复数的几何意义及其应用 例13 已知复数z满足

| z | + z + z = 3 ,求复数z对应复平面
内的点P的轨迹.

2

以点(1,0)为圆心,2为半径的圆.

题型六:复数的几何意义及其应用 例14 已知复数z满足:

(z - i )(z + i ) = 1,求|z+i|的取值
范围. [1,3]

题型六:复数的几何意义及其应用

例15 设复数z1,z2,z3分别对应复 平面内的点A,B,C,若z1+z2+z3=0, 且|z1|=|z2|=|z3|=1,求证:△ABC 为正三角形.

P112习题3.2A组:6.

P116复习参考题B组:1,2,3.

布置作 业

P105练习:1.

P106习题3.1A组:4,5,6.


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