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高考函数 压轴题


函数专题训练
复习目标:通过对函数综合题的分类,使学生在解函数题中牢固掌握:反函数的求法 及其与原函数的关系的应用、函数的单调性、函数的奇偶性、求函数的定义域与值域 常用方法、函数的解析式求法、二次函数的根的分布情况的充要条件运用、函数中的 新题型的新解法、函数与方程的思想方法等。 重点与难点: 反函数、值域、单调性、奇偶性、求解析式、分段函数、根的

/>分布、函数与方程思想方法、函数图象等
过程: 一、反函数 ●有奖征解 ① 若函数 f(x)的图像过点(0,1) ,则函数 f(x+2)的反函数过定点(1,-2) ② 若函数 f(x)的图像过(0,1) ,则 f (4 ? x) 过点(-1,0) ; ③若函数 f(x)的图像过点(0,1) ,则 f(4-x)的反函数过点(1,4) ,y=f(4-x)的反函数为
?1

y ? 4? f

?1

( x) 。

●例子分析

1 ? 2x ?1 ,函数 y=g(x)的图像与 f ( x ? 1) 的图像关于直线 y=x 对 1? x 2? x 称,则 g(x)的解析式为 y ? 。 x ?1 x ?1 ? 1? ②给定实数 a,a≠0,且 a≠1,设函数 y ? ? x ? R, x ? ? ,证明这个函数图关于 ax ? 1 ? a?
例 1①已知函数 f ? x ? ? y=x 对称。

2x ? 1 ① 已知函数 f ? x ? ? 存在反函数,求 α 的取值。 ≠1/2) (α x?a
说明:④小题可以据③小题去求,但也可以据通常方法去求。 二、周期性、循环 ● 有奖征解 设 x 为整数,给出一个流程图如右图: 按此流程图计算,刚好处理 3 次 ,则输入 的 x 值是

开始

输入 x 与 y 值

用 2 与 x+3 的几何 平均值代替 y

不是
终了 表示出 x

y 是否大于是 x 是
用 x+1 代 x

例 1(2004 年福建省高考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5] 时,f(x)=2-|x-4|,则(D)

? ? )<f(cos ) 6 6 2? 2? (C)f(cos )<f(sin ) 3 3
(A)f(sin

(B)f(sin1)>f(cos1) (D)f(cos2)>f(sin2)

例 2 f(x)定义域为( -∞,+∞ )上以 2 为周期的函数,对 k∈Z,用 Ik 表示区间 ?2k ? 1,2k ? 1?,已知当 x∈I0 时,f(x)=x2, ① 求 f(x)在 Ik 上的解析式; ② 对自然数 k,求集合 Mk={a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不同的实根}。 【解】①显然 I0 为 ?? 1,1? ,作出 x∈I0 的图象,又 I0 的长度为 2,f(x)的周期为 2,故在 Ik 上的图象相当于把 I0 的图象向右(左)平移|2k|个单位, 如图,k 上的图象顶点为 I (2k,0) , 2 ∴f(x)=(x-2k) ,x∈ ?2k ? 1,2k ? 1?. ②方程 f(x)=ax 即(x-2k)2=ax 在 ?2k ? 1,2k ? 1? y 上有两个不同的实根,又 k∈N, 则只须 0<a≤kOA(A 为 ?2k ? 1,2k ? 1?图象上的右端点。 ∴0<a≤

1 (k∈N). 2k ? 1

O

2k-1 2k

2k+1

x

2x 【例 2】定义在 R 上的奇函数有最小正周期 2,且 ∈(0,1)时,f(x)= x . 4 ?1
① 求 f(x)在[-1,1]上的解析式 ② 证明 f(x)在(0,1)上为减函数 ③ 当 m 取何值时,方程 f(x)=m 在[-1,1]是有解。 【解】令 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),

2?x 2x ? f ?x ? ? ? x ∴f(x)=-f(-x)= ? ? x ; 4 ?1 4 ?1
又 f(-0)=-f(0),∴f(0)=0 又 f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=f(-1)=0,(这里应用周期性)

? 2x ? x ? 4 ?1 2x ? ∴ f ?x ? ? ?? x ? 4 ?1 ?0 ? ?

x ? ?0,1? x ? (?1,0) x ? ?? 1,0,1?
(2 x1x2 ? 1)( 2 x2 ? 2 x1 ) ?0 4x ?1 4x ?1

②证明:设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f(x1)-f(x2)=…=

?

??

?

∴f(x)在(0,1)上为减函数。 ③由②知 f(x)在(-1,0)也为减函数。 当 x∈(0,1)j 时,f(x)∈(2/5,1/2),

当 x∈(-1,0)时,f(x)∈(-1/2,-2/5) 当 x=±1,0 时,f(x)=0 ∴当 m∈(-1/2,-2/5)∪(2/5,1/2)∪{0}时,f(x)=m 在[-1,1]上有解。
三、奇偶性(对称性) 【例 4】设曲线 C 的方程为 y ? x ? x ,将 C 沿 x 轴、y 轴正方向分别平移 t,s 单位后得 曲线 C1, ① 写出 C1 的方程; ② 证明 C 与 C1 关于 A(t/2,s/2)对称;
3

③ 如果曲线 C 与 C1 有仅有一个公共点,证明 s ? 【解】①C1 的方程为 y ? ? x ? t ? ? ?x ? t ? ? s
3

t3 ? t 且 t≠0. 4

②设曲线 C 上任取一点 B1 1,y1),设 B2 为 B1 关于点 A 的对称点, (x 则有

x1 ? x 2 t ? , 2 2

y1 ? y 2 s 3 ? ,即 x1 ? t ? x2 , y1 ? s ? y 2 代入 C 可得 y 2 ? ?x 2 ? t ? ? ?x 2 ? t ? ? s ,可 2 2
知点 B2 也在曲线 C1 上,同理可证在曲线 C1 上的点关于 A 的对称的点在曲线 C 上。 ∴C1 与 C 关于点 A 对称。 ③由 ?

? y ? ?x ? t ? ? ?x ? t ? ? s 2 3tx ? 3t 2 x ? t 3 ? t ? 3 ? 0 有仅有一个根∴t≠0 且△=0,由△=0 可得
3

? y ? x3 ? x

有仅有一解,消去 y 并整理可得

9t ? 12t ?t ? ? t ? 3 ? 0 ? t t 3 ? 4t ? 4s ? 0 ? 0 ,
4

?

?

?

?

∴s ?

t ? t 且 t≠0. 4

3

四、定义域、值域
●函数值域及求法 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌 握求值域的各种方法,并会用函数的值域解决实际应用问题. ●有奖征解 1 1.设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ ). m ?1 (1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有 意义,则 m∈M. (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值. (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1.

?( x ? 1) 2 , x ? 1 ? 2. (2004 年全国人教版高考) 设函数 f ( x ) ? ? , 则使得 f ( x ) ? 1 的 ?4 ? x ? 1, x ? 1 ? 自变量 x 的取值范围为( ) A 、 ?? ?,?2? ? ?0,10? B 、 ?? ?,?2? ? ?0,1? C 、 ?? ?,?2? ? ?1,10? D、 ?? 2,0? ? ?1,10?

3.(2004 江苏高考) 记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A, x ?1

g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. (1) 求 A; (2) 若 B ? A, 求实数 a 的取值范围. 【解】(1)2-

x?3 x ?1 ≥0, 得 ≥0, x<-1 或 x≥1 x ?1 x ?1

即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1, 即 a≥ ∴

1 或 a≤-2, 而 a<1, 2

1 ≤a<1 或 a≤-2, 故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是 2 1 (-∞,-2]∪[ ,1) 2
解答 (1)证明:先将 f(x)变形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+ 当 m∈M 时,m>1,∴(x-m)2+m+

1 ], m ?1

1 >0 恒成立,故 f(x)的定义域为 R. m ?1 1 反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义,则只须 x2-4mx+4m2+m+ >0,令Δ <0, m ?1 1 即 16m2-4(4m2+m+ )<0,解得 m>1,故 m∈M. m ?1 1 (2)解析:设 u=x2-4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u 是增函数,∴当 u 最小时,f(x) m ?1 1 1 最小.?而 u=(x-2m)2+m+ ,显然,当 x=m 时,u 取最小值为 m+ ,此时 m ?1 m ?1 1 f(2m)=log3(m+ )为最小值. m ?1 1 1 (3)证明: m∈M 时, 当 m+ =(m-1)+ +1≥3,当且仅当 m=2 时等号成立. m ?1 m ?1 1 ∴log3(m+ )≥log33=1. m ?1 ? 1, x ? 0, 3. (2004 年浙江)已知 f(x)= ? ,则不等式 x+(x+2)?f(x+2)≤5 的解集是 ??1, x ? 0,

3 2 4. (2004 年四川高考)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
__________. (??, ]

(i)求函数 f(x)的最大值; (ii)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g( a ? b )<(b-a)ln2.
2

● 例子分析 [例 1] 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1), 画面的上、下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺 2 3 寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ ∈[ , ] ,那么λ 为何值时, 3 4 能使宣传画所用纸张面积最小? 命题意图:本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题,同时考查运用所 学知识解决实际问题的能力. 知识依托:主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识. 2 3 错解分析:证明 S(λ )在区间[ , ]上的单调性容易出错,其次不易把应用问题 3 4 转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法:本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的 最值问题来解决. 解:设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16)(λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x+160,将 x=

22 10

? 5 4840 5 5 5 当8 ? = ,即λ = ( <1)时 S 取得最小值.此时高:x= =88 cm,宽:λ x= ? ? 8 8 8 ?
88=55 cm.

?

代入上式得:S=5000+44 10 (8 ? +

5

),

2 3 2 3 如果λ ∈[ , ]可设 ≤λ 1<λ 2≤ ,则由 S 的表达式得: 3 4 3 4 5 5 S (?1 ) ? S (? 2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 8 ?2 ? )

?1

?2

? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ?
又 ?1?2 ≥

5

?1?2

)

5 2 5 >0, ? ,故 8- 3 8 ?1?2

2 3 ∴S(λ 1)-S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间[ , ]内单调递增.? 3 4 2 3 2 从而对于λ ∈[ , ],当λ = 时,S(λ )取得最小值. 3 3 4

2 3 答:画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时,所用纸张面积最小.如果要求λ ∈[ , ], 3 4 2 当λ = 时,所用纸张面积最小. 3

[例 2]已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

1 时,求函数 f(x)的最小值. 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 命题意图:本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析 能力以及运算能力. 知识依托: 本题主要通过求 f(x)的最值问题来求 a 的取值范围, 体现了转化的思想 与分类讨论的思想. 错解分析:考生不易考虑把求 a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法:解法一运用转化思想把 f(x)>0 转化为关于 x 的二次不等式;解法二 运用分类讨论思想解得. 1 1 (1)解:当 a= 时,f(x)=x+ +2 2 2x ∵f(x)在区间[1,+∞ ) 上为增函数, 7 ∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= . 2 2 x ? 2x ? a (2)解法一:在区间[1,+∞ ) 上,f(x)= >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成 x 立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ) ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3.? a 解法二:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞ ) x 当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正; 当 a<0 时,函数 f(x)递增,故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3. ●所涉及的问题及解决的方法主要有: (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法:配方法、分离变量法、单调性法、图 象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的 题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力. 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强. (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决.此类题要 求考生具有较强的分析能力和数学建模能力. ●难点训练 一、选择题

1 1 (x≤- )的值域是( ) 2 x 7 7 3 33 2 A.(-∞,- ] B.[- ,+∞ ) C.[ ,+∞ ) D.(-∞,- 3 2 ] 2 4 4 2 2.函数 y=x+ 1 ? 2 x 的值域是( ) A.(-∞,1 ] B.(-∞,-1 ] C.R D.[1,+∞ ) 二、填空题 3.一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 V 2 400 千米,为了安全,两列货车间距离不得小于( ) 千米 ,那么这批物资全部运到 20 B 市,最快需要_________小时(不计货车的车身长). 4.设 x1、x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_________时,x12+x22 有最 小值_________. 三、解答题 5.某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时直接消耗 成本要增加 2500 元,市场对此商品年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R(x)=5x- 1 2 x (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台) 2 (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 6.已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1] (1)若 f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围. 7.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台.已知生产家电 产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 空调器 彩电 冰箱 1 1 1 工时 2 3 4 4 3 2 产值(千元) 问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以千元为单位) 8.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两 BC ? CA 个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,△ABC 的内切圆面积为 S2,记 =x. AB S (1)求函数 f(x)= 1 的解析式并求 f(x)的定义域. S2 (2)求函数 f(x)的最小值.
1.函数 y=x2+

参考答案

一、1.解析:∵m1=x2 在(-∞,- ∴y=x2+

1 1 1 )上是减函数,m2= 在(-∞,- )上是减函数, 2 2 x

1 1 在 x∈(-∞,- )上为减函数, 2 x 1 7 2 1 ∴y=x + (x≤- )的值域为[- ,+∞ ) . 2 4 x 答案:B 1? t2 2.解析:令 1 ? 2 x =t(t≥0),则 x= . 2 1 1? t2 ∵y= +t=- (t-1)2+1≤1 2 2 ∴值域为(-∞,1 ] . 答案:A 400 V 2 400 16V 二、3.解析:t= +16?( ) /V= + ≥2 16 =8. V V 20 400 答案:8 m?2 4. 解 析 : 由 韦 达 定 理 知 : x1+x2=m,x1x2= , ∴ x12+x22=(x1+x2)2 - 2x1x2=m2 - 4 m?2 1 17 1 17 =(m- )2- ,又 x1,x2 为实根, ∴Δ ≥0.∴m≤-1 或 m≥2, y=(m- )2- 在 2 4 4 16 16 1 区间(-∞,1)上是减函数,在[2,+∞ ) 上是增函数又抛物线 y 开口向上且以 m= 为 4 对称轴.故 m=1 时, 1 ymin= . 2 1 答案:-1 2 三、5.解:(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x) ?之差,由题意,当 x≤5 时,产品能全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,所以 1 2 ? ?5 x ? 2 x ? (0.5 ? 0.25 x)(0 ? x ? 5) ? y?? ?(5 ? 5 ? 1 ? 5 2 ) ? (0.5 ? 0.25 x)( x ? 5) ? 2 ? 1 2 ? ?4.75 x ? x ? 0.5(0 ? x ? 5) ?? 2 ?12 ? 0.25 x ( x ? 1) ? 1 b (2) 0≤x≤5 时, 在 y=- x2+4.75x-0.5,当 x=- =4.75(百台) ymax=10.78125(万 时, 2 2a 元) ,当 x>5(百台)时,y<12-0.25?5=10.75(万元) ,? 所以当生产 475 台时,利润最大.?

?0 ? x ? 5 ?x ? 5 ? (3)要使企业不亏本,即要求 ? 1 2 或? ? 2 x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ?12 ? 0.25x ? 0 ?
解得 5≥x≥4.75- 21.5625 ≈0.1(百台)或 5<x<48(百台)时,即企业年产量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本. 6.解:(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立,当 a2-1≠0 时,其 ?a ? 1或a ? ?1 ?a 2 ? 1 ? 0 ? ? 充要条件是 ? , ,即? 5 2 2 ?? ? ( a ? 1) ? 4( a ? 1) ? 0 ?a ? 或a ? ?1 ? 3 ? 5 ∴a<-1 或 a> .又 a=-1 时,f(x)=0 满足题意,a=1 时不合题意.故 a≤-1 或 a> 3 5 为 所求. 3 (2)依题意只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞)上的任何值,则 f(x)的值域 ?a 2 ? 1 ? 0 5 为 R,故有 ? ,解得 1<a≤ ,又当 a2-1=0 即 a=1 时,t=2x+1 符合题意而 a= 3 ?? ? 0 5 -1 时不合题意,∴1≤a≤ 为所求. 3 7.解:设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得: x+y+z=360 ? ①

1 1 1 ② x ? y ? z ? 120 2 3 4 x>0,y>0,z≥60. ③ ? 假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数 S 的最大值,由①②消去 z,得 y=360-3x. ④ 将④代入①得:x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤ ∵z≥60,∴x≥30. ⑥ 再将④⑤代入 S 中, S=4x+3(360-3x)+2? 得 2x,即 S=-x+1080.由条件⑥及上式知, 当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为 S=-30+1080=1050(千元).得 x=30 分别代入④和 ⑤得 y=360-90=270,z=2?30=60. ∴每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产 值为 1050 千元. 8.解:(1)如图所示:设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的 ab 高 h= , c ?ab a?b?c 2 ∴S1=π ah+π bh= (a ? b), S 2 ? ? ( ) ,, c 2

∴f(x)= ①

S1 4ab( a ? b) ? S 2 c( a ? b ? c ) 2

?a ? b ?a ? b ? cx ?x ? ? 又? c ?? c2 ab ? ( x 2 ? 1) ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? ?
代入①消 c,得 f(x)=

2( x 2 ? x ) . x ?1

在 Rt△ABC 中,有 a=csinA,b=ccosA(0<A< x=

a?b ? =sinA+cosA= 2 sin(A+ ).∴1<x≤ 2 . c 4 2 2( x ? x ) 2 (2)f(x)= ? 2[( x ? 1) ? ] +6,设 t=x-1, x ?1 x ?1 2 则 t∈(0, 2 -1),y=2(t+ )+6 在(0, 2 -1 ] 上是减函数,∴当 x=( 2 - t 1)+1= 2 时,f(x)的最小值为 6 2 +8.
例 5 把函 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似地看成直线,若 a≤c≤b,那么 f(c) 似值表示为 f ?c ? ? f ?a ? ? 【说明】Kef=

? ) ,则 2

f ?b ? ? f ?a ? f ?b ? ? f ?a ? ?x ? a ? , ,则 EF 的解析式为: f ?x ? ? f ?a ? ? b?a b?a f ?c ? ? f ?a ? f ?b ? ? f ?a ? 令 x=c 即可得上式。或利用 斜率相等也可以得到。 ? c?a b?a 2 【例 6】①如果 f(x)=lg ? p ? 1?x ? 2 px ? 3 p ? 2 的定义域为 R,求实数 P 的范围。
②函数 y ? lg x ? mx ? 2 的值域为 R,则实数 m 的取值范围是多少?
2

c?a ? f ?b? ? f ?a ??。 b?a

③求 f ?x ? ? x ? 3 ? x 的值域 ④ 练习:求下列函数的值域:

?

?

?

?

2 ? sin x sin x 1 ? sin x 3x ? 1 ,y ? ,y ? ,y ? 2 ? sin x 2 ? cos x 2 ? cos x x ?1 y ? ax ? bx ? c 。 (前三题要应用多种方法解之) y?
【解】①当 p=1 时,显然不成立;当 p≠1 时,要使 f(x)的 x∈R,则有 x∈R 时, (p-1) x2+2px+3p-2>0 恒成立,∴ ?

②由题意知 f ? x ? 值域为 R,则 y= x ? mx ? 2 的图象与 x 轴有交点,于是得
2

? p ?1 ? p ? 2; 2 ?? ? 4 p ? 4( p ? 1)(3 p ? 2) ? 0

△=m2-8≥0,∴ m ? ?2 2或m ? 2 2 【说明】要注意①②的联系与区别。 ③法一:由 0≤x≤3,设 x=3cos2θ,θ∈[0,π /2],得

?? ? 6 sin?? ? ? , 4? ? 2 ∵π /4≤θ +π/4≤3π /4,∴sin(θ +π /4)∈[ ,1 ],∴f(x)∈[ 3, 6 ]. 2
f(x)= 3 sin ? ? 3 cos? ?

? x ?3? x? 2 法二: y ? 3 ? 2 x?3 ? x ? ? 3 ? 2 ? ? ? 6 ,又 y ? 3 ? 2 x?3 ? x ? ≥3 2 ? ?
2

2

∴f(x)∈[ 3, 6 ]。

3? 9 ? 法三:对根式内配方得: y ? 3 ? ? ? x ? ? ? ,余略。 2? 4 ?
2

2

【说明】求函数的值域,注意分析函数解析式的结构和定义域,探讨求解模式,①配 方法,②判别式法③利用函数的单调性④不等式法⑤换元法及有界性、反函数法、数 形结合法、分离变量法等是常用的方法,其本质是函数与方程的思想、化归思想、数 形结合的思想想。

五、单调性 函数的单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助 考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数 的图象. ●有奖征解 1.设 a>0,f(x)= 上是增函数. (1)解:依题意,对一切 x∈R,有 f(x)=f(-x),即 (ex-

ex a ? 是 R 上的偶函数,(1)求 a 的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞) a ex ex a 1 1 ? x ? x +aex.整理,得(a- ) a e a ae

1 1 )=0.因此,有 a- =0,即 a2=1,又 a>0,∴a=1 x a e
1 1 1 ? x ? (e x2 ? e x1 )( x ?x ? 1) x1 2 1 e e e 2

(2)证法一: 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= e x1 ? e x2 ? 设

1 ? e x1 ? x2 e x1 ? x2 由 x1>0,x2>0,x2>x1,∴ e x2 ?x1 ? 1 >0,1-e x1 ? x2 <0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 - - - - 证法二:由 f(x)=ex+e x,得 f′(x)=ex-e x=e x?(e2x-1).当 x∈(0,+∞)时,e x>0,e2x -1>0. 此时 f′(x)>0,所以 f(x)在[0,+∞)上是增函数. (2) (2004 年福建高考 21 题 14 分) ? e x1 ( e x2 ? x1 ? 1)
已知 f(x)=

2x ? a (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数。 x2 ? 2

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)=
2

1 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使 x

得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范 围;若不存在,请说明理由。 本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分 类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分 14 分.

4 ? 2ax ? 2 x 2 ? 2( x 2 ? ax ? 2) 解: (Ⅰ)f'(x)= = , ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2
∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 2 即 x -ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. ① 2 设 ? (x)=x -ax-2, 方法一: ? (1)=1-a-2≤0, ①? ? -1≤a≤1, ? (-1)=1+a-2≤0. ∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f' (1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:

①?

a ≥0, 2


a <0, 2

? (-1)=1+a-2≤0 ? (1)=1-a-2≤0 0≤a≤1 或 -1≤a≤0 ? ? -1≤a≤1. ∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f' (1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由
2

2x ? a 1 2 = ,得 x -ax-2=0, 2 x ?2 x

∵△=a +8>0 2 ∴x1,x2 是方程 x -ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a, ∴
2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a ? 8 .

2

x1x2=-2, ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a ? 8 ≤3. 2 要使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 2 当且仅当 m +tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 2 即 m +tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. ② 2 2 设 g(t)=m +tm-2=mt+(m -2),
2

方法一: 2 g(-1)=m -m-2≥0, ②? 2 g(1)=m +m-2≥0, ? m≥2 或 m≤-2. 2 所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, m>0, m<0, ②? 或 2 2 g(-1)=m -m-2≥0 g(1)=m +m-2≥0 ? m≥2 或 m≤-2. 2 所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}.

●例子分析 [例 1]已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 且对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

x? y ),试证明: 1 ? xy (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理 能力.知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结 果很难获得. 技巧与方法:对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2),判定 x 2 ? x1 的范围是焦点. 1 ? x1 x 2
证 明 : (1) 由 f(x)+f(y)=f( x)=f(

1 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0, 2

x? y ), 令 x=y=0, 得 f(0)=0, 令 y= - x, 得 f(x)+f( - 1 ? xy

x?x )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. 1? x2 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. x ? x1 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f( 2 ) 1 ? x1 x 2 x ? x1 ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 2 >0, 1 ? x 2 x1 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1,

x 2 ? x1 x ? x1 <1,由题意知 f( 2 )<0,? 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2 即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. [例 2]设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增, 1 2 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求 a 的取值范围,并在该范围内求函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递 2 减区间. 命题意图:本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性 的判定方法. 知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识, 通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法. 解:设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减. 1 7 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 4 8 1 2 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 3 3 2 2 由 f(2a +a+1)<f(3a -2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+1.解之,得 0<a<3. 3 5 又 a2-3a+1=(a- )2- . 2 4 2 1 3 ∴函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调减区间是[ ,+∞] 2 2 3 2 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2 [例 3](2004 年湖南高考题) 2 ax 已知函数 f ( x) ? x e , 其中 a≤0,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值. ax 解 (Ⅰ) f ?( x) ? x(ax ? 2)e . ( i )当 a=0 时,令 f ?(x) =0, 得 x=0. 若 x>0. 则 f ?(x) >0,从而 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若 x<0,则 f ?(x) <0,从而 f(x)在(--∞,0)上单调递减.
∴0< ( ii) 当 a<0 时,令 f ?(x) =0,得 x(ax+2)=0,故 x=0 或 x ? ? 若 x<0,则 f ?(x) <0,从而 f(x)在(--∞,0)上单调递减. 若 0<x< ?

2 . a

2 2 , 则 f ?(x) >0.从而 f(x)在(0, ? , )上单调递增; a a

若 x> ?

2 2 , 则 f ?(x) <0.从而 f(x)在( ? , +∞)上单调递减. a a

(Ⅱ) ( i ) 当 a=0 时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f(1)=1. ( ii) 当 ? 2? a?0 时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f(1)= e a .

2 4 (iii) 当 a≤-2 时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f (? ) ? 2 2 . a a e
[例 5]若函数 f(x) = ax2+b|x|+c (a≠0)的定义域 R 分成了四个单调区间,则实数 a,b,c 满足( ) (A)b2-4ac > 0 且 a>0 (B) b2-4ac > 0 (C) -

b b > 0 (D) - <0 2a 2a

●本难点所涉及的问题及解决方法主要有: (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性. 若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性. 同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的“磁场”及“训练”认真 体会,用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握基本 函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究 奇偶性、单调性的应用. ●训练 一、选择题 1.下列函数中的奇函数是( ) A.f(x)=(x-1)

x ?1 1? x

B.f(x)=

lg( 1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2
D.f(x)=

? x 2 ? x ( x ? 0) ? C.f(x)= ? 2 ? ? x ? x ( x ? 0) ?
2.函数 f(x)=

1 ? sin x ? cos x 1 ? cos x ? sin x

的图象( ) 1? x2 ? x ?1 A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x=1 对称 二、填空题 3.函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),?且在[x2,+∞ ) 上单 调递增,则 b 的取值范围是_________. 三、解答题 x?2 5.已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x ?1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

1? x2 ? x ?1

(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 6.求证函数 f(x)=

x3 在区间(1,+∞)上是减函数. ( x 2 ? 1) 2

7.设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ; f ( x 2 ) ? f ( x1 )

(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是 4a. 8.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 1 1 f(- )=0,当 x>- 时,f(x)>0. 2 2 (1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.

参考答案
一、1.解析:
? 2 f(-x)= ? x ? x ?
2

( x ? 0)

?? x ? x ?

? ?? ( x ? x ) ?? ( x ? 0) ? ? ( ? x 2 ? x ) ?
2

( x ? 0) ( x ? 0)

=-f(x),故 f(x)为奇函数.

答案:C 2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 答案:C 二、 3.解析: t=|x+1|,则 t 在(-∞,-1 ] 上递减, y=f(x)在 R 上单调递增, 令 又 ∴y=f(|x+1|) 在(-∞,-1 ] 上递减. 答案:(-∞,-1 ] 4. 解 析 : ∵ f(0)=f(x1)=f(x2)=0, ∴ f(0)=d=0.f(x)=ax(x - x1)(x - x2)=ax3 - a(x1+x2)x2+ax1x2x, ∴b=-a(x1+x2),又 f(x)在[x2,+∞ ) 单调递增,故 a>0.又知 0<x1<x,得 x1+x2>0, ∴b=-a(x1+x2)<0. 答案:(-∞,0) 三、5.证明:(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0, ∴ a x2 ? a x1 ? a x1 ( a x2 ?x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0
x2 ? 2 ? x1 ? 2 ( x 2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 1) ? >0, x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

∴ x2 ? 1
?

3( x 2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

a x2

于是 f(x2)-f(x1)= x ? 2 x1 ? 2 >0 ? a x1 + 2 ? x 2 ? 1 x1 ? 1 ∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数. (2)证法一:设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 a x0 ? ?

x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 x0 ? 1

x0 ? 2 1 <1,即 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根. x0 ? 1 2 x ?2 证法二:设存在 x0<0(x0≠-1)使 f(x0)=0,若-1<x0<0,则 0 <-2, a x0 <1,∴ x0 ? 1 x ?2 f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾,若 x0<-1,则 0 >0, a x0 >0,∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾, x0 ? 1 故方程 f(x)=0 没有负数根. 1 1 1 6.证明:∵x≠0,∴f(x)= , ? ?
得 0<-
( x 2 ? 1) 2 x
3

x( x 2 ? 1) 2 x
4

x(1 ?

1 2 ) x2

设 1<x1<x2<+∞, 1 1 1 1 则 2 ? 2 ? 1,1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 . x2 x1 x2 x1
? x2 (1 ? ? 1 2 1 ) ? x1 (1 ? 2 ) 2 ? 0. 2 x2 x1 ? 1 x1 (1 ? 1 2 ) 2 x1

1 1 x2 (1 ? 2 ) 2 x2

∴f(x1)>f(x2),?故函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决) f ( x 2 ) f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 ?? 7.证明:(1)不妨令 x=x1-x2,则 f(-x)=f(x2-x1)= f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 ) =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f[x-(-a)]= f (?a) f ( x) ? 1 ? ? f (a) f ( x) ? 1 ? f ( x) ? 1 ( f (a) ? 1)
f ( ? a ) ? f ( ? x) ? f ( a ) ? f ( x) f ( x ? a) ? 1 ? f ( x ? 2a ) ? f [( x ? a ) ? a ] ? f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1

f ( x) ? 1 ?1 1 f ( x) ? 1 ? ?? f ( x) ? 1 f ( x). ?1 f ( x) ? 1

∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a] 1 = =f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数. ? f ( x ? 2a ) 附加说明:此题可类比正切函数。 1 1 1 8.(1)证明:设 x1<x2,则 x2-x1- >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2 ∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1 ]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2 - 1 1 x1)+f(- )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2 ∴f(x)是单调递增函数.(2)解:f(x)=2x+1.

●奇偶性与单调性(二) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加 突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ● 有奖征解 已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)]≥0. ? 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f[log2(x2+5x+4)]≥f(2). 又∵f(x)为偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且 f(-2)=f(2)=0 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤-2 ② 由①得 x2+5x+4≥4 ∴x≤-5 或 x≥0 ③ 由②得 0<x2+5x+4≤

? 5 ? 10 1 ? 5 ? 10 得 ≤x<-4 或-1<x≤ 2 2 4

④ 由③④得原不等式的解集为 {x|x≤-5 或

? 5 ? 10 ? 5 ? 10 ≤x≤-4 或-1<x≤ 或 x≥0} 2 2

[例 1]已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x2 -3)<0,设不等式解集为 A, B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大 值. 命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和 解决问题的能力. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上 的最值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为 xcos 不等式,利用数形结合进行集 合运算和求最值. ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?0 ? x ? 6 得? 解:由 ? 且 x≠0,故 0<x< 6 , 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6 又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, 1 13 ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 },又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 知: 2 4 g(x)在 B 上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4. [例 2]已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在

实数 m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0,

? ]都成立?若存在,求 2

出符合条件的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力 以及运算能力. 知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转 化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转 化的思想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数. 于是不等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m), 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0.

m 2 m2 )- +2m-2 4 2 在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数 g(t)在[0,1]上的最小值为正. m ∴当 <0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 ? m>1 与 m<0 不符; 2 m2 m 当 0≤ ≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=- +2m-2>0 4 2 ? 4-2 2 <m<4+2 2 ,?∴4-2 2 <m≤2. m 当 >1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 ? m>1.∴m>2 2 综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2 2 . ●所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具 有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力. (2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到 等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的 式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题. ●训练 一、选择题 1.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于 ( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 2.已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0,?则 a 的取值范围是( ) A.(2 2 ,3) B.(3, 10 )
设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数 g(t)?=t2-mt+2m-2=(t- C.(2 2 ,4) D.(-2,3) 二、填空题 3.若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为 _________. 4.如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=-f(x),试比较

1 2 ),f( ),f(1)的大小关系_________. 3 3 三、解答题 5.已知 f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上的增减性并 加以证明. a ? 2x ?1 6.已知 f(x)= (a∈R)是 R 上的奇函数, 1? 2x (1)求 a 的值; - (2)求 f(x)的反函数 f 1(x); 1? x - (3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f 1(x)>lg . k 7 7.定义在(-∞,4]上的减函数 f(x)满足 f(m-sinx)≤f( 1? 2m - +cos2x)对任意 x 4 ∈R 都成立,求实数 m 的取值范围. ax 2 ?1 8.已知函数 y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 bx ? c 5 2,其中 b∈N 且 f(1)< . 2 (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标; 若不存在,说明理由. 参考答案 训练 一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(- 0.5+2)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 答案:B 2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0. ∴f(a-3)<f(a2-9). ?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ∴a∈(2 2 ,3). ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9
f( 答案:A

?x ? 0 ?x ? 0 或? 二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0 ? ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?? 或? ?? 或? ? f ( x ) ? f ( ?3) ? f ( x ) ? f (3) ? x ? ?3 ? x ? 3
∴x∈(-3,0)∪(0,3) 答案:(-3,0)∪(0,3) 4.解析:∵f(x)为 R 上的奇函数

∴f(

1 1 2 2 )=-f(- ),f( )=-f(- ),f(1)=-f(-1),又 f(x)在(-1,0)上是增函数且- 3 3 3 3

1 > 3 2 - >-1. 3

1 2 1 2 )>f(- )>f(-1),∴f( )<f( )<f(1). 3 3 3 3 1 2 答案:f( )<f( )<f(1) 3 3 三、5.解:函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数,设 x1<x2<0,因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知 f(x)?在(0,+∞)上是减函数, 于是有 f(-x1)<f(-x2),即 f(x1)<f(x2),由此可知,函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 6.解:(1)a=1. 2x ?1 - 1 ? x (-1<x<1 ) . (2)f(x)= x (x∈R) ? f -1(x)=log2 2 ?1 1? x 1? x 1 ? x >log (3)由 log2 ? log2(1-x)<log2k,∴当 0<k<2 时,不等式解集为{x|1 2 k 1? x -k<x<1 } ;当 k≥2 时,不等式解集为{x|-1<x<1 } .
∴f(-

? ?m ? sin x ? 4 ? 7 ? 2 ? 1 ? 2m ? ? cos x ? 4 4 ? 7 7.解: ? ,对 x∈R 恒成立, 2 ?m ? sin x ? 1 ? 2m ? 4 ? cos x ? ?m ? 4 ? sin x ? 即? 7 2 ?m ? 1 ? 2m ? 4 ? ? sin x ? sin x ? 1 ?
?m ? 3 ? ?? 3 1 ?m ? 2 或m ? 2 ?
∴m∈[

3 1 ,3]∪{ }. 2 2

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c a 1 ax 2 ? 1 a 1 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ,当且仅当 x= 时等号 ? x? a bx b bx b2
8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

a 5 a ? 1 5 b2 ?1 5 =2,∴a=b2,由 f(1)< 得 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解 2 b 2 2 2 b b 1 1 得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ . 2 x (2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在
成立,于是 2

? x0 2 ? 1 ? y0 ? ? x0 y=f(x)图象上,则 ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y0 ? 2? x 0 ?
消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 2 . ∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称. 附加例题 【例 7】 (2001 春高)设函数 f ?x ? ? 数在其单调区间上的的单调性。 【证明】函数 f ?x ? ?

x?a ?a ? b ? 0? ,求函数的单调区间,并证明函 x?b

x?a ?a ? b ? 0? 的定义域是(-∞,-b)∪(-b,+∞). x?b

f(x)在在(-∞,-b)内是减函数,在(-b,+∞).内也是减函数。 证明略。 【例 8】已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足 f(-1)=0,对任意的实数 x 都有 f(x)-x≥0,

? x ?1? 且当 x∈(0,2)时,f(x)≤ ? ? . ? 2 ?
① 求 f(1)的值; ② 证明:a>0,c>0; ③ 当 x∈[-1,1]时,函数 g(x)=f(x)-mx 是单调的,求证:m≤0 或 m≥1.

2

? x ?1? ?1?1? 【解】①由条件知 x∈(0,2)时,x≤f(x)≤ ? ? ? 1 ,∴f(1)=1. ? ,∴1≤f(1)≤ ? ? 2 ? ? 2 ? ? f (1) ? 1 ?a ? b ? c ? 0 1 ?? ? b ? a ? c ? ,又对任意的 x 有 f(x)-x≥0 ②由 ? 2 ? f (0) ? 0 ? a ? b ? c ? 1
恒成立,即 ax ?
2

2

2

1 x ? c ? 0 恒成立,则只要α >0 且△≤0 即 2 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? 1 ? 4ac ? 0 ? ?ac ? 1 ? a ? 0, c ? 0 . ?4 ? 16 ? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? a ? c ? 2 ac ? 2 ? ? a ? c ? ? f ?x ? ? x 2 ? x ? , 2 16 2 4 4 2 4 1 2 ∴f(x)-mx= x ? ?2 ? 4m ?x ? 1 , 4 2 ? 4m 当 x∈[-1,1]上单调时,只要对称轴满足 | |? 1 ? m ? 0或m ? 1 。 2


?

?

【例 9】 设函数 f(x)定义域在 R 上, 对于任意的实数 m,n,总有 f(m+n)=f(m)· f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1, ① 证明 f(0)=1,且 x<0 时,f(x)>1;

② 证明 f(x)在 R 上单调递减,

③ 设 A= ( x, y ) | f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) .B ? ?( x, y ) | f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R?, 若 A∩B=Φ。试确定 a 的范围。你能举一个满足①、②的函数码? 【解】①在 f(m+n)=f(m)· f(n)中,令 m=1,n=0,f(1)=f(1)f(0),∴f(0)=1 设 m=x<0,n=-x>0, f(x-x)=f(x)?f(-x),∴f(x)?f(-x)=1,
2 2

?

?

1 ,0 ? f ?? x ? ? 1 ? f ?x ? ? 1 . f ?? x ? ②设 x1 ? x2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 , ? 0 ? f ?x2 ? x1 ? ? 1 , f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ??x2 ? x1 ? ? x1 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? x1 ? ? f ?x1 ? ? f ?x1 ? ? f ?x1 ?? f ( x2 ? x1 ) ? 1? ? 0 ? f ?x ?在R上单调递减。 f ( x) ?
③f(x2)?f(y2)>f(1),即 f(x2+y2)>f(1),∴x2+y2<1 f (ax ? y ? 2) ? 1=f(0),ax-y+2=0
2 2

∴A= {?x, y ? | x ? y ? 1}, B ? {?x, y ? | ax ? y ? 2 ? 0, a ? R} A∩B=ф ,∴

|2| a2 ?1
x

? 1 ? a2 ?1 ? 2 ? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3

?1? 函数 f ? x ? ? ? ? 满足上述①②。 ?2? 2 (10) (2004 年湖北高考)函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 有极值的充要条件是 (A) a ? 0 (B) a ? 0 (C) a ? 0 (D) a ? 0
旁征博引【数列中的单调性利用】 结论:与自然数有关的“和式” ,采用求差确定数列的单调性;与自然有关的“积 式” ,采用求求商确定数列的单调性。

1 1 1 1 11 。 ? ? ??? ? n?3 n?4 n?5 2n ? 2 30 1 1 1 1 11 【证明】设 f (n) ? ,则有: ? ? ??? ? n?3 n?4 n?5 2n ? 2 30 1 1 1 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ??? ? ?( ? ? ??? ) n?4 n?5 2n ? 2 2n ? 4 n ? 3 n ? 4 n ? 5 2n ? 2 1 1 1 5n ? 9 ? ? ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 4 n ? 3 (2n ? 3)( 2n ? 4)( n ? 3) 11 11 , ? f (n ? 1) ? f (n), f (n)是单调增函数,又f (2) ? , 所以, 对n ? N , f (n) ? 30 30
【例 1】求证:对于 n≥2 时, ∴原式得证。 【例 2】已知数列{bn}是等差数列,b1=1, b1 ? b2 ? ? ? b15 ? 145 , ① 求 bn ② 数列α n 的通项 a n ? log a (1 ?

1 )(其中a ? 0, a ? 1) ,Sn 为数列{an}u 前 n 项和,试 bn

比较 Sn 与 log a bn ?1 的大小。 【解】①易知 bn=3n-2

1 3

1 1 )] , log a bn?1 ? log a 3 3n ? 1 , 3n ? 2 3 1 1 1 1 ③ 要比较 Sn 与 log a bn ?1 的大小,先比较: [(1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )] 与 4 7 3n ? 2 3 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) 4 7 3n ? 2 3 3n ? 1 的大小,设 C n ? 3 3n ? 1 1 2 (1 ? ) ? 3 3n ? 1 C n ?1 ? 3n ? 4 ? 3n ? 1 3 ? 则 又 ? ? ? ? 1 , Cn>0,∴ C n?1 ? C n ,{Cn}为单调 3 Cn 3n ? 4 ? 3n ? 1 ? 1?1 1 1 1 递增数列,∴ C n ? C1 ? ? 1 ,[(1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )] > 3 3n ? 1 , 3 4 7 3n ? 2 3 ?1 1 ∴当α >1 时,Sn> log a bn ?1 ; 3 1 当 0<a<1 时,Sn< log a bn ?1 3 1 n 1 1 n 练习:1、若 n∈N,且≥3,求证: n ? (1 ? ) (提示:采用积式: C n ? (1 ? ) ) 。 n n n 1 1 1 1 1 2、若 n∈N,且≥2,求证: 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 。 (采用差式或裂项 n 2 3 4 n
②Sn= log a [(1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? 相消) 。

1 4

1 7

六、解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视.本节主要帮助考生在深刻 理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的 创新能力和解决实际问题的能力. ● 有奖征解 已知 f(2-cosx)=cos2x+cosx,求 f(x-1). 解法一:(换元法) ∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1 令 u=2-cosx(1≤u≤3),则 cosx=2-u ∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3) ∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4) 解法二:(配凑法) f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5 ∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3),即 f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+14(2≤x≤

4). [例 1](1)已知函数 f(x)满足 f(logax)=

a 1 ( x ? ) (其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的 x a ?1
2

表达式. (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求? f(x)?的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则,以及 计算能力和综合运用知识的能力.属四星级题目. 知识依托:利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化,注意定义 域. 错解分析:本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法;(2)用待定系数法. 解:(1)令 t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则 x=at. a - 因此 f(t)= 2 (at-a t) a ?1 a - ∴f(x)= 2 (ax-a x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0) a ?1 (2)由 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c 1 ? ?a ? 2 [ f (1) ? f ( ?1)] ? f (0) ? 1 ? 得 ?b ? [ f (1) ? f ( ?1)] 2 ? ? c ? f ( 0) ? ? 并且 f(1)、 f(-1)、 f(0)不能同时等于 1 或-1, 所以所求函数为: f(x)=2x2-1 或 f(x)= -2x2+1 或 f(x)=-x2-x+1 或 f(x)=x2-x-1 或 f(x)=-x2+x+1 或 f(x)=x2+x-1. [例 2]设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤-1 时,y=f(x)的图象是经过点(-2, 0),斜率为 1 的射线,又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1) 的一段抛物线,试写出函数 f(x)的表达式,并在图中作出其图象. 命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作 法,对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此,分段函数是今后高考的热点题型. 属四星级题目. 知识依托:函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出 曲线方程是主线. 错解分析:本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法:合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式. 解:(1)当 x≤-1 时,设 f(x)=x+b ∵射线过点(-2,0).∴0=-2+b 即 b=2,∴f(x)=x+2. (2)当-1<x<1 时,设 f(x)=ax2+2. ∵抛物线过点(-1,1),∴1=a?(-1)2+2,即 a=-1 ∴f(x)=-x2+2. (3)当 x≥1 时,f(x)=-x+2

? x ? 1, x ? ?1 ? 综上可知:f(x)= ?2 ? x 2 ,?1 ? x ? 1 作图由读者来完成. ?? x ? 2, x ? 1 ?
●所涉及的问题及解决方法主要有: 1.待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2.换元法或配凑法,已知复合函数 f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简 单时也可用配凑法; 3.消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解 f(x); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. ●歼灭难点训练 一、选择题 mx 3 1.若函数 f(x)= (x≠ )在定义域内恒有 f[f(x)]=x,则 m 等于( ) 4 4x ? 3 3 3 A.3 B. C.- D.-3 2 2 2.设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, x≤1 时, 在 f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x) 等于( ) A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1 C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1 二、填空题 1 3.已知 f(x)+2f( )=3x,求 f(x)的解析式为_________. x 4.已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________. 三、解答题 5.设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),且其图象在 y 轴上的截距为 1,在 x 轴上 截得的线段长为 2 ,求 f(x)的解析式. 6.设 f(x)是在(-∞,+∞)上以 4 为周期的函数,且 f(x)是偶函数,在区间[2,3]上 时,f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个顶点 A、 B 在 x 轴上,C、D 在 y=f(x)(0≤x≤2)的图象上,求这个矩形面积的最大值. 7.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次 经过 B、C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,g(x)表示△ABP 的面积,求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简 图. 8.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5, 函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知 y=f(x)在[0,1]上是 一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时,函数取 得最小值,最小值为-5. (1)证明:f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式. 一、1.解析:∵f(x)=

mx . 4x ? 3

mx 4 x ? 3 =x,整理比较系数得 m=3. ∴f[f(x)]= mx 4? ?3 4x ? 3 答案:A 2.解析:利用数形结合,x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1 的对称轴为 x=-1,最小值为-1, 又 y=f(x)关于 x=1 对称,故在 x>1 上,f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为-1. 答案:B 1 1 1 1 二、3.解析:由 f(x)+2f( )=3x 知 f( )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去 f( )可得 x x x x 2 f(x)= -x. x 2 答案:f(x)= -x x 4.解析:∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1. 1 1 1 1 故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= ,b= ,∴f(x)= x2+ x. 2 2 2 2 1 2 1 答案: x + x 2 2 三、5.解:利用待定系数法,设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程组求解, 2 8 f(x)= x 2 ? x ? 1 . 7 7 6.解:(1)设 x∈[1,2],则 4-x∈[2,3],∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),又因为 4 是 f(x)的周期,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4. (2)设 x∈[0,1] ,则 2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4,又由(1)可知 x∈[0,2] 时,f(x)=-2(x-1)2+4,设 A、B 坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0<t≤1 ) ,则|AB|=2t,|AD|=- m?

S2 =2t2(2 - t2) ? (2 - t2) ≤ 8 64 ? 8 2t 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t 2 3 64 6 ( )= ,当且仅当 2t2=2-t2,即 t= 时取等号.∴S2≤ 即 S≤ 3 3 27 27 16 6 16 6 ,∴Smax= . 9 9 7.解:(1)如原题图,当 P 在 AB 上运动时,PA=x;当 P 点在 BC 上运动时,由 Rt△
2t2+4,S
矩 形

=2t( - 2t2+4)=4t(2 - t2), 令 S



=S , ∴

ABD ? 可 得 PA= 1 ? ( x ? 1) 2 ; 当 P 点 在 CD 上 运 动 时 , 由 Rt △ ADP 易 得 PA= 1 ? (3 ? x ) 2 ;当 P 点在 DA 上运动时,PA=4-x,故 f(x)的表达式为:

(0 ? x ? 1) ?x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 (1 ? x ? 2) f(x)= ? ? x 2 ? 6 x ? 10 ( 2 ? x ? 3) ? ( 3 ? x ? 4) ?4 ? x

(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时,△ABP 的形状各有特征,计算它们的面 积也有不同的方法,因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解.

如原题图,当 P 在线段 AB 上时,△ABP 的面积 S=0;当 P 在 BC 上时,即 1<x 1 1 1 1 ≤2 时, △ABP= AB? S BP= (x-1) 当 P 在 CD 上时, 2<x≤3 时, △ABP= ? 1= ; ; 即 S 1? 2 2 2 2 1 当 P 在 DA 上时,即 3<x≤4 时,S△ABP= (4-x). 2 (0 ? x ? 1) ?0 ?1 ? ( x ? 1) (1 ? x ? 2) ?2 ? 故 g(x)= ? 1 ( 2 ? x ? 3) ?2 ? ? 1 (4 ? x ) (3 ? x ? 4) ?2 ? 8.(1)证明:∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1),又 y=f(x)(-1 ≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当 x∈[1,4]时,由题意,可设 f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(1 -2)2-5+a(4-2)2-5=0,解得 a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)解:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0,又 y=f(x) (0≤x≤1) 是一次函数,∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1-2)2-5=-3,又 f(1)=k?1=k,∴k=-3. ∴当 0≤x≤1 时,f(x)?=-3x,当-1≤x<0 时,f(x)=-3x,当 4≤x≤6 时,-1≤x-5≤ 1,∴f(x)=f(x-5)= 2 -3(x-5)=-3x+15,?当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2] - 2 5=2(x-7) -5. ( 4 ? x ? 6) ?? 3 x ? 15 ∴f(x)= ? . 2 (6 ? x ? 9) ? 2( x ? 7 ) ? 5

●附加例析
? ?x x?0 x ?1 x ? 0 【例 1】设函数 f ? x ? ? ?| x ? 1 | 0 ? x ? 4 , g ?x ? ? ? , ? ? 2 ? 1? x x ? 0 ?0 x?4 ? F(x)=g[f(x)],试求 F(x)的解析式。 【分析】本题关键是确定 f(x)的范围,而 f(x)的范围只能在 g(x)的定义之内。由 f(x)的 范围确定 f(x)的解析式,从而可确定 F(x)的解析式。而 g(x)确切地可表示为

x?0 ? x ?1 g ?x ? ? ? 2 ? 1? x 0 ? x ? 1

【解】当 x<-1 时,f(x)=-x>1,而 F(x)= 1 ? f ? x ? ,∴F(x)无定义;
2

当-1≤x<0 时,f(x)=-x,0<f(x)≤1, ∴F(x)= 1 ? ?? x ? ? 1 ? x ;
2 2

当 x=0,1 时,f(x)=0,F(x)=0+1=1;
2 当 0<x≤2 且 x≠1 时,0<f(x)=|x-1|≤1,F(x)= 1? | x ? 1 | ?

2x ? x 2 ;

当 2<x<4 时,1<f(x)<3,F(x)无定义; 当 x≥4 时,f(x)=0,F(x)=1. 但注意到当 x=1 时,F(x)=1 恰与表达式用 x=1 代入的结果相同。故对于 0<x≤2 总 有,F(x) ?

2 x ? x 2 ,类似地,x=0 处的函数值也可用-1≤x<0 时 F(x)的表达式来给出。

? 1? x2 ?1 ? x ? 0 ? 2 ? 2x ? x 0? x?2 总之,有 F ( x) ? ? 。 1 x?4 ? ?无定义 x ? ?1或2 ? x ? 4 ?

?m ? Z ? 为偶函数,且 f ?3? ? f ?5? , 【例 2】已知函数 f ? x ? ? x ① 求 m 的值并确定 f(x)的解析式; ② 若 g(x)=loga[f(x)-ax](a≠0,a≠1),在区间[2,3]上为增函数,求 a 的取值范围。
?2 m 2 ? m ? 3

【解】①∵f(3)<f(5),∴ 3

?2 m 2 ? m?3

?5

? m 2 ? m ?3

?3? ?? ? ?5?

?2 m 2 ? m ? 3

? 1 ? ?2m 2 ? m ? 3 ? 0

? ?1 ? x ?

3 ? m ? 0或1 . 2

当 m=0 时,函数 y=x3 不合题意 当 m=1 时,函数 y=x2 ∴m=1,f(x)=x2. ②(x)=loga[f(x)-ax]= log a [? x ?

? ?

a? a2 ? ? ] ,∵x2-ax>0,∴x<0 或 x>a. 2? 4

2

∵g(x)在[2,3]上有定义∴a<2(这里是关键点、难点),∴ [2,3]上是增函数,又 g(x)在[2,3]上为增函数,∴a>1, ∴1<a<2.

a? a2 1 ? , ?x ? ? ? 在 a ?1 2? 4 2 ?

2

数学试卷(四)
一、选 择 1、设集合 A={1,2} ,集合 B={1,2,3,4,5} 。对 A 的所有元素 x 使 xf(x)为偶 数,那么从 A 到 B 的映射 f 的个数为( ) A、4 B、7 C、10 D、25

2、 已知函数 f(x)和 g(x)是奇函数, f(x)<0 的解集为 (m2,n) ,g(x)<0 的解集为 ( 若 m2<n/2,则 f(x)?g(x)>0 的解集为( ) A、 2,n/2) (m B、(m2/2,n/2) C、 ? ? n,? ?

m2 n , , ) 2 2

? ?

m2 2

? ? m2 ? ??? ? ? 2 ,n? ? ? ? ?

D、 ? ?

n? ? n ? ? ,? m 2 ? ? ? m 2 , ? 2? ? 2 ? ?

3、长方体 ABCD—A1B1C1D1 的对角线 AC1 的长为 L,∠BAC1=45? ,∠DAC1=60? ,则 这个长方体的体积为( ) A、

2 3 L 4

B?

2 3 L 8

C?

3 3 L 8

D?

6 3 L 8

4、△ABC 中,sin2A>1/2 是 A>15? 的( )条件。 A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、非充分非必要 5、已知奇函数 y=f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞) ,值域为 R,当仅当 x>1 时 f(x)>0. 关于 f(x)有下列命题( ) ①f(-1)=0;②方程 f(x)=0 有无穷多个解;③f(x)存在最小值,但无最大值;④f(x)的图象 关于原点对称且是周期函数。其中正确的是( ) A、①② B、②③ C、①④ D、③④ 6、直线 L1:2x+ay+6=0,L2:x+(a-1)y+a2-1=0,若直线 L3 与直线 y=x 对称,且 L3 与 L2 平 行,则 a 的值为( ) A、-1 B、2 C、-1 和 2 D、0 和 1 7、(理科)在极坐标系中,如果等边△ABC 的两个顶点是 A(2,π /4) ,B(2,5π /5) , 那么顶点 C 的坐标可能是( ) A、 (4,-3π /4) B、 (-4,3π /4) C、 ? 2 3 , (

3? ) 4

C、 2 3,? (

3? ) 4

(文科)设 A={a,b,c},B={-1,0,1},f:A 到 B 是 A 到 B 的映射,使得 f(a)+f(b)+f(c)=0, 则这样的映射有( )个。 A、4 B、6 C、7 D、8 8、已知正三棱台上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2 3 ,它被中截面截得的较大的 部分的体积是( ) A、37/2 B、111/4 C、19/4 D、37/4 9、椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 和两焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为边作等边三角形, a2 b2

若椭圆恰平分三角形的另两边,则椭圆的离心率为( ( A、 4 2? 3

B、 0.5 3 ? 1 C、 3 ? 1 D、 0.25 3 ? 2 10、用 0,1,2,3,4 组成含有重复数字的五位数,相同的数字不能相邻,这样的五 位数共有( )个 A、96 B、720 C、928 D、1024 11、 已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 log a ?S n ? a ? ? n ? 1 ,(a>0,a≠1), m 则i l 的值是( )
n ??

?

?

?

?



?

?

1 ? an 1 ? an

A、1 B、-1 C、±1 D、不存在 12、一个球半径为 R,其内接正四面体的高为 h,则 h:R 为( A、5:4 B、4:3 C、3:2 D、2:1 二填空 13、设 x∈C, x ? m
2



?

?

4

? a 0 ? a1 x 2 ? a 2 x 4 ? ? ? a 4 x 8 , 且a1 ? a3 ? 16 m ,那么实数 m

的值为( 14、函数 y ?



1 ? sin 2 x ? | sin x | 的值域为( ) 4 2 15、点 P 在抛物线 ? y ? 1? ? 8 x 上,P 到抛物线顶点与准线的距离相等,则点 P 的坐
标是( ) 16 如图,把长方体的火柴盒外壳沿棱 AA1 压平,将压平的火柴盒切开分成两部分,然 后还原成长方体,则还原后的切口的形状可能是( ) 填图形的序 ( 号) A 1 D 1 B1 C1







④ A D B C

三、解答题 17、 (12`)设 Z=1+cos2α+isin2α,π≤2α ≤2π ,β = 求 cos(α-β)cos(α+β)的最小值。

1 argZ. 2

2 , (m,n∈N), 2 以点(0,2)为圆心,bm 为半径的圆系中,是否存在与直线系 y ? 3 x ? a n 中的某些
18、设{an}为等差数列,a1=2,d=3,{bn}为等比数列,b1=150,公比 q= 直线相切的圆?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由。 19、如图,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD=2,AB=4,AA1=6,E 是 AB 中点, 过 D1、C、E 的平面交 AA1 于 F, C1 D1 ① 求证:EF∥CD1; B1 A1 ② 求二面角 D1—CE—D 的大小(文科改为求余弦值) ③ 求长方体被平面 D1CE 截成上下两部分的体积比。 F C D B E A 20、某商品近 12 个月内的价格与时间的关系用图一的一条折线表示;而该商品在同期 内的销售量与时间的关系用图二的一条折线表示, ① 写出图一表示商品市场售价与时间的函数关系式 P=f(t).写出图二表示商品销售量 与时间的函数关系式 Q=g(t). ② 该商品一年中哪个月份的销售额最大,月最大销售额是多少? 5.5a 32 4a
20 14

a 3 12

(月)
2

(月)

21、已知函数 f ?x ? ? x ? bx ? c, x∈R,f(x)的值域为 ?1,?? ? ,且图象关于 y 轴对称, 设 g(x)= f ? f ? x ?? . ① 求 g(x)的解析式; ② 求实数 a 的取值范围使ф (x)= g ?x ? ? af ?x ? 在(-1,0)上为单调函数。 22、 (14 分)

如图,在△ABC 中,已知|AB|= 4 2 ,且内角满足 2sinA+sinC=2sinB, ① 建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程; ② 直线 L 过点 B,且与顶点 C 的轨迹交于 M、N 两点,求|AM|?|AN|的最小值。 C

七、函数与方程的思想方法训练题

A

B

1、 设 x ? (0,4],若不等式 x(4 ? x) >ax 恒成立,求 a 的范围。 2、 若关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 有实根,求 a 的范围。

1 ],都有|f(x)|>1 成立,求 a 的范围。 2 a?b 4、 设 f(x)=|lgx|,实数 a,b 满足 0<a<b,且 f(a)=f(b)=2f( )。①求 a,b 的关系。 2
3、 设 f(x)=logax,若对于任意的 x ? (0, ②求证:b>3。 5、 设 z ? c,且|z+

1 |=1,求|z|和 argz 的范围。 z

6、 设抛物线 y=x2-2k2x-(2k2+1) 。①求 证:不论 k 为何实数,抛物线必与 x 轴相交。②若抛物线与 x 轴正半轴交于 A,与 y 轴交于 B,求证:直线 AB 的斜率为定值。③又若抛物线与 x 轴的另一个交点为 C,问 k 为何值时,三角形 ABC 面积为 190。 7、 设直线 l 过抛物线 y2=2px 的焦点且与 这抛物线交于二点,求证:对于这抛物线的任何一条给定的弦 CD,直线 l 不是弦 CD 的垂直平分线。 8、 已知二曲线 y=kx+1 和 x2+y2-kx-y-4=0 的二个交点关于直线 y=x 对称,求二交点坐标。

(n ) n 9、 设 an= 1? 2 + 2 ? 3 +…+ n ? ? 1 , 为自然
数,求证:

n2 ? n ( n ? 1) 2 <an< 。 2 2
2

y
1 0.5

10、设函数 f(x)=log2(ax -2x+1),是

0 0.5 1

x

否存在实数 a,使得 f(x)的值域是实数 集 R?若存在,求出实数 a,若不存在, 请说明理由。若使得定义域为 R 呢? 11、 ?

1 ? ? f 1 ( x), x ? [0, 2 ), ? 12、已知函数 f ( x) ? ? 其中 ? f ( x), x ? [ 1 ,1]. ? 2 2 ? 1 f1 ( x) ? ?2( x ? ) 2 ? 1, f 2 ( x) ? ?2 x ? 2 2
(I)在下面坐标系上面画出 y=f(x)的图象; (II)设 y=f2(x) (x ? [ ,1] )的反函数为 y=g(x),a1=1,a2=g(a1),??,an=g(an?1);求数列 ? {an}的通项公式,并求 lim a n ;
n??

1 2

1 (III)若 x0 ? [0, ), x1 ? f ( x0 ), f 2 ( x1 ) ? x0 , 求 x0。 2 x2 y2 13、.椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1 ,F2,点 P 为其上的动点。当∠F1PF2 为钝角 9 4
时,点 P 横坐标的取值范围是__________________。 八、函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观 工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握 绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函 数的性质. ●有奖征解 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的范围. 解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象过原点,即 f(0)=0,得 d=0,又 f(x)的 图象过(1, ∴f(x)=a+b+c①,又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0②,①+②得 b<0,故 b 的范 0), 围是(-∞,0) 解法二:如图 f(0)=0 有三根,∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, ∴b= -3a,∵a>0,∴b<0.

●例子分析 [例 1] 对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a-x),(1)求证 y=f(x)的图

象关于直线 x=a 对称;(2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且方程 f(x)=0 恰 好有四个不同实根,求这些实根之和. 命题意图:本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题. 知识依托:把证明图象对称问题转化到点的对称问题. 错解分析:找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化. 技巧与方法:数形结合、等价转化. (1)证明:设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0=f(x0),又 f(a+x)=f(a-x),∴f(2a -x0)= f [ a+(a - x0) ] =f [ a - (a - x0) ] =f(x0)=y0, ∴ (2a - x0,y0) 也 在 函 数 的 图 象 上 , 而 (2a ? x0 ) ? x0 =a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称,故 y=f(x)的图象关于直线 2 x=a 对称. (2)解:由 f(2+x)=f(2-x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,若 x0 是 f(x)=0 的根, 则 4-x0 也是 f(x)=0 的根,由对称性,f(x)=0 的四根之和为 8. [例 2]如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的横坐标分别是 a、 a+1、a+2.又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a), △A′BC′的面积为 g(a).

(1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论. 命题意图:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等. 知识依托:充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突 破口. 错解分析:图形面积不会拆拼. 技巧与方法:数形结合、等价转化. 解:(1)连结 AA′、BB′、CC′,则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B 1 1 = (A′A+C′C)= ( a ? a ? 2 ), 2 2 1 g(a)=S△A′BC′= A′C′?B′B=B′B= a ? 1 . 2

1 (2) f (a) ? g (a) ? ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) 2 1 ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] ? 2 1 1 1 ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a
∴f(a)<g(a).

●所涉及的问题及解决方法主要有 1.熟记基本函数的大致图象,掌握函数作图的基本方法:(1)描点法:列表、描点、 连线;(2)图象变换法:平移变换、对称变换、伸缩变换等. 2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择 与填空为主,属于必考内容之一,但近年来,在大题中也有出现,须引起重视. ●训练 一、选择题 1. 当 a≠0 时,y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是( )

2. 某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的 路, 下图中 y 轴表示离学校的距离, 轴表示出发后的时间, x 则适合题意的图形是( )

二、填空题 3. 已知函数 f(x)=log2(x+1),将 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,再将图象上所有 点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,则函数 F(x)=f(x) -g(x)的最大值为_________. 三、解答题 4. 如 图,在函 数 y=lgx 的图 象上 有 A、B 、 C 三点 ,它们的 横坐标分别 为 m,m+2,m+4(m>1). (1)若△ABC 面积为 S,求 S=f(m); (2)判断 S=f(m)的增减性.

3 |x|在 x∈ [- 2 1,1]的图象上有两点 A、B,AB∥ 3 Ox 轴,点 M(1,m)(m∈R 且 m> ) 2 是△ABC 的 BC 边的中点. (1)写出用 B 点横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析式 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)的最大值,并求出相应的 C 点坐标. 2 6. 已知函数 f(x)是 y= x -1(x∈R)的反函数,函数 g(x)的图象与函数 y=- 10 ? 1
5. 如图, 函数 y=

1 的图象关于 y 轴对称,设 F(x)=f(x)+g(x). x?2 (1)求函数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、B,使直线 AB 恰好与 y 轴 垂直?若存在,求出 A、B 的坐标;若不存在,说明理由.
7 。已知函数 f1(x)= 1 ? x 2 ,f2(x)=x+2, x ? [ ?1,0) ? f1 ( x ), (1)设 y=f(x)= ? ,试画出 y=f(x)的图象并求 y=f(x)的曲线绕 x x ? [0,1] ?3 ? f 2 ( x ), 轴旋转一周所得几何体的表面积; (2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数 a 的范围. 1 (3)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1, ] ,求 b 的值. 2 1 8. 设函数 f(x)=x+ 的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2,C2 对应的 x 函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析表达式; (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点坐标; 9 (0<a<1). (3)解不等式 logag(x)<loga 2

9. (2004 年重庆高考) .若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等, 则动点 P 的轨迹与 ? ABC 组成图形 可能是: ( )
A A

P B A C B

P C A

P B C B

P C

参考答案
训练 一、1.解析:∵y=bax=(ba)x,∴这是以 ba 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方 程可知:在选择支 B 中 a>0,b>1,∴ba>1,C 中 a<0,b>1,∴0<ba<1,D 中 a<0,0<b<1, ∴ba>1.故选择支 B、C、D 均与指数函数 y=(ba)x 的图象不符合.

答案:A 2.解析:由题意可知,当 x=0 时,y 最大,所以排除 A、C.又一开始跑步,所以直 线随着 x 的增大而急剧下降. 答案:D

二、3.解析:g(x)=2log2(x+2)(x>-2) F(x)=f(x)-g(x)=log2(x+1)-2log2(x+2) x ?1 1 =log2 x ? 1 ? log 2 ? log 2 2 2 2 ( x ? 2) x ? 4x ? 4 x ? 4x ? 4 x ?1 1 ? log 2 ( x ? ?1) 1 x ?1? ?2 x ?1 ∵x+1>0, 1 1 =-2 ∴F(x)≤ log ? log
2

2 ( x ? 1) ?

1 ?2 x ?1

2

4

1 ,即 x=0 时取等号. x ?1 ∴F(x)max=F(0)=-2. 答案:-2 三、4.解:(1)S△ABC=S 梯形 AA′B′B+S 梯形 BB′C′C-S 梯形 AA′C′C. (2)S=f(m)为减函数. 3 3 5.解:(1)依题意,设 B(t, t),A(-t, t)(t>0),C(x0,y0). 2 2 3 t ? y0 t ? x0 ∵M 是 BC 的中点.∴ =1, 2 =m. 2 2 3 3 ∴x0=2-t,y0=2m- t.在△ABC 中,|AB|=2t,AB 边上的高 hAB=y0- t=2m-3t. 2 2 1 1 ∴S= |AB|?hAB= ?2t?(2m-3t),即 f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1). 2 2 m ? ?0 ? 3 ? 1 m 2 m2 3 m ? (2)∵S=-3t2+2mt=-3(t- ) + ,t∈(0,1 ] ,若 ? , 即 <m≤3,当 t= 3 2 3 3 ?m ? 3 ? 2 ?
当且仅当 x+1=

m 3 m m2 ,相应的 C 点坐标是(2- , m),若 >1,即 m>3.S=f(t)?在区间(0,1] 3 3 2 3 上是增函数,∴Smax=f(1)=2m-3,相应的 C 点坐标是(1,2m-3). 2 1? x 6.解:(1)y= x -1 的反函数为 f(x)=lg (-1<x<1 ) . 1? x 10 ? 1 1 1? x 1 由已知得 g(x)= ,∴F(x)=lg + ,定义域为(-1,1). 1? x x ? 2 x?2 1? x 2 (2)用定义可证明函数 u= =-1+ 是(-1,1)上的减函数,且 y=lgu 是增 1? x x ?1 函数.∴f(x)是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点 A、B. ? 1 ? x 2 , x ? [ ?1,0) ? 7.解:(1)y=f(x)= ? .图略. ?? x ? 1, x ? [0,1] ?
时,Smax= y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+ 2 )π . (2)当 f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时,a 的取值范围为 2- 2 <a≤1. (3)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1, 8.(1)g(x)=x-2+

5? 3 1 ] ,则可解得 b= . 2 2

1 .(2)b=4 时,交点为(5,4);b=0 时,交点为(3,0). x?4 9 (3)不等式的解集为{x|4<x< 或 x>6 } . 2 附加题 (1) (2004 湖北高考)设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时)的函 数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关 系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t | ? ) 的图象。 下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
(A) y ? 12 ? 3 sin (C) y ? 12 ? 3 sin

?
6

t , t ? [0,24] t , t ? [0,24]

(B) y ? 12 ? 3 sin?

?
12

2. (2004 浙江省高考)设曲线 y=e?x(x≥0)在点 M(t,e?t}处的切线 l 与 x 轴、y 轴围成的 三角形面积为 S(t). (1)求切线 l 的方程; (2)求 S(t)的最大值。 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (e )? ? ?e ,
?x ?x

?? ? t ? ? ?, t ? [0,24] ?6 ? ?? ?? (D) y ? 12 ? 3 sin? t ? ?, t ? [0,24] 2? ? 12

所以切线 l 的斜率为 ? e , 故切线 l 的方程为 y ? e (Ⅱ)令 y=0 得 x=t+1,
?t

?1

? ?e ?t ( x ? t ). 即 e ?t x ? y ? e ?1 (t ? 1) ? 0 。

又令 x=0 得 y ? e (t ? 1) 所以 S(t)= =

?t

1 (t ? 1) ? e ?1 (t ? 1) 2

1 (t ? 1) 2 e ?1 2 1 从而 S ?(t ) ? e ?1 (1 ? t )(1 ? t ). 2 ∵当 t ? (0,1)时, S ?(t ) >0, 当 t ? (1,+∞)时, S ?(t ) <0,
所以 S(t)的最大值为 S(1)=

●先睹为快
1、 快速画出 y ? tan( x ? 分析:一个周期范围: ? 式解得:

三角函数的图象

1 2

?
3 ?

) 在一个周期内的大致图象。 1 1 ? ? 5 x ? ? ? ? ? ? x ? ? ;对称中心横坐标由下 2 3 2 3 3

?
2

1 ? 2 x ? =0 ? x ? ? 。如下图。 2 3 3
2 ? 3

yx

?

?
3

5 ? 3

x

2、 y ? cos(2 x ?

?
2

) 的对称轴、中心坐标、单调增区间。 x 2

3、 要得到 y ? cos( ?

?

4、 sin 2x ? sin x 在(0,2 ? )内的解的个数为________个。 分析:采用图象法:

x ) 的图象,只须把 y ? sin 的图象向____平移____个单位。 4 2

5、 y ? A sin(wx ? ? )( A ? 0, w ? 0) 的图象 上相邻最高点与最低点 的坐标分别 为

5 11 ? ,3) 和 ( ? ,?3) 求图象的解析式。 12 12 6、 y ? ? x cos x 的大致图象为
( y y

O

x

O

x

y

y

O

x

O

x

分析:根据函数的奇偶性与 x 的特殊值对应的 y 的正负可判断出来。 7、 y ? tan 2 x 与 y=2 两相邻的交点间的距离为___________ 方法一:图象法(向量平移) y

?

?
4

O

? 4

? 2

3? x 4

方法二: tan 2 x1 ? tan 2 x 2 ?

tan 2 x1 ? tan(? ? 2 x2 )

? 2 x1 ? ? ? 2 x2 ?| x1 ? x2 |?

?
2

;即一个周期的长度。 y

归纳:相邻相交两点长度为一个周期长度. 8、 y ? 2 cos x( x ? ?0,2? ? 和 y ? 2 构成封闭图形面积是_________. 如图,采用补积法。

O

x

9、 y ? sin(a?x ?

?
4

)( a ? 0) 在 ?? 1,0? 上该函数的图象有且只有一条平行于 y 轴的对

称轴,则 a 的取值范围是多少?

?T 1 ? 4 ? 4a ? 1 ? ?1 5 ? ? a?? , ? 解:设函数的周期为 T,则有 ? ?4 4 ? ?3 T ? 1 ? 1 ?4 4a ? 10、已知 P (1, 3 ) 是 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? 0, | ? |? ? ) 的一个最高点,且 ? f (9 ? x) ? f (9 ? x) ( x ? R) 曲线在(1,9)内与 x 轴有唯一一个交点,求这个函数
的解析式。

分析: A ?

3 ,图象关于 x=9 对称,且 1~9 恰好为半个周期。

11、 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于 x ? ? 法一:

?
6

对称,求 a 的值。

y ? a 2 ? 1 sin(2 x ? ? ) (tan ? ? a) ,由 2 x ? ? ? k? ?

?

5 ? ? ? k? ? ? ? 2 6

a ? tan? ? ? ? ?

3 ; 3

法二:(0, a) 关于直线 x ? ? 得a ? ?

?
6

的对称点 (?

?

2 2 故 , a ) , a ? si( ? ? ) ? a c s( ? ? ) 解 n o 3 3 3

3 3

法 三 : 当

x??

?
6

时 函 数 取 得 最 大 值 或 最 小 值 。

3 2 2 | y |?| sin(? ? ) ? a cos(? ? ) |= a 2 ? 1 ,解得 a ? ? 3 3 3 12、已知关于 x 的方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在 ?0,2? ? 上有且仅有两个不同的实根,
①求 a 的取值范围;②求这两个根的和。 ? y y ? sin(x ? ) 3 O 2?

y??

ax 2

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1 ,①当 y 取最大值时 x 的集合;②该函数的 2 2 图象可由 y ? sin x 的图角经过怎样平移和伸缩变换得到? 解:略。 14、① y ? cos kx 在 ?0,1? 上至少有 50 个最大值,求 k 的取值范围.
13、已知 y ?

略解: 49T ? 1 ? 98? ? 1 , ?| k |? 98? .
|k|

②上题改成至少有 50 个最小值呢? 1 ( 49T ? T ? 1.) 2 此题主要是根据余弦函数的图象,从而求得解.
(15) (2004 年福建省高考第 17 题) 设函数 f(x)=a?b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, (Ⅰ)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

3 sin2x),x∈R.

? ? , ],求 x; 3 3

(Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|<

? )平移后得到函数 y=f(x)的图 2

象,求实数 m、n 的值。 本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技 能,考查运算能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)依题设,f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ 由 1+2sin(2x+
2

? ). 6

3 ? ? )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=. 2 6 6 ? ? ? ? 5? ? ? ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4
(Ⅱ) 函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m, n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象, 即函数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+ ∵|m|<

? ? ,∴m=,n=1. 2 12

? )+1. 12

16. (2004 年浙江省高考) f '(x)是函数 f(x)的导函数, 设 y=f '(x)的图象如右图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是 C

y

y

y

O

1

2

y

y

x

2

O 1

2

x

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(A)

(B)

(C)

(D)

函数的最值
一、求二次函数的条件最值及含未知参数的二次函数的条件最值。 1 1 1. 若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是{x|- ? x ? }.设二次函数 y=ax2+
2 3 1 1 bx +2 在区间 [ - , ] 的最大值为 M ,最小 值为 N, 则 M + N= 2 2

______________

2. 设函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在[0,2]上的最小值是 3,求 a 的值. 3. 已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是 4. 函数 f(x)=|x|x-π x 在[-π ,sinα ]上的最小值是 5.x1 和 x2 是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0 的两实根,则 x12+x22 的最大值是 6. f ( x 2 ? 1) ? x 4 ? x 2 ? 6 则 f (x) 的最小值是 二、分式函数的值域及最值 x ?1 1. x ? (?2,3], 求 (x≠-1)的取值范围 x ?1 x2 ? x ? 1 3x 2.求函数 f ( x) ? 2 的值域 3.求函数 f ( x) ? 2 的值域 x ? x ?1 x ? x ?1 三、利用平均值不等式求函数式的最值:
2 1 1 ? a b ? ab ? a?b ? 2 a2 ? b2 ; 2

2 a?b?c a2 ? b2 ? c2 ?3 abc ? ? ; 1 1 1 3 3 ? ? a b c 32 1 1. x >0,y= x 2 ? 2 x ? 3 的最小值是 。2. x>2 时, y ? x ? 的最小 x?2 x 值 1? x2 4 3. x >0,求 y ? 4 ? x ? 2 的最值。 4. x<0, y ? 的最大值 x x 5.x>0,y>0 且 5x+7y=20,则 xy 的最大值 6. x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的最 值。

7.x>0,y>0 且 x2y=2,则 2x+y 的最小值

8.x ? [0, ] ,则 y=4sinxcos2x 的最 2

?

大值是 9. x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? y ? z, 求x ? y ? z 的最大值与最小值之和
1 1 1 ? t ? ? 1 , g (t ) ? t ? ? t ? ?1 t t t t 求 f(t)的最小值和 g(t)的最大值。 1 1 四、利用函数 y ? x ? 与函数 y ? x ? 的单调性求最值。 x x 8 1.函数 y ? 2 x ? (x>0)的最小值是 当 1≤x≤3 时最小值是 最大 x 值是

10.已知 t>0 , f (t ) ? t ?

1

2.当 1≤x≤3 时函数 y ? 2 x ? 五、数形结合求函数最值。 1.函数 y=|x-3|+|4-x|的最小值 3. u ?

8 最小值是 x

最大值是 , 。

,求函数 y=|x-3|-|4-x|的最大值 。
2

2.已知 x+y+1=0, u ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 的最小值是
x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 5 的最小值是
2 2

4.已知 ? , ? ,? 均为锐角,且的 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1, 求tg?tg?tg? 最 小值是 5.如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 y 的最大值是
x

y 6.(理科)x-2+yi 的模为 3 ,求 的最大值 x x ?1 sin x ? 4 7.求函数 y ? 的最大值 与最小值 。8。x+2y-4=0 求 的 y?3 cos x ? 2 取值范围 x2 y2 9.过椭圆 2 ? 2 ? 1 上任一点作切线交两坐标轴于 A,B 两点,求|AB|的 a b 最小值 x2 y2 ? ? 1 ,则|2x+3y-12|的最大值 10.已知椭圆 最小值 9 4 11.已知 x2+4(y-1)2=4,则 x2+y2 的最大值 最小值 5 12.求函数(x-1)(2-x)2 在[-1, ]上的值域 2 2 2 x y ? ? 1 ,定点 A(1,1) 13. ,B( 5 ,0 ) ,点 P 在椭圆上,求|PA|+|PB| 9 4 的最小值 六、建立目标函数,求函数的最值。 1.如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 2.母线长为 1 的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角等于 3.西北黄土高原用圆柱形集水窑收集雨水,假设集水窑的侧面和底面单位面 积造价相同,而顶盖的造价为底面的两倍,若容积 V 一定,试问:底面半 径 r 与高 h 之比为何值时,该圆柱形集水窑的总造价最小?

4.如图,△ABC 是某屋顶的断面,CD⊥AB,横梁 AB 的长是坚梁 CD 长的 2 倍. 设计时应使 y=tgA+2tgB 保持最小,试确定 D 点的位置,并求 y 的最小值.

sin x cos x 的最大值和最小值。 1 ? sin x ? cos x 6.如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉 淀箱. 污水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出. 设箱体的长度为 a 米, 高度 A 为 b 米. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a, b 的乘积 ab 成反 B 比. 现有制箱材料 60 平方米.问当 a, b 各为多少米时, 经沉 淀后 流出的水中该杂质的质量分数最小(A, B 孔的面积忽略 不计). ? 7.(理科)设复数 z ? 3cos? ? i ? 2 sin? ,求函数 y ? ? ? arg z (0 ? ? ? ) 的最 2 大值及对应的 ? 的值。 8.用铁皮裁剪成两个圆和一个长方形,焊成一个体积固定的密封圆柱形 容器, (Ⅰ)为使用料最省,应如何设计这个圆柱体的形状? (Ⅱ)为使接缝线最短,应如何设计这个圆柱体的形状 9.已知 tan? , tan ? 是关于 x 的方程 mx 2 ? 2 x 7m ? 3 ? 2m ? 0(m ? R) 的两个 实根, 求 tan(? ? ? ) 的取值范围。

5.求函数 y ?

10.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 (平面图如下) ,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米。如果池外圈周壁 建造单价为每米 400 元, 中间两条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单 价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽,使总 造价最低,并求出最低造价。

●旁征博引
-1

函数部分规律性结论


结论 1、若 f(a)=b,则 f (b)=a,反之也成立。
【例 1】 (2001 全国)函函数 y=cosx+1(-π≤x≤0)的反函数是( A、 ( ) A、=-arccosx(x-1)(0≤x≤2) B、y=π-arccos(x-1)(0≤x≤2) C、arccos(x-1) (0≤x≤2)

D、π+ arccos(x-1)(0≤x≤2) 取点(-π/3,3/2)在原函数上,…,选 A 【例 2】 (2001 上海) 已知 f(x)=2x+b 的反函数为 f-1(x)若 f-1(x)的图象过 Q (5, , b=__ 2) 则

x 1 , 则f ?1 ( ) ? 1; x?2 3 结论 2、对数式 logax 的符号满足“同正异负” 与 x 同在(0,1)或(1, 。a +≦)时为正,否则为负。
【例 3】 (2001 上海春)若函数 f(x)= 【例 4】 (2001 全国)若定义在区间(-1,0)的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取 值范围是: (0,1/2) 【例 5】 (1997 上海)三个数 60.7,0.76,log0.76 的大小顺序是: log0.76<0, 0<0.76<1, 60.7>1

结论 3 两个积函数的奇偶性满足“同偶异奇” 。
【 例 6 】 ( 93 全 国 )

2 ? ? F ( x) ? ?1 ? x ? f ( x)?x ? 0?是 ? 2 ?1?
A、是奇函数 B、是偶函数 是奇函数也不是偶函数 选 A。令 g ( x) ? 1 ?
x

,偶 f ( x)不 函 且

恒, 则f ( x) 等 数


D、不



C、可能是奇函数也可能是偶函数

【例 7】 (1998 年全国)若 f(x)sinx 是周期为π的奇函数,则 f(x)可以是( B ) A、sinx B、cosx C、sin2x D、cos2x

2 ? g (? x) ? g ( x) ? 0 ?g(x)为奇,?选 A 2 ?1

结论 4 复合函数的单调性满足“同增异减” 例 8 、 95 高 考 ) 已 知 y ? log a (2 ? ax)在?01?上是减函数, 则a的取值范围是 (
( ) 。 B、 (1,2) C、 (0,2) A、 (0,1) 【解】由 a 底数,则 a>0 故 t=2-ax 在[0,1]是减函数,又 y ? log a ?2 ? ax? 在[0,1]为 减函数,?y=logat 是增函数。得 a>1,又 2-ax>0 得 1<a<2.选 B D、 ?2,???

结论 5 单调函数的运算性质:
f(x)与 f(x)+c 具有同样的的单调性 f(x)与 Cf(x)(C>0)具有同样的的单调性,C<0 时,单调性相反; 当 f9x)恒不等于零时,f(x)与 1/f(x)具有相反的单调性; 当 f(x)、g(x)都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)都是增(减)函数; 当 f(x)、g(x)都是增(减)函数,则 f(x)g(x)当两者都是恒大于零时也是增(减) 函数,当两者都是恒小于零时,是减(增)函数。 【例 9】 (2001 年全国)设 f(x)、g(x)都是单调函数,有如下四个命题: ① 若 f(x)单调增,g(x)单调增,则 f(x)-g(x)单调增; ② 若 f(x)单调增,g(x)单调减,则 f(x)-g(x)单调增; ③ 若 f(x)单调减,g(x)单调增,则 f(x)-g(x)单调减; ① ② ③ ④ ⑤

④ 若 f(x)单调减,g(x)单调减,则 f(x)-g(x)单调减; 其中正确的命题是( C ) A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

结论六 若函数 y=f(x)(x∈R)则 y=f(x)关于 x=a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f ( x) ? f (2a ? x)
【 例 10 】 92 年 全 国 ) 如 果 函 数 f ( x) ? x ? bx ? c 对 任 意 实 数 t 都 有 (
2

f (2 ? t ) ? f (2 ? t )
那么: A、f(2)<f(1)<f(4) B、f(1)<f(2)<f(4) C、f(2)<f(1)<f(4) D、f(4)<f(2)<f(1) 【解】由题知,函数关于 x=2 对称,又开口向上,故当 x≥2 时,严格递增,故选 A 【例 11】 (91 年上海)设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x≤1 时,y=x2+1,则 x>1 时,y=____________. 【解】≧函数图象关于 x=1 对称,从结论知 f(x)=f(2-x) 设 x>1,则 2-x<1,又 x≤1 时,y=x2+1,?f(x)=f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5.

结论 7 设函数 y=f(x)(x∈R),则函数 y=f(a+mx)与函数 y=f(b-mx)(m≠0)的 b?a 图象关于直线 x ? 对称。 对称方程可记为a ? mx ? b ? mx 。 2m
【例 12】 (97 年全国)设函数 y=f(x)定义在实数集上,则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象 关于( )对称。 A、直线 y=0 B、直线 x=0 C、直线 y=1 D、直线 x=1 由结论 3 知,对称直线方程为 x-1=1-x,选 D

? ? b? ? b b 结论 8 函 数 f ( x) ? ax ? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ? ?,? ?和? ,?? ? 上 是 增 函 ? ? a? ? a x ? ? 数;在

? b ? ? b? ,0 ?和? 0, ?? ? 上是减函数。 a ? ? a? ? ? ?
【例 13】 (2000 年上海高考)已知函数 f ( x) ? ① 当 a=1/2 时,求函数 f(x)的最小值;

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,?? ? , x

② 若对任意 x∈ ?1,?? ? ,f(x)>0 恒成立,试求实数α的取值范围。

2 ? ? ? 1 ,所以 f(x)在 【解】①函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 2在 ? 2 ,?? ? 上是增函数,而 ? 2 2x 2 ? ?

?1,??? 上是增函数,从而 f(x) ②f(x)=x+ a ? 2 ,x∈ ?1,?? ? ,
x

min

=f(1)=7/2.

当 a≥1 时,函数的值恒为正,故当 x=1 时,f(x)min=3+α; 故当仅当 f(x)min=3+α>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,?α>-3.


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