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2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题03 导数(解析版)


一.基础题组 1.【广东省汕头市金山中学 2014 届高三摸底考试(理) 】若函数 f ? x ? 的导函数
f ??x ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则函数 f ?1 ? x ? 的单调减区间是
.

2. 【广东省中山二中 2014 届高三第一次月考 (理)函数 f ? x ? 满足 f ?0 ? ? 0 , 】 其导函数 f ?? x ?
的图象如下图,则 f ? x ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( A. ) D.

1 3

B.

4 3

C.2

8 3

【答案】B 【解析】 试题分析: 由题意知 f ? ? x ? ? 2 x ? 2 , 由于 f ? 0 ? ? 0 , 所以 f ? x ? ? x ? 2 x , f ? x ? ? 0 , 令
2

解得 x ? 0 或 x ? ?2 ,故函数 f ? x ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为

S?

? ?x
0 ?2

2

?1 ? ? 2 x ? dx ? ? x 3 ? x 2 ? ?3 ?

0 ?2

?

4 ,故选 B. 3

考点:1.导数;2.定积分

3.【广东省惠州市 2014 届高三年级第一次调研考试(理) 】一物体在力

0 ? x ? 2, ?5, F ( x) ? ? (单位: N )的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x ? 0 处运动到 ?3x ? 4, x ? 2

x ? 4 (单位: m )处,则力 F ( x) 做的功为

焦.

二.能力题组 1.【广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试(理) P 为曲线 C : y ? x 2 ? 2 x ? 3 上 】设
的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ( )

? ?? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? 4? ?

A. ? ?1, ? ? 2

? ?

1? ?

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

【答案】A 【解析】 试题分析:设 P( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 0 ? tan ? ? 1 , f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , f'(x)=2x+2 ,
2

0 ? 2 x0 ? 2 ? 1, ?1 ? x0 ? ?

1 ,故选 A 2

考点:1.导数的几何含义;2.倾斜角.

2.【广东省汕头四中 2014 届高三上学期第一次月考(理) 】从如图所示的正方形 OABC 区域
内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为( A. )

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

2 2.【广东省汕头四中 2014 届高三上学期第一次月考(理) 】已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ,

g ( x) ? ax ? 2

? a ? 0 ? ,若 ?x1 ?[?1, 2] , ?x2 ? [?1, 2] ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取值范围是
( A. (0, ] 【答案】D 【解析】 试题分析:由函数 f ( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ,当 x ?[?1, 2] 时, f ( x)min ? f (1) ? ?1 ,
2 2



1 2

B. [ ,3]

1 2

C. (0,3]

D. [3, ??)

3 3.【广东省惠州市 2014 届高三年级第一次调研考试(理) 】已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,

若过点 A ? 0,16 ? 且 与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程为 y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是( A. ?3 B. 3 C.6 D.9 )

1 4.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月第一次摸底考试(理) 】直线 y ? ? x ? b 是函数 4 1 f ( x) ? 的切线,则 x
实数 b ? 【答案】 1或-1 【解析】 .

5.【广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试(理) 】若过点 (2, 0) 的直线与曲线
y ? x3 和 y ? ax 2 ? 7 x ? 4 都相切,则 a 的值为
A.2 或 ? D. ( ) C.2

49 16

B.3 或

5 16

5 16

6.【广东省深圳市高级中学 2014 届高三第一次月考(理) 】设直线 x ? t 与函数
f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最小时 t 的值为(
A.1 B. )

1 2

C.

5 2

D.

2 2

三.拔高题组 1. 【广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试 (理) 已知函数 f ( x) ? a x 2 ? bx ? 1 在 x ? 3 】
处的切线方程为 y ? 5x ? 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值; (3) 数列 ? an? 满足 2a1 ? f (2) ,an ?1 ? f (an ), n ? N , S ? 求
?

1 1 1 ? ? ?????? a1 a2 a3

1 a2013



整数部分.

2.【广东省汕头四中 2014 届高三上学期第一次月考(理) 】已知函数
1 1 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2
(1) 设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A, 曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 , a, b 求 的值; (2)若函数 g ( x) ? e
? ax

? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.

(ⅰ)当

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a
(??,0)
0 0 极小值

x
g '( x) g ( x)

(0,
+

2 ? a2 ) a

2 ? a2 a
0 极大值

(
-

2 ? a2 , ??) a

?

?

?

g ( x) 的单调递增区间为 (0,

2 ? a2 2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??,0) , ( , ??) ;……11 分 a a

(ⅱ)当

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x 2e?2 x ? 0 , 故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递 a

减;……12 分

3.【广东省韶关市 2014 届高三摸底考试(理) 】已知函数 f ( x ) ? ln x ,
g ( x) ? 1 2 ax ? bx (a ? 0) . 2

(1)若 a ? ?2 , 函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数 ?(x)=e2x +bex ,x∈[0,ln2],求函数?(x)的最小值; (3) 设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于点 P、Q , 过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、N , 问是否存在点 R , C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处 使 的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

∴当 ?

b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 2 时,函数 y 在 [1, 2] 上为增函数. 2

当 t ? 1时, ymin ? b ? 1 ;…………………………………………………………6 分

a 2 a ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) 2 2
? y2 ? y1
? ln x2 ? ln x1 ? ln x2 , x1

4.【广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检(理) P 是曲线 C1 上的任一点, Q 是 】设
曲线 C2 上的任一点,称 PQ 的最小值为曲线 C1 与曲线 C2 的距离. (1)求曲线 C1 : y ? e 与直线 C2 : y ? x ? 1 的距离;
x

(2)设曲线 C1 : y ? e 与直线 C3 : y ? x ? m ( m ? R,m ? 0 )的距离为 d1 ,直线
x

C2 : y ? x ? 1 与直线 C3 : y ? x ? m 的距离为 d 2 ,求 d1 ? d2 的最小值.
【答案】 (1) 2 ; (2) 2 . 【解析】 试题分析: (1)曲线 C1 上任意一点点 P ( x, e ) 到 y ? x ? 1 的距离为
x

d?

x ? ex ?1 2

?

ex ? x ? 1 2

,用求导的方法判断最小值; (2)根据题意,

d1 ? d 2 ?

| m ? 1| | m ? 1| 1 2 ? ? 应用基本不等式求出最小 ?| m ? 1| ? | m ? 1|? ? ? 2 , 2 2 2 2

5.【广东省十校 2014 届高三第一次联考(理) 】已知函数
f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? x2 ? x 2 ? 2ax(a ? R) 3

(1)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?

(1 ? x)3 b 1 ? 有实根,求实数 b 的最大值. 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x 2

∴ f ?( x) ?

x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] ≥ 0 在区间 [3, ??) 上恒成立. 2ax ? 1

……5 分

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ≥ 0 在 [3, ??) 上恒成立, 所以 f ( x) 在 [3, ??) 上为增函数, 故 a ? 0 符合题意. ……6 分

②当 a ? 0 时,由函数 f ( x) 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能

a ? 0,
所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ≥ 0 在区间 [3, ??) 上恒成立. 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ,其对称轴为 1 ? ∵ a ? 0 ,∴ 1 ?
1 4a

……7 分 ……8 分

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a

1? x 6.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月第一次摸底考试(理) 】已知函数 f ( x) ? ? ln x ax 1 2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2 x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根,求实数 e

1 2

?1 ?

? ?

m 的取值范围.
【答案】 (1)0; (2) a ? 2 ; (3) {m | 【解析】 试题分析: (1)对函数求导,求出给定区间上唯一的极小值就是最小值; (2)求导,求出函 数的增区间即可; (3)将方程的根转化为两函数图象交点来处理,体现了数学转化思想. 试题解析: (1)当 a ? 1 f ( x) ?

1 e?3 ? ln 2 ? m ? }. 2 2

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 , f '( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x

于是,当 x 在 [ , 2] 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 2

x

1 2



1 ,1) 2

1

(1,2)

2

f '( x)
f ( x)
1 ? ln 2

- 单调递减

0 极小值 0

+ 单调递增

ln 2 ?

1 2

由上表可得,当 x ? 1 时函数 f ( x) 取得最小值 0.

考察函数 g ( x) ? 增函数

?1 1 ? ?1 ? 1? x 1 1 2x ?1 ,在 ? , ? 为减函数,在 ? , e ? 为 ? ln x , g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 2x 2x x 2x ?e 2? ?2 ?

1? e 1? e 1? e ? ln e ? ?1 ? ?0 2e 2e 2e 1 1? 1 2 ? ln 1 ? 1 ? ln 2 ? 0 g( ) ? 1 2 2 2 2? 2 g (e) ?

7.【广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试(理) 】已知函数
f ( x) ? 1 ? ln x (0 ? x ? 2) . 2? x

(1)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (2)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ?N* ,求 S 2013 ; n
a m

* (3)在(2)的条件下,令 Sn ? 1 ? 2an ,若不等式 2 n ? (an ) ? 1 对 ?n ? N 且 n ? 2 恒成

立,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1)存在,且点 M 的坐标为 ?1,1? ; (2) S2013 ? 4025 ; (3) m 的取值范围是

(?

3ln 2 , ??) . ln 3

【解析】 试题分析: (1)先假设点 M 的坐标,根据图象对称的定义列式求出点 M 的坐标即可; (2) 利用(1)中条件 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 2 的条件,并注意到定义

(2)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2(0 ? x ? 2) .

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ???, 2n ? 1) . n n n 1 2 2 1 因为 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 Sn ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ??? ? f ( ) ? f ( ) ②, n n n n
令x? 由①+②得 2Sn ? 2(2n ? 1) ,所以 Sn ? 2n ? 1(n ? N ) .
*

所以 S2013 ? 2 ? 2013 ? 1 ? 4025 .

考点:函数的对称性、倒序相加法、导数

8.【广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一(理) g ( x) ? e x , 】设
f ( x) ? g[?x ? (1 ? ?)a ] ? ?g ( x) ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .
(1)求函数 f ( x) 的极值;

ex ?1 ? 1 ? a 成立; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 x
(3)设 ?1 , ?2 ? R + ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有: a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ? 2 a2 .
? ?

【答案】 (1)当 x ? a 时, f ( x) 取极大值,但 f ( x) 没有极小值; (2)详见解析; (3)详见 解析.

由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a ] ? g ?( x) , ∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a ) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x) 取极大值,但 f ( x) 没有极小值.-----------------4 分

(2)∵

ex ?1 ex ? x ?1 x ?1 ? ,又当 x ? 0 时,令 h( x) ? e ? x ? 1 ,则 x x

h?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,
故 h( x) ? h(0) ? 0 ,因此原不等式化为
x

ex ? x ?1 ? a ,即 e x ? (1 ? a ) x ? 1 ? 0 , x
x

令 g ( x) ? e ? (1 ? a ) x ? 1 ,则 g ?( x) ? e ? (1 ? a ) , 由 g ?( x) ? 0 得: e x ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a ) , 当 0 ? x ? ln(1 ? a ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a ) 时, g ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a ) 时, g ( x) 取最小值 g[ln(1 ? a )] ? a ? (1 ? a ) ln(1 ? a ) ,----8 分 令 s(a) ?

1 1 a a ? ?? ?0. ? ln(1 ? a), a ? 0 ,则 s?(a ) ? 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2

故 s (a ) ? s (0) ? 0 ,即 g[ln(1 ? a )] ? a ? (1 ? a ) ln(1 ? a ) ? 0 .

9.【广东省深圳市高级中学 2014 届高三第一次月考(理) f ?x ? ? 】设

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ? x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ? x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的 值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a ) 【答案】 (1) f ? x ? ? 【解析】 试题分析: (1)先求出函数 g ? x ? 的解析式,再由函数 g ? x ? 在 x ? ?2 处取得最小值这个条 件转化为两点:

1 3 (2) m ? 2 , n ? 3 或 m ? 3 , n ? 5 . x ? 3x 2 ? 2 x ; 3

g ? ? ?2 ? ? 0 和 g ? ?2 ? ? ?5 ,列方程组求解 m 、n 的值,从而求出函数 f ? x ? 的解析式; (2)
利用导数并结合韦达定理将函数 f ? x ? 的单调递减区间长度用 m 、n 表示, 然后根据题中条 件求出正整数 m 、 n 的值. 试题解析: (1)已知 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx ,? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n 3

10. 【广东省深圳市高级中学 2014 届高三第一次月考 (理)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . 】
(1)讨论函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)已知 x1 ? 明: x2 ? e 2 .
3

e (e ? 2.71828L ) 和 x2 是函数 f ( x) 的两个不同的零点,求 a 的值并证

在区间 ? 0,

? ?

1? ? 上, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是增函数, a?

由(1)函数 f ? x ? 在 2 e , ?? 递减,故函数 f ? x ? 在区间 ? e 2 , e 2 ? 有唯一零点,因此

?

?

? ?

3

5

? ?

x2 ? e 2 .
考点:1.函数的单调区间与极值;2.函数的零点

3

11.【广东省揭阳一中2014届高三摸底考试(理) 】已知函数
f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3

(1)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? ?

1 2

1? x? 3

3

?

b 有实根,求实数 b 的最大值. x

【答案】 (1) a ? 0 ; (2)实数 a 的取值范围是 ? 0, 【解析】

? 3 ? 13 ? (3) b 的最大值为 0 . ?; 4 ? ?

因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2 ? ? 0 , 即

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 , 4a ? 1

又当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? x ? x ? 2 ? ,从而 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点成立; (2)因为 f ? x ? 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ?

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ? 2ax ? 1

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立.

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? x ? x ? 2 ? ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上增函数, 故 a ? 0 符合题意. ②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能

a ? 0,
所以 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? 4a ? 2 ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,
2 2

?

?

令 g ? x ? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? 4a ? 2 ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

?

?

1 , 4a

因为 a ? 0 所以 1 ?

1 ? 1 ,从而 g ? x ? ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,只要 g ? 3? ? 0 即可, 4a
3 ? 13 3 ? 13 ?a? , 4 4

因为 g ? 3? ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,解得
2

12.【广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期摸底考试(理) 】已知函数 3 2 f ?x ? ? x ? ax ? bx .
(1)若函数 y ? f ?x ? 在 x ? 2 处有极值 ? 6 ,求 y ? f ?x ? 的单调递增区间; (2)若 y ? f ?x ? 的导数 f ?? x ? 对 x ? ?? 1,1? 都有 f ??x ? ? 2 ,求

b 的取值范围. a ?1

【答案】 (1)函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ? ? 和 ? 2, ?? ? ; (2)

? ?

1? 3?

b 的取值范围是 a ?1

? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ?
【解析】 试题分析: (1) 利用函数 y ? f ? x ? 在 x ? 2 处取得极值 ?6 转化为 f ? ? 2 ? ? 0 和 f ? 2 ? ? ?6 , 求出 a 、 b 的值,再利用导数求出函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)利用导数以及题中条件

?Q(0, ?1) b 设z ? ,则 z 表示平面区域内的点 (a, b) 与点 P(1,0) 连线的斜率 a ?1 ? k PQ ? 1 由图可知 z ? 1或z ? ?2

…12’

?

b ? ?? ?,?2? ? ?1,?? ? a ?1

…14’

考点:1.函数的极值;2.函数的单调区间;3.线性规划

13.【广东省中山二中 2014 届高三第一次月考(理) 】已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c
在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 . (1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3)若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、n 应 满足的条件.


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