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浙江省金华一中2013届高三12月月考数学理


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2012 年 12 月数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)已知 U 为全集, A, B, I 都是 U 的子集,且 A ? I , B ? I ,则 CI ( A ? B) ? ( (A) ?x ? U | x ? A且x ? B? (C) ?x ? I | x ? A且x ? B? 2.已知 a ? R, A.1 3.将函数 y=sin(2x+ (B) x ? U | x ? A或x ? B )

?

? ?

(D) x ? I | x ? A或x ? B

?

a ?i 为纯虚数,则 a 的值为() 1? i
B.-1 C. 2 D. ? 2 )

? ? )的图象经过怎样的平移后所得图象关于点( ? ,0)中心对称( 3 12 ? ? ? ? A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移 12 12 6 6

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,且它的一条渐近线方程为 x ? y ? 0 ,则这双曲 4.已知双曲线与椭圆 16 64
线的方程为() A. x ? y ? 50
2 2

B. x ? y ? 24
2 2

C. x ? y ? ?50
2 2

D. x ? y ? ?24
2 2

5.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a2 ? 4, S10 ? 110 ,则

Sn ? 64 的最小值为() an

A.7

B.8

C.

6.△ABC 的内角 A 满足 tanA ? sinA<0,sinA+cosA>0,则角 A 的取值范围是() A. (0,

15 2

D.

17 2

? ) 4

B. (

? ? , ) 4 2

C. (

? 3 , ?) 2 4

D. (
x

3 ? ,? ) 4

7. 若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、 偶函数且满足 f(x)+g(x)=e , 其中 e 是自然对数的底数, 则有 ( ) A.f(e)<f(3)<g( ? 3) C.f(3)<f(e)<g( ? 3) B.g( ? 3)<f(3)<f(e) D.g( ? 3)<f(e)<f(3)

8.设 a , b 是两条不同直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是() A. a ? ? , b // ? , ? ? ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ?
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C. a ? ? , b ? ? , ? // ?

D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

9.设是△ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比值是() A.

??? ?

??? ?

??? ?

?

3 2

B.

5 3

C.2

D.3

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ? ≤1 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( A.

x 3

1 f ( x) ,且当 0≤x1<x2 2

1 256

1 ) 的值为( 2012 1 B. 128

) C.

1 64

D.

1 32

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计, 得到样本频率分布直方图如下图所示, 现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 12.某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的表面积为_____________cm2 . 2

3
正视图 1 1 第 11 题 11 2 俯视图 第 12 题 2 侧视图

3

第 13 题

13.若框图所给的程序运行结果为 S=90,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是_____________

?x ? 0 ? 14.已知 M(a,b)由 ? y ? 0 确定的平面区域内运动,则动点 N(a+b,a ? b)所在平面区域的面积 ?x ? y ? 4 ?
为_______ 15.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7
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23 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19
根据上述分解规律,若 m3 (m ? N * ) 的分解中含有数 35,则 m 的值为_________.

16.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 ?ABF2 为 等边三角形,则双曲线的离心率为_________________ 17.集合 S ? ?1,2,3, ???,10? 的四元子集 T ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? 中,任意两个元素的差的绝对值都不为 1 , 这样的四元子集 T 的个数为.(用数字作答) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (满分14分)已知 f ( x) ? 3 sin

x x x 1 cos ? cos 2 ? . 4 4 4 2

(1)求 f(x)的周期及其图象的对称中心; (2)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,满足(2a ? c)cosB=bcosC,求 f(A)的 取值范围. 19. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为正方形, 且 PA=AD=2, E、 分别为 F 棱 AD、PC 的中点. (1)求异面直线 EF 和 PB 所成角的大小; (2)求证: 平面 PCE⊥平面 PBC; (3)求直线 BD 与平面 PBC 所成角。

20. (本题满分 14 分)某种鲜花进价每束 2 .5 元,售价每束 5 元,若卖不出,则以每束 1.6 元的价格 处 理掉。某节日需求量 X (单位:束)的分布列为

X
P

200

300

400

500

0.20

0.35

0.30

0.15

(Ⅰ)若进鲜花 400 束,求利润 Y 的均值。
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(Ⅱ)试问:进多少束花可使利润 Y 的均值最大? 21. (满分15分)动圆 P 过定点 F ?1, 0 ? 且与直线 x ? ?1 相切,圆心 P 的轨迹为曲线 C ,过 F 作曲 线 C 两条互相垂直的弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M 、 N . (1)求曲线 C 的方程; (2)求证:直线 MN 必过定点.

2 22.(满分15 分)设函数 f ( x ) ? x ?

1 1 , g ( x) ? ln( 2ex ) , (其中 e 为自然底数) ; 4 2

(Ⅰ)求 y ? f ( x) ? g ( x) ( x ? 0 )的最小值; (Ⅱ)探究是否存在一次函数 h( x) ? kx ? b 使得 f ( x) ? h( x) 且 h( x) ? g ( x) 对一切 x ? 0 恒成立; 若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由; (Ⅲ)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? g (an?1 )(n ? 2) ,求证:

? (a
k ?1

n

k

3 ? ak ?1 ) ? ak ?1 ? 。 8

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2012.12 数学(理)试卷参考答案

一、选择题 1.D 2.A 3.A 二、填空题

4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 10.B

11.600 12. 12 ? 2 3 17.35 三、解答题 18. 解: (1)由 f ( x) ?

13. k ? 8

14.16 15.6 16. 7

3 x 1 x x ? sin ? cos ? 1 ? sin( ? ) ? 1 ,? f (x) 的周期为 4? . 2 2 2 2 2 6
????????3 分

由 sin( ?

x 2

?
6

) ? 0, 得x ? 2k? ?

?
3

,故 f ( x ) 图象的对称中心为 (2k? ?

?
3

,1), k ? Z .

????????6 分 (2)由 (2a ? c) cos B ? b cosC, 得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ,?????8 分

? 2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cosC, ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ,? A ? B ? C ? ? ,

1 ? 2? , B ? ,0 ? A ? . ????11 分 2 3 3 ? A ? ? 1 A ? 3 ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 故函数 f ( A) 的取值范围是 ( , 2) .??14 分 6 2 6 2 2 2 6 2

? sin(B ? C ) ? sin A, 且 sin A ? 0, ? cos B ?

19. 解: 以直线 AB 为 x 轴, 直线 AD 为 y 轴, 直线 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系, 如图,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).??????2 分 y (1)∵E 为 AD 的中点, ∴E(0,1,0), 又 F 为 PC 的中点, ∴ F(1,1,1). 1×2+1×(-1) → → → → ∴EF=(1,0,1),又PB=(2,0,-2), ∴cos<EF,PB> = =0 , 1+1· 4+4 → → ∴cos<EF,PB> = 90°,即异面直线 EF 和 PB 所成角的大小为 90°。 ??????6 分 → → → → (2)由(1)知 EF⊥PB, 又∵BC=(0,2,0), EF=(1,0,1)∴EF·BC=0,
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y x

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∴EF⊥BC∴ EF ? 平面PBC ,又 EF?平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PBC;.???10 分 ( 3 ) 设 直 线 BD 与 平 面 PBC 所 成 角 为 ? 。 BD ? (?2, 2,0), EF ? (1,0,1) ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ? cos ? BD, EF ??

?2 1 1 ? ? ,又由(2)知 EF ? 平面PBC ,故 sin ? ? 。所 2 2 4 ? 4 ? 0? 1? 0 ?1

以,直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°。.????14 分 20.解: (Ⅰ)销售量 S (单位:束)的分布列为

S
P

200

300

400

0.20

0.35

0.45

所以 E ( S ) ? 325,-----------------------------------------------4 分 而 Y ? 3.4S ? 360 , 所以 E (Y ) ? 3.4E (S ) ? 360 ? 3.4 ? 325 ? 360 ? 745 。 --------------7 分 (Ⅱ)设进 n ( n ? 500 )束花,当 400 ? n ? 500 时,销售量 S (单位:束)的 分布列为

S
P

200

300

400 0.30

n
0.15

0.20

0.35

可得 E ( S ) ? 0.15n ? 265 。

Y ? 3.4S ? 0.9n , E(Y ) ? 3.4E (S ) ? 0.9n ? ?0.39n ? 901 ;
同理可对其它区间讨论后得

?2.5n(n ? 200) ?1.82n ? 136(200 ? n ? 300) ? ;-------------------------11 分 E (Y ) ? ? ?0.63n ? 493(300 ? n ? 400) ?? 0.39n ? 901 400 ? n ? 500) ( ?
易知, n ? 400 时, E (Y ) 取最大值 745 。------------------------------14 分

21.解: (1)设 P ? x, y ? ,则有

? x ? 1?
2

2

? y 2 ? x ? 1 ,化简得 y2 ? 4 x ?????6 分

(2)设 ? AB: y ? k ? x ?1? ,代入 y ? 4 x 得
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k 2 x 2 ? 2 ? k 2 ? 2 ? x ? k 2 ? 0 , xM ?
故M ?

xA ? xB k ? 2 2 ? , y ? k ? xM ? 1? ? , 2 k 2 k
2

? k2 2 ? , ? ??????10 分 2 ? k ?2 k ?
1 ,即得 N ? 2k 2 ? 1, ?2k ? 。 k

因为 AB ? CD ,所以将点 M 坐标中的 k 换成 ? 则 ? Mn: y ? 2k ?

故不论 k 为何值,直线 MN 必过定点 T ?3, 0 ? .??????15 分 22. (Ⅰ)x ? 0 时 y ? ? 2 x ?

2 ?2k ? k ? x ? 2k 2 ? 1? ,整理得 ?1 ? k 2 ? y ? k ? x ? 3? , 2 2k 2 ? 1 ? k k?2 2

1 4x 2 ? 1 1 1 1 ? , 易知 0 ? x ? 时 y ? ? 0 、x ? 时 y ? ? 0 ; 所以 x ? 2 2 2 2x 2x

时求 y ? f ( x) ? g ( x) 取最小值等于 0;--------------------4 分 (Ⅱ)由题Ⅰ易知, f ( ) ? g ( ) ? 所以可设 h( x ) ? kx ?

1 2

1 2

1 1 1 ,所以 h( ) ? ;--------------------------6 分 2 2 2

1 k ? ,代入 2 2 k 1 ? ?0 2 4

f ( x) ? h( x) 得 x 2 ? kx ?

恒成立,所以 ? ? (k ? 1) 2 ? 0 ,所以

k ? 1 , h( x) ? x ;--------------8 分
1 ln( 2ex ) ,则 2 1 1 G ?( x) ? 1 ? ,易知 G ( x) ? G ( ) ? 0 ,即 h( x) ? g ( x) 对一切 x ? 0 恒成立; 2x 2
此时设 G ( x) ? x ? 综上,存在 h( x) ? x 符合题目要求,它恰好是 y ? f ( x),y ? g ( x) 图象的公切线。 ------------------------------------------------------------------------------10 分 (Ⅲ)先证 ?an ? 递减且

1 ? a n ? 1( n ? 2) ; 2

由题(Ⅱ)知 g ( x ) ? x ,所以 an ? g (an?1 ) ? an?1 ,即 ?an ? 为递减数列; 又 a1 ? 1 , a 2 ?

1 1 1 1 1 ln 2 ? ? ,所以 a 3 ? g ( a 2 ) ? g ( ) ? ,? 2 2 2 2 2 1 1 1 因为当 a k ? 时总有 a k ?1 ? g ( a k ) ? g ( ) ? , 2 2 2
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所以
n

1 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? a1 ? 1 ;----------------------------13 分 2
n

所以

? (ak ? ak ?1 ) ? ak ?1 ? ? (ak ? ak ?1 ) ?
k ?1 k ?1

n a ? ak ?1 ak ? ak ?1 ?? k 2 2 k ?1 2

2

?

a1 ? an?1 ? 2
2 2

1?

1 4 ? 3 。-----------------------------------------------15 分 2 8

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