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抽象函数单调性奇偶性


1、已知 f ( x ) 的定义域为 R,且对任意实数 x,y 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ( x ) 是偶函数。 2 、已知 f(x) 是定义在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上的不恒为零的函数 , 且对定义域内的任意 x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断 f(x)的

奇偶性,并说明理由. 3、函数 f(x)对任意 x?y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时, f(x)<0. (1)判断并证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0, 且对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(
x? y ),试证明 1 ? xy
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(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减

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5、已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, b ? R, 都满足 :
f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .

(1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b ∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。 1 7、已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f ( m ? n) ? f ( m) ? f ( n) ? , 2 1 1 且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) >0. (1)求 f (1) ; (2) 判断函数 f ( x) 的单调性, 2 2 并证明. 8、函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x) >0;②对任
1 意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 . 3

(1)求 f (0) 的值;

(2)求证: f ( x) 在 R 上是单调减函数;

9、已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且 当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . (1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1 ; (2)证明: f ( x) 在 R 上单调递减;

10、 函数 f ( x) 对于 x>0 有意义, 且满足条件 f (2) ? 1, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f ( x)是 减 函数。 (1)证明: f (1) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立,求 x 的取值范围。 11、定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b ∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1) (2) 求证:f(0)=1; 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0;

(3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。
? R有 13 、 已 知 函 数 f ( x) , g ( x) 在 R 上 有 定 义 , 对 任 意 的 x, y

f ( x ? y ) ? f ( x) g ( y ) ? g ( x) f ( y )

且 f (1) ? 0

(1) 求证: f ( x) 为奇函数; (2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g (?1) 的值. 14、 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x, y 恒 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且 当 x > 0 ,
f ( x ) ? 0.又f (1) ? ?2.

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4. 15、定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a、b 都有

f(a+b)+ f(a-b)=2 f(a) ·f(b)成立,且 f (0 ) ?0。
(1)求 f(0)的值; (2)试判断 f(x)的奇偶性; 16、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: (1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (2)对于定义域内任意的实数 x, y ,均满足: f ? m ? n ? ? 试回答下列问题: (Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性;

f ? m? ? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

17、定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成 立,且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1) 应满足的条件;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n

参考答案
1、分析:在 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 中,令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0 令 x ? y ? ?1 ,得 f (1) ? f (?1) ? f (?1) ? f (?1) ? 0 于是 f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) 故 f ( x ) 是偶函数 2、解析:(1)∵f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), 令 x=y=1,有 f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令 x=y=-1,有 f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0. (2)∵f(x)对任意 x,y 都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), 令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将 f(-1)=0 代入,得 f(-x)=-f(x). ∴函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 3、解析:(1)令 x=y=0,f(0)=0, 令 x=-y,可得 f(-x)=-f(x), 设 x1?x2∈(-∞,+∞)且 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0 时,f(x)<0. ∴f(x1-x2)<0. 即 f(x1)-f(x2)<0. 由定义可知 f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数. (2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小. f(-3)=-f(3)=2. 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2. 4、思路分析:对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2), 判定 证明
x 2 ? x1 的范围是焦点 1 ? x1 x 2
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(1)由 f(x)+f(y)=f(

x? y )可令 x=y=0,得 f(0)=0, 1 ? xy

令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f(
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x?x )=f(0)=0 1? x2
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∴f(x)=-f(-x)

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∴f(x)为奇函数 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减
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令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴

x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1

又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<
x 2 ? x1 x ?x <1,由题意知 f( 2 1 )<0, 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2



f(x2)<f(x1)
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∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 ∴f(x)在(-1,1)上为减函数
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5、 (1)解:令 a ? b ? 0 ,则 f (0) ? 0 令 a ? b ? 1 ,则 f (1) ? 2 f (1) ? f (1) ? 0 (2)证明:令 a ? b ? ?1 ,则 f (1) ? 2 f (?1) ,∵ f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 令 a ? x, b ? ?1 ,则 f (? x) ? xf (?1) ? f ( x) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数。 6、解: (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ?0又 f ( ? x)

x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3

7、 (1)解:令 m ? n ?

1 1 1 1 1 1 ,则 f ( ? ) ? 2 f ( ) ? ? f (1) ? 2 2 2 2 2 2

(2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则
1 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 2 2 1 = f ( x2 ? x1 ? ) ? 0 2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调增函数. 8、(1)解: ∵对任意 x ? R ,有 f ( x) >0, ∴令 x ? 0, y ? 2 得, f (0) ? [ f (0)]2 ? f (0) ? 1 (2)任取任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则令 x1 ?
1 1 p1 , x2 ? p2 ,故 p1 ? p2 3 3

∵函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x) >0;②对
1 任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 3 1 1 1 p1 1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p2 ) ? [ f ( )] ? [ f ( )] p2 ? 0 3 3 3 3

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调减函数. 9、解: (1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 , ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? (2)证明: 任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则
f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 )
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 f ( x2 ? x1 ) ?1 <0,又∵ f ( x1 ) ? 0,

∴ [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x) 是 R 上的单调减函数. 10、(1)证明:令 x ? y ? 1 ,则 f (1?1) ? f (1) ? f (1) ,故 f (1) ? 0 (2)∵ f (2) ? 1 ,令 x ? y ? 2 ,则 f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 2 , ∴
f (4) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ?

f [ x( x ? 3)] ? f (4) ? f ( x2 ? 3x) ? f (4) ? x2 ? 3x ? 4 ? ?1 ? x ? 4
∴ f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立的 x 的取值范围是 ?1 ? x ? 3 。 11、解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ?0又 f ( ? x)

x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3 12、解: (1) 对 x ? R ,令 x=u-v 则有 (2) f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)g(u)f(v)]=-f(x) (2) f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1) } ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 13、解(1)取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) ? f (0) ? 0 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数. (2)任取 x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0

? f ( x2 ) ? ? f (? x1 ), 又 f ( x) 为奇函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数. ? 对任意 x ? [?3,3] ,恒有 f ( x) ? f (?3) 而 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 3 f (1) ? ?2 ? 3 ? ?6 ∴ f ( x) 在[-3,3]上的最大值为 6 ? f (?3) ? ? f (3) ? 6 (3)∵ f ( x) 为奇函数,∴整理原式得 f (ax2 ) ? f (?2x) ? f (ax) ? f (?2) 进一步可得 f (ax2 ? 2 x) ? f (ax ? 2) 而 f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数,? ax2 ? 2 x ? ax ? 2 ? (ax ? 2)(x ? 1) ? 0. ? 当 a ? 0 时, x ? (??,1) 当 a ? 2 时, x ? {x | x ? 1且x ? R} 2 当 a ? 0 时, x ?{x | ? x ? 1} a

当 0 ? a ? 2 时, x ? { x | x ? 或x ? 1} 当 a>2 时, x ? { x | x ? 或x ? 1} 14、解: (1)令 a=b=0 则 f(0)+ f(0)=2 f(0) ·f(0) 所以 2 f(0) ·[f(0)-1]=0 又因为 f (0 ) ?0,所以 f(0)=1 (2)令 a=0,b=x,则 f(x)+ f(-x)=2 f(0) ·f(x) 由 f(0)=1 可得 f(-x)= f(x) 所以 f(x)是 R 上的偶函数。 15、 解: (Ⅰ) 在f? m
n ?

2 a

2 a

??

f? m ?? f n? 1? f ? m f? n ?

? 中, 令 m ? 0, n ? 0 , 则有 f ? m ? ? f ? m ? ? f ? 0? . 即: 1 ? f ? m? f ? 0? ?

2 ? ? f ?m? ? ?1 ? f ? m ? f ? 0 ? ? ? ? f ? m ? ? f ? 0 ? .也即: f ? 0? ?? f ? m? ? ?1? ? 0 .
2 由于函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? ,所以, ?? f ? m ? ? ? 1? ? 0 ,所以 f ? 0? ? 0 . ? ?

(Ⅱ)函数 f ? x ? 的单调性必然涉及到 f ? x ? ? f ? y ? ,于是,由已知

f ? m ? n? ?
(*)

f ? m? ? f ? n ? f ? m? ? f ? n ? ,我们可以联想到:是否有 f ? m ? n ? ? ? 1 ? f ? m? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

这个问题实际上是: f ? ?n ? ? ? f ? n ? 是否成立?

为此,我们首先考虑函数 f ? x ? 的奇偶性,也即 f ? ? x ? 与f ? x ? 的关系.由于

f ? 0? ? 0 , 所 以 , 在 f f

?

m ?

? ?n

f? m ? ? ? f ? n中 , 令 n ? ?m , 得 1? f ? m ? ?f ? n

? m ?? ?f ? ?

m 0 ?.所以,函数 f ? x ? 为奇函数.故(*)式成立.所以,

f ? m? ? f ? n n? f m n. 任取 x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 , ? ? f? m? ? ? ?f ?? ?1 ? ? ?



f ? x2 ? x1 ? ? 0



?1 ? f ? x2 ? , f ? x1 ? ? 1









f ? x2 ? ? f ? x ? ? f 1 ?x ? x ?? ?1 ?2 f ? x

f1 ?f1 ? x ?? ? x? 在 2 ? ? 0 ,所以,函数

R 上单调递

减. 16、解:(1)由已知对于任意x∈R,y∈R,f(x+y)=f(x)+ f(y)恒成立 令x=y=0,得f(0+0)= f(0)+ f(0) ,∴f(0)=0 令x=-y,得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x,都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是 奇函数. (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,由已知f(x2-x1)<0(1) 又f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f(x2)- f(x1) (2) 由(1) (2)得f(x1)>f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-∞,+∞)上是减 函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3).要使f(x)≤6恒成立,当且仅当f(-3)≤6, 又∵f(-3)= - f(3)= - f(2+1)=-[ f(2)+ f(1)]= -[ f(1)+ f(1) + f(1)]= -3 f(1) , ∴f(1)≥-2. 1 1 (3) f(ax2)- f(x)> f(a2x)- f(a)
n n

? f(ax2)- f(a2x)>n[f(x)- f(a)] ? f(ax2-a2x)>nf(x-a) (10分)
由已知得:f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax2-a2x)>f[n(x-a)] ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 ∴ax2-a2x<n(x-a).即(x-a) (ax-n)<0, ∵a<0, ∴(x-a) (xn )>0, (11分) a

n <0,即a<- n 时, a n 原不等式解集为{x | x> 或x<a}; a n (2)当a= <0即a=- n 时,原不等式的解集为φ ; a n (3)当 <a<0时,即- n <a<0时, a n 原不等式的解集为{x | x>a或x< } a

讨论: (1)当a<


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f (6 x ) 2 探究二:抽象函数单调性奇偶性问题 抽象函数的具体模型 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) f ( x ? y ) ? f ( x) f ...

9运用函数的单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—教师版

教学内容概要高中数学备课组 日期: 教师: 上课时间: 年级:高三 学生: 主课题:运用函数的单调性与奇偶性抽象函数不等式 教学目标: 1、函数单调性的定义与逆用...

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