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4-4极坐标及参数方程知识点及高考题汇编


1. 极坐标及参数方程知识点
1. 伸缩变换: 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ?

的作用下,点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简 称伸缩变换。 2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极 轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表 示;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5. 极坐标与直角坐标的互化:

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), ?y? ? ? ? y, (? ? 0).

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

7.在极坐标系中,? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是

?cos? ? a .
8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这 t 的函数 ? ? y ? g (t ), 条曲线上, 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,
简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ?
2 2 2

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ?
2

? x ? 2 pt2 , (t为参数) . ? y ? 2 pt.

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

? x ? x o ? tcos ? , (t 为 ? y ? y o ? tsin? .

参数). 10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.

坐标系与参数方程选讲
A 的极坐标为 ? 2, 1(坐标系与参数方程选做题)设点 .


? ?

??

? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角 6?

? ,则直线 l 的极坐标 方程为 ... 3



2



? sin ?

?? ? ?? ? ? 1 ?3 ?



? cos ?

?? ? ?? ? ? 1 ?6 ?



? sin ?? ?

? ?

4? 3

? ? ?1 ?



3? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0
3. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标方程分别为 ? ? 4cos? 和 ? ? ?8sin ? 的两个圆的圆心距为 4. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ? 数) ,圆 C 的极坐标方程为 交 5. 圆 C: ? .

2 5



? x ? 2t , ( t 为参 y ? 1 ? 4 t ?


? ? 2 2 sin ? , 则 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系 为

? x ? 1 ? cos?, ? y ? sin ?,

( ? 为参数)的普通方程为

? x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,设 O 为坐

标原点,点 M ( x0,y0 ) 在 C 上运动,点 P( x,y ) 是线段 OM 的中点,则点 P 的轨迹方程为

(2 x ?1)2 ? 4 y 2 ? 1



6. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 2 上 的 点 到 直 线

? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 1 .
7. (坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点 (1,1) 为圆心, 1 为半径的圆的方程是

?

?

? ? 2cos ?? ?1?
8.(坐标系与参数方程选做题)

曲线 ?

? x ? sin ? (? 为参数)与直线 y ? a 有两个公共点, 2 ? y ? sin ?

则实数 a 的取值范围是_ (0,1] _.

9. ( 坐 标 系与 参 数方 程选 做 题 ) 已知 直 线 的极坐 标 方 程 为

? 2 ,则点 ? sin(? ? ) ?
4 2

A (2,

7? 2 ) 到这条直线的距离为____ ____ 4 2

? 10 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 点 M (2, ) 到 直 线 3

? 2 的距离为 l : ? sin(? ? ) ? 4 2

6 2

.
? ? x ? 5 cos ? (0≤?<? ) 和 y ? sin ? ? ?

11.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

5 2 ? ?x ? t 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ?y ? t

.

[来源:Zxxk.C

? x ? 8t 2 , 12.已知抛物线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数)若斜率为 1 的 ? y ? 8t .
2 2 直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆 ? x ? 4 ? ? y ? r (r ? 0) 相切, 2

则 r =_ 2 _. 13. 自 极 点 O 向 直 线 l 作 垂 线 , 垂 足 是 H( ( 2,

? ?cos (? ? ) ? 2 。
3

? ),则直线 l 的极坐标方程为 3

14.(坐标系与参数方程选做题) 圆的半径为1,圆心的极坐标为(1,0) ,则圆的极坐标方程是__ρ =2cosθ _。


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