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新课标I版02期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编 专题03 导数


一.基础题组
1. 【河北衡水中学 2014 届高三上学期期中考试】若函数 f ( x) ? ? e ax (a>0, b>0) 的图象 在 x ? 0 处的切线与圆 x ? y ? 1相切,则 a ? b 的最大值是(
2 2

1 b



(A)4

(B) 2 2

(C)2

(D) 2

2. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度上学期二调高三数学试卷】如果 f ?(x) 是二次函数, 且

f ?(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线 y ? f (x) 上任一点的切线的倾斜角

? 的取值范围是
A. (0,

( B. [



?
3

]

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

D. [

?
3

,? )

【答案】B 【解析】 试题分析:由题意可设 f '( x) ? a( x ? 1) ? 3, (a ? 0) ,
2

2 即函数切线的斜率为 k ? f '( x) ? a( x ? 1) ? 3 ? 3 ,即 tan ? ? 3 ,所以

?
3

?? ?

?
2

.

考点:1.用导数求切线斜率;2.解三角不等式.

1

3. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】过坐标原点与曲线 y ? ln x 相切的直线方 程为 .

4. 【山西省忻州一中 2013-2014 学年高三上学期期中考试】函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是_________.

5. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考)考试】若 是 .

?

a

0

xdx ? 1 ,则实数 a 的值

6. 【河南省豫东、豫北十所名校 2014 届高三阶段性测试(一) 】过点(-1,1)与曲线

f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? 1 相切的直线有

条(以数字作答).
2

7. 【河南中原名校 2013-2014 学年上学期期中联考】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= ax -(a+2)x+lnx.
2

(1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e)上的最小值为-2,求 a 的取值范围.

(2)函数f ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? ln x的定义域是 ? 0,? ?, + 当a ? 0时,f ? ? x ? ? 2ax ? ? a ? 2 ? ?
2 1 2ax ? ? a ? 2 ? ? 1 ? ? x ? 0 ? ......5分 x x

令f ? ? x ? ? 0,即f ? ? x ? ?

2ax 2 ? ? a ? 2 ? ? 1

x x 1 1 所以x ? 或x ? .???.............................................................6分 2 a

=

? 2 x ? 1?? ax ? 1? ? 0,

3

8. 【河南省豫东、豫北十所名校 2014 届高三阶段性测试(一) 】(本小题满分 13 分)已知函 数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) .
2

(1)若 f ( x) 的极小值为 1,求 a 的值. (2)若对任意 x ? (0,1] ,都有 f ( x) ? 1 成立,求 a 的取值范围.

4

3

f ( x) 单调递减;当 x ? (

1 , ??) 时,由 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 3a

考点:1.求函数的导数和利用导数求函数的单调性; (2)利用导数由不等式恒成立问题求出参 数. 9. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考)考试】 (本小题满分 12 分) 若 f ( x) ? ?

? x 2 ? a (ln x ? 1), (0 ? x ? e)
2 ? x ? a (ln x ? 1), ( x ? e)

,其中 a ? R .

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [e, e ] 上的最大值;
2

(2)当 a ? 0 时,若 x ? [1, ??), f ( x) ?
4

3 a 恒成立,求 a 的取值范围. 2

【答案】 (1) f ( x) max ? e ? 2 ; (2) (0, 2] . 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性,最值和不等式等基础知 识,考查函数思想,分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,当 a ? ?2 时,
5

函数解析式确定,并不是分段函数,这就降低了试题的难度,求导数,判断所求区间上函数 的单调性,再求最值,第一问较简单;第二问,由于函数 f ( x) 是分段函数,所以根据函数定 义域把所求区间从 e 断开,充分考查了分类讨论思想,求出每段范围内函数的最小值来解决恒 成立问题.

(ⅲ)当

a ? e ,即 a ? 2e2 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a 在区间 [1, e] 上为减函数, 2
2

故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e .

6

二.能力题组
1. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度上学期二调高三数学试卷】已知函数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P, 若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横
坐标为 xn ,则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +…+ log 2013 x2012 的值为( A.-1 B. 1 ? log 2013 2012 C. ? log 2013 2012 ) D.1

2. 【河北衡水中学2013~2014学年度上学期二调高三数学试卷】 由曲线 y ? sin x, y ? cos x 与 直线 x ? 0, x ?

?
2

所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是

.

7

3. 【山西省忻州一中 2013-2014 学年高三上学期期中考试】 (本小题满分 12 分)某出版社新 出版一本高考复习用书,该书的成本为 5 元/本,经销过程中每本书需付给代理商 m 元(1≤m ≤3)的劳务费,经出版社研究决定,新书投放市场后定价为 x 元/本(9≤ x ≤11) ,预计一年 的销售量为 (20 ? x) 万本.
2

(1)求该出版社一年的利润 L (万元)与每本书的定价 x 的函数关系式; (2)当每本书的定价为多少元时,该出版社一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 R(m) .

利用导数求函数最值,先求导数,令导数为 0,解出方程的根,由于这是实际问题,应考虑根 必须在定义域内,讨论根 10 ?

2 m 是否在 [9,11] 内,分 2 种情况,分别判断单调性求出最值, 3
8

最后综合上述 2 种情况得出结论.

4. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2ln x ? ax ? a(a ? R) .
(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,证明:当 0 ? x1 ? x2 时,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? 2( ? 1) . x2 ? x1 x1

9

当 0 ? x1 ? x2 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ln

x2 ? 2( x2 ? x1 ) ? 2 x1

? 2(

x2 1 ? 1) ? 2( x2 ? x1 ) ? 2 ? 2( ? 1)( x2 ? x1 ) , x1 x1

10

所以

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? 2( ? 1) . x2 ? x1 x1

…………………12 分

考点:1.利用导数求函数的单调性;2.恒成立问题;3.分类讨论思想和放缩法的应用.

三.拔高题组
1. 【河南省豫东、豫北十所名校 2014 届高三阶段性测试(一) 】若 P=

?? sin xdx ,
2

?

Q=

?? (? cos x)dx ,R= ??
2

?

?

2

1 dx ,则 P,Q,R 的大小关系是( ) x
D.P<Q<R

A.P=Q>R

B.P=Q<R C. P>Q>R

2.【山西省忻州一中 2013-2014 学年高三上学期期中考试】 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

的导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f (x) 的值域为 [0,??) ,则

f (1) 的最小值为( f ' ( 0)
D.



A.3 【答案】C 【解析】

B.

5 2

C.2

3 [来 2

试题分析:∵ f ( x) ? 2ax ? b ,∵ f (0) ? 0 ,∴ b ? 0 ,∵ f (x) 的值域为 [0,??) ,∴
' '

4ac ? b 2 ?0, 4a
2 ∴ 4ac ? b ,∴ b ? 2 ac ,∴

f (1) a ? b ? c a ? c a?c 2 ac ? ? ?1 ? +1 ? ?1 ? 2 . ' f (0) b b 2 ac 2 ac

考点:1.导数的运算;2.二次函数的顶点坐标;3.基本不等式.

11

3. 【河南中原名校 2013-2014 学年上学期期中联考】在平面直角坐标系中,记抛物线 y=x - x 与 x 轴所围成的平面区域为 M,该抛物线与直线 y=kx(k>0)所围成的平面区域为 A,
2

向区域 M 内随机抛掷一点 P,若点 P 落在区域 A 内的概率为

8 ,则 k 的值为__________. 27

考点:定积分的计算. 4. 【河南中原名校 2013-2014 学年上学期期中联考】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= x +
2

1 1 ,g(x)= ln(2ex) (其中 e 为自然对数的底数) 4 2

(1)求 y=f(x)-g(x) x>0)的最小值; ( (2)是否存在一次函数 h(x)=kx+b 使得 f(x)≥h(x)且 h(x)≥g(x)对一切 x>0 恒 成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由:

a ( (3) 数列{ an }中,1=1, n =g an ?1 ) n≥2) 求证: < an+1 < an <1 且 a ( ,

1 2

? (a
k ?1

n

k

? ak+1 )gak+1

12



3 . 8

【答案】 (1) 最小值0 ; (2)见解析; (3)见解析. 【解析】

13

1 ? an ? 1(n ? 2), (3)先证 ?a n ?递减且 2
由 ( 2) 知 x > 1 1 时 g ? x ? ? x , 又 g ? x ? 在 ? 0, ? ? 上 递 增 , 所 以 当 + ? x 0 ? 1时 2 2 1 1 ? 1 ? 总有 = g ? ? ? g ? x 0 ? ? x 0 ? 1, 即 ? g ? x 0 ? ? 1也 成 立 。 2 2 ? 2 ?

1 下面用数学归纳法证明 ? an ? 1(n ? 2). 2 1 ?1? 1 (1)n ? 2时,因为 =g ? ? ? g ? a1 ? =g ?1? ? 1, 所以 ? a2 ? 1成立; 2 ? 2? 2

1 (2)假设n ? k ? k ? N ? , k ? 2 ? 时结论成立,即 ? ak ? 1? k ? 2 ? , 2 1 由于x ? 时,g ? x ? ? x, 又g ? x ? 在 ? 0,? ? 上递增, + 2
1 ?1? 1 则1 ? ak ? g ? ak ? ? g ? ? ? , 即 ? ak +1 ? 1也成立。 2 ?2? 2 1 1 ( 由(1) 2)知, ? an ? 1( n ? 2)恒成立;而 ? an ? 1时an?1 ? g ? an ? ? an, 2 2
所以?an ? 递减。 综上所述 1 ? ??? ? an ? an -1 ? ??? ? a1 =1, ??????..............................9分 2

14

5. 【河北衡水中学 2014 届高三上学期期中考试】已知函数 f(x)=alnx+ )内有极值. (I)求实数 a 的取值范围;

(a≠0)在(0,

(II)若 x1∈(0, ) 2∈(2,+∞)且 a∈[ ,2]时,求证:f(x2)﹣f(x1)≥ln2+ . ,x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? [ln ? 2 ? ? ?
传递性得到求证的表达式.

1

?

] ,再求函数

的最小值, 通过不等式的

试题解析: (I)由 f (x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) ,得: x ?1
,∴ g (0) ? 1 ? 0 .



∵a≠0,令

15







则0 ? a ? 2 .

考点:1.二次函数的性质;2.零点问题;3.利用导数判断函数的单调区间;4. 利用导数判断 函数的最值;5.不等式的性质.

16

6. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度上学期二调高三数学试卷】 (本题 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取 值范围.

⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .

17

7. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度上学期二调高三数学试卷】 (本题 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? bx ? a ln x
2

(1) 若 x=2 是函数 f(x)的极值点,1 和 x 0 是函数 f (x) 的两个不同零点,且
18

x0 ? (n, n ? 1), n ? N ,求 n ;
(2) 若对任意 b ? ?? 2,?1? , 都存在 x ? (1, e) (e 为自然对数的底数), 使得 f ( x) ? 0 成立, 求 实数 a 的取值范围.

故函数 f ( x) 至多有两个零点,其中 1? (0, 2), x0 ? (2, ??) , 因为 f ? 2 ? ? f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 6 ?1 ? ln 3? ? 0

f ? 4 ? ? 6 ? 2 ? ln 4 ? ? 6ln

e2 ? 0 ,所以 x0 ? ? 3, 4 ? ,故 n ? 3 . 4
19

8. 【山西省忻州一中 2013-2014 学年高三上学期期中考试】 (本小题满分 12 分)设函数

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 . x f ( x) (1)讨论函数 h( x) ? 的单调性; x f ( x) ?
(2)若存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.
20

1 2

考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
3 2

2 3

x
g '( x)
g ( x)

0

2 (0, ) 3

2 3
0 极 (最) 小值 ? 85

2 ( , 2] 2 3

0

?
递减

?
27

?3

递增

由上表可知:

2 85 g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 3 27

21

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;

112 , 27

…………9 分 …………10 分

22


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