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2018届高三上学期第一次月考数学(文科)试题


白云中学 2018 届高三上学期 第一次月考数学(文科)试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x 2 ? 1 , B ? ?x log 2 x ? 1?,则 A ? B 等于( A. ?x ? 1 ? x ? 1? B. ?x 0 ? x ? 1? C. ?x 0 ? x ? 2?

?

?



D. ?x ? 1 ? x ? 2?

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi=2-2i,则 z =
(A) -2-2i (B) 2+2i (C) 2-i (D) 2+i

3 设命题 p : ?n ? N , n 2 ? 2 n ,则 ? p 为( A. ?n ? N , n 2 ? 2 n C. ?n ? N , n 2 ? 2 n



B. ?n ? N , n 2 ? 2 n D. ?n ? N , n 2 ? 2 n )

4 设等比数列 ?an ? 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则 a4 = (

A. 8 5

B.-8

C. 1

D.

-1 )
(B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数

1 f ( x) ? 3x ? ( ) x 3 ,则 f ( x) =( 已知函数

(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数

6.直线 y ? x ? 1 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 (r > 0) 相切,则 r 的值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C)

2

(D) 8

7 已知命题 p: ?x>0,ln ? x ? 1? >0 ;命题 q:若 a>b,则 a2>b2 ,下列命题为真命

题的是( (A) p ? q
8.函数 f ( x) ?

) (B) p ? ?q (C) )
?

p ?q

(D) ? p ? ?q

x3 的图象大致是( 3x ? 1

9 设函数 f ( x) ? ?

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1 ,则 f (?2) ? f (log 2 12) 等于( 2 x ?1 , x ? 1 ?

)

A.9

B.6

C.3 )

D.12

10 函数 f ( x) ? e x ? 4x ? 3 的零点所在的区间为( A. ( ? ,0)
1 4

B. ( 0, )

1 4

C. ( , )

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

g ( x) ? xf ( x) .若 a ? g (? log 2 5.1) , c ? g (3) , b ? g (20.8 ) , 11 已知奇函数 f ( x) 在 R 上是增函数,

则 a,b,c 的大小关系为 A b?a?c B c?b?a
2

C a?b?c

D b?c?a

12 若函数 f(x) = x - 2x + m 在 [3 ,+∞)上的最小值为 1 ,则实数 m 的值为

( A.-3

) B.-2 C.-1 D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡的相 应位置. 13. 若 函 数 f ( x) ? ax 3 ? x ? 1 的 图 像 在 (1, f (1)) 处 的 切 线 过 点 (2,7) , 则 a ? _____________.
14.函数 f ( x) 的定义域为 [1,2] ,则 f (2 x ? 2) 的定义域为_____________.

15.若平面向量 a 与 b 的夹角为 900,a = (2,0),|b|=1,则|a + 2b|=_____________.
( x ? 1) 2 ? sin x x2 ?1 16 已知函数 f(x)= ,其导函数为 f?(x),则
f (2015) ? f '(2015) ? f (?2015) ? f '(?2015) ? ______ 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)
?? ? 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 3? ?
(1)求 ? 和函数的最小值 (2)求函数 y ? f ? x ? 的单调递增区间.

18.(本小题满分 12 分)
已 知 命 题 P : 函 数 f ( x) 为 (0,??) 上 单 调 减 函 数 , 实 数 m 满 足 不 等 式

f (m ? 1) ? f (3 ? 2m) .命题 Q :当 x ? [0, ] ,函数 m ? sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? a 。若命题 2
P 是命题 Q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

?

19.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? k ? 2 ? x 为定义域为 R 上的偶函数. (Ⅰ)求 k 的值和不等式 f ( x ) ?
5 的解集; 2

(Ⅱ)若对于任意 x ? R ,不等式 f (2x) ? mf ( x) ? 6 恒成立,求实数 m 的最大值.

20(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC. (1)求 B 的大小; (2)设∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,AD=2 ,BD=1,求 sin∠BAC 的值.

21.(本小题满分 12 分)
设函数 f ? x ? ?

3x 2 ? ax ?a ? R? ex

(1) 若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值, 确定 a 的值, 并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。

?

?

选做题

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
t ? ?x ? 2 ? , 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 。在以坐标原点为极 2 ( t 为参数) ? ? y ? ?t ,
点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (I)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (II)已知点 A(0,1).若点 P 是直线 l 上一动点, 过点 P 作曲线 C 的两条切线, 切点分别为 M, N,求四边形 AMPN 面积的最小值。

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
己知不等式|2x-l|+|x+1|<2 的解集为 M. (I)求集合 M; (II)若整数 m ? M ,正数 a,b,c 满足 a+6+4c = 2m,证明:

1 1 1 ? ? ? 8. a b c

白云中学 2018 届高三上学期 第一次月考数学(文科)试题答案
1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 B 7 B 8 C 9 A 10 C 11 A 12 B

二、填空题 13、1 14、 [log 2 3,2] 15、√ 16、2

三、解答题
17 解: f ( x) ? 2sin ? x( cos ? x ?

1 2

3 sin ? x) ? sin 2? x 2

1 3 ? sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x 2 2
3 3 3 ? 3 ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? 3 sin(2? x ? ) ? 2 2 2 6 2
(1)因为函数最小正周期为 ? ,则 T ?

2? ? ? ,则 ? ? 1 ,最小值为 ? 3 | 2? | 2
3 2

(2)由 (1)得 f ( x) ? 3 sin(2 x ? 令?

?
6

)?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? ( k ? Z )

所以函数的增区间为 [?

?
6

? k? ,

?
3

? k? ](k ? Z )

18【解析】设命题 P,Q 所对应集合分别为 A,B.
? m ?1 ? 0 2 3 2 3 ? P: ? 3 ? 2m ? 0 ? ? m ? ? A ? ( , ) 3 2 3 2 ? m ? 1 ? 3 ? 2m ?

Q: m ? sin 2 x ? 2sin x ? 1 ? a ? (sin x ? 1) 2 ? a ? [a, a ? 1], B ? [a, a ? 1]
2 ? a? ? 1 2 ? 3 A? B?? ? ?a? 3 3 ? ? a ?1 2 ? ? 2 由题意得:
x ?x 19(1) k ? 1 , 2 ? 2 ?

5 ,解集 {x | x ? 1或x ? ?1} 2

2 2 x ? 2 ?2 x ? 6 4 x ?x (2) m ? ,令 t ? 2 ? 2 , t ? 2 , g (t ) ? t ? ? 4 ,当且仅当 t ? 2 取最小值 x ?x t 2 ?2
m ? 4 ,即 m 的最大值 4.
20.解: (本小题满分 12 分)

(1)在△ABC 中,∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC, ∴a2+c2=b2﹣ac,… ∴cosB= ∵B∈(0,π ) ,… ∴B= .… , = ,… = ,… = =﹣ =﹣ ,…

(2)在△ABD 中,由正弦定理: ∴sin∠BAD= =

∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2× ∴sin∠BAC=
21(1)对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ?

=

? 6 x ? a ? e x ? ?3x2 ? ax ? e x

?e ?

x 2

?3x 2 ? ? 6 ? a ? x ? a ? ex

因为 f ( x ) 在 x = 0 处取得极值,所以 f ?(0) ? 0 ,即 a = 0 .

当 a = 0 时 , f (x ) =

3x 2 ?3x 2 ? 6 x 3 3 ? , f ( x ) ? , 故 f (1)= , f ?(1) ? , 从 而 f ( x ) 在 点 x x e e e e
3 3 = ( x - 1) ,化简得 3x - ey = 0 e e

( 1,f ( 1 ) )处的切线方程为 y (2)由(1)得, f ?( x) ?

?3x 2 ? ? 6 ? a ? x ? a , ex

令 g( x) = - 3x + 6 - a x + a

2

(

)

由 g( x) = 0 ,解得 x1 =

6- a6

a 2 + 36

6 - a + a 2 + 36 . , x2 = 6

当 x < x1 时, g( x) < 0 ,故 f ( x ) 为减函数; 当 x1 < x < x2 时, g( x) > 0 ,故 f ( x ) 为增函数; 当 x > x2 时, g( x) < 0 ,故 f ( x ) 为减函数;

6 ? a ? a 2 ? 36 9 由 f ( x ) 在 [3, ??) 上为减函数,知 x2 ? ? 3 ,解得 a ? ? 2 6
故 a 的取值范围为 [? , ??) .

9 2


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