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141[1].1正弦函数的图像和性质(第一课时)


正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tgα的几何意义. 想一想?

y
1
P
T

正弦线MP 余弦线OM

o

M

1

A

x

正切线AT

三角问题

几何问题

正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6
1 2

x
y

0

?
3
3 2

?
2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1

?1 2

?

3 2

?1 ?

3 2

?1 2

0

(2) 描点

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用三角函数线 1.函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ? 图象的几何作法 作三角函数图象 . . . . 描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点( x, sin x),连线. 几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线,巧妙地
如: x ? 3 查表 y ? sin 3 ? 0.8660 移动到直角坐标系内,从而确定对应的点 (x,sinx).
?

?

y
1

描点 ( ? ,0.8660 ) 3
?
2

y

P
?
3

0

?

?1 -

-

-

2?

3? 2

x

O M 1x

几何法: 作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线 ? ? 如: x ? 3 作 3 的正弦线 MP, 平移定点 ( x, MP)

正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 y ? sin x, x ? 0,2? 图象的几何作法
y

?

?

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
p1/
-

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

-

6?
-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线(平移得到) 余弦曲线(几何作法)

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-

(五点作图法)

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点 (0,0) (? ,0) (2? ,0)
5? 3 11? 6

?

-

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2?

? 图象的最低点 ( 32

x

,?1)

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-

图象的最高点 与x轴的交点

1-

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

( ? ,0) ( 32? ,0) x 2? 2 图象的最低点 (? ,?1)

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] 解: (1)列表 (2)
xx
sin cos xx ?sin x x 1 cos ?
0 0
? ? 22

描点作图
?? 0 -1 11
3? 3? 2 2

2? 2?

yy
2-

10 1 -1

01 02

? 01 00

1 0 1 -1

1- 1
? ?1 - 1

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

oo

? 2

??

3? 3? 2

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? ? 2

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习:(1)作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 (2)作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图
(1) y

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o

-

-1

2?
-

4?
-

6?
-

由于 y ? cos x ? cos(? x) ? sin[ ? (? x)] ? sin(x ?

?

?
2

所以余弦函数

是同一个函数;余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到.

? y ? cos x, x ? R与函数 y ? sin(x ? ), x ? R 2 ?
2
2

)

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正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1

p1/

y

余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
y
1-

-

o1

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-1

-

-

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1

p1/

y

(1) 作法: 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
3

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

y
Q1

1-

Q2

-

-

o1

-

M 2 M 1-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

l

正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

-1 -

o

2?
-

4?
-

6?
-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

-

x

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正弦函数.余弦函数的图象和性质

例1 用“五点法”画出下列函数的简图: (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π ] .

x sinx

0
0

p 2

p
0

3p 2

2p
0

1

-1

1+sinx
y 2 1

1

2

1

0

1

y=1+sinx
3p 2

π O -1

2π x

p 2

x cosx -cosx
y

0 1 -1

p 2

p
-1 1

3p 2

2p
1 -1

0 0

0 0

y=-cosx
1 O -1
3p 2

2π x

p 2

π

例2 当x∈[0,2π ]时,求不等式
1 的解集. cos x ? y 2
1

y =
O -1

? 2

π

1 2

?? 2



x

p 5p [0, ] U [ , 2p ] 3 3

课堂小结 1.正、余弦函数的图象每相隔2π 个单位重复出现, 因此,只要记住它们在[0,2π ]内的图象形态,就可 以画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题的基 本要求,用“五点法”作图是常用的方法.

3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础,也是解决有关三角函数问题的工具,这是一种 数形结合的数学思想.


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