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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第5节 抛物线课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 8 篇 第 5 节 抛 物线课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 抛物线的定义与应用 抛物线的标准方程与性质 抛物线的综合问题 题号 2、9、14 1、3、5、12 4、6、7、8、10、11、13、15、16

基础过关 一、选择题 1.(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y =x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|= x0, 则 x0 等于( (A)1 A ) (C)4 (D)8
2

(B)2

解析:作 AM⊥准线 l,

根据抛物线定义|AF|=|AM|, ∵抛物线方程为 y =x, 则 2p=1,p= ,
2

∴准线 l 方程为 x=- ,

则有 x0=x0+ , ∴x0=1.故选 A.

1

2.(2014 成都模拟)抛物线 y =8x 的焦点到直线 x(A)2 (B)2 (C) (D)1

2

y=0 的距离是( D )

解析:抛物线 y =8x 的焦点(2,0)到直线 x-

2

y=0 的距离,d=

=1.

3.(2014 湖州模拟)已知双曲线 C1: - =1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x =2py(p>0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( D ) (A)x =
2 2

2

y

(B)x =
2

2

y

(C)x =8y (D)x =16y 解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x,

由于 =

=

=2,

所以 =

,所以双曲线的渐近线方程为 y=±

x.

抛物线的焦点坐标为(0, ),

所以 =2,则 p=8, 所以抛物线方程为 x =16y. 4.(2014 浙江省宁波模拟)若椭圆 + =1 的右焦点与抛物线 y =2px 的焦点重合,则 p 的值为 ( C ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
2 2

解析:椭圆 + =1 的右焦点坐标为(2,0),

2

所以 =2, 解得 p=4. 5.(2014 高考辽宁卷)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( C (A)(B)-1 ) (C)(D)2

解析:因为点 A 在抛物线的准线上,所以- =-2,所以该抛物线的焦点 F(2,0),所以 kAF= 故选 C.

=- .

6.(2014 高考新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|等于( (A) (B)6 (C)12 C ) (D)7

2

解析:抛物线 C:y =3x 的焦点为 F( ,0),

2

所以 AB 所在的直线方程为 y= (x- ),

将 y= (x- )代入 y =3x,

2

消去 y 整理得 x - x+ =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得 x1+x2= ,

2

由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p= + =12, 故选 C. 7.(2014 北京西城模拟)设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若 |AF|=3|BF|,则 l 的方程为( C )
2

3

(A)y=x-1 或 y=-x+1 (B)y= (x-1)或 y=- (x-1)

(C)y=

(x-1)或 y=-

(x-1)

(D)y= (x-1)或 y=- (x-1) 解析:抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0), 准线方程为 x=-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则因为|AF|=3|BF|, 所以 x1+1=3(x2+1), 所以 x1=3x2+2, 因为|y1|=3|y2|,x1=9x2, 所以 x1=3,x2= ,
2

当 x1=3 时, =12, 所以此时 y1=± 若 y1=2 , =± 2 .

则 A(3,2

),B( ,-

),

此时 kAB=

, (x-1).

此时直线方程为 y= 若 y1=-2 ,

则 A(3,-2

),B( ,

),

此时 kAB=-

, (x-1).

此时直线方程为 y=-

4

8.(2014 北京市东城质检)已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,抛物

2

线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= (A)4 (B)8 (C)16 (D)32

|AF|,则△AFK 的面积为( D

)

解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为( ,0),

所以 =4,即 p=8. 所以抛物线方程为 y =16x,焦点 F(4,0),
2

准线方程 x=-4, 即 K(-4,0),不妨设 A( ,y),y>0, 过 A 作 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知|AM|=|AF|, 所以|AK|= |AF|= |AM|,

即|AM|=|MK|, 所以 -(-4)=y, 整理得 y -16y+64=0, 即(y-8) =0, 所以 y=8, 所以 S△AFK= |KF|y= ?8?8=32. 二、填空题 9.(2014 山东临沂模拟)若抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)则 p= 为 .
2 2 2

;准线方程

5

解析: =1,所以 p=2,准线方程为 x=-1. 答案:2 x=-1 10.(2014 福州模拟)已知双曲线 - =1 的一个焦点与抛线线 y =4
2

x 的焦点重合,且双曲

线的离心率等于

,则该双曲线的方程为

.

解析:抛物线 y =4

2

x 的焦点(

,0),

e=

=

,

∴a=3,b=1. ∴该双曲线的方程为 -y =1.
2

答案: -y =1 11.(2014 高考湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围 是 .

2

解析:由题意可知机器人行进的轨迹为一抛物线, 其轨迹方程为 y =4x, 过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1), 由题意知直线与抛物线无交点, 联立消去 y 得 k x +(2k -4)x+k =0, 则Δ =(2k -4) -4k <0, 所以 k >1,得 k>1 或 k<-1. 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 三、解答题 12.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x-4 所得的弦长|AB|=3 程. ,求此抛物线方
2 2 2 4 2 2 2 2 2

6

解:设所求的抛物线方程为 y =ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线 y=2x-4 代入 y =ax, 得 4x -(a+16)x+16=0, 由Δ =(a+16) -256>0,得 a>0 或 a<-32. 又 x1+x2= ,x1x2=4,
2 2

2

2

∴|AB|=

=

=3

,
2

∴5[(

) -16]=45,

∴a=4 或 a=-36. 故所求的抛物线方程为 y =4x 或 y =-36x. 13.(2014 山东临沂二模)如图,已知直线与抛物线 y =2px(p>0)相交于 A、 B 两点,且 OA⊥OB,OD ⊥AB 交 AB 于 D,且点 D 的坐标为(3, ).
2 2 2

(1)求 p 的值; (2)若 F 为抛物线的焦点,M 为抛物线上任一点,求|MD|+|MF|的最小值. 解:(1)设 A( ,y1),B( ,y2),kOD= ,则 kAB=,直线 AB 的方程为 y=(x-3),即

x+y-4

=0,将 x= 代入上式,整理得

y +2py-8

2

p=0,

∴y1y2=-8p,由 OA⊥OB 得

+y1y2=0,即 y1y2+4p =0,∴-8p+4p =0,又 p>0,则 p=2.

2

2

7

(2)由抛物线定义知|MD|+|MF|的最小值为 D 点到抛物线 y =4x 准线的距离, 又准线方程为 x=-1,因此|MD|+|MF|的最小值为 4. 能力提升 14.已知 P、Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P、Q 的横坐标分别为 4、-2,过 P、Q 分别作抛物线 的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为
2 2 2

2

.

解析:由于 P、 Q 为抛物线 x =2y,即 y= x 上的点,且横坐标分别为 4、 -2,则 P(4,8),Q(-2,2), 从而在点 P 处的切线斜率 k1=4.据点斜式,得曲线在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4);同理, 曲线在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2);将这两个方程联立,解得交点 A 的纵坐标为-4. 答案:-4 15.(2014 高考浙江卷)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x =4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,
2

点 M 为 AB 的中点,

=3

.

(1)若|PF|=3,求点 M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值. 解:(1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得 y0=2, 所以 P(2 ,2)或 P(-2 ,2),



=3

,得

M(-

, )或 M(

, ).

(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由 x -4kx-4m=0,
2



8

于是Δ =16k +16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 的中点 M 的坐标为(2k,2k +m),
2

2



=3

得,
2

(-x0,1-y0)=3(2k,2k +m-1), 所以 由 =4y0 得

k =- m+ ,

2

由Δ >0,k ≥0,得- <m≤ .

2

又因为|AB|=4

?

, ,

点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d=

所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1|

=

,

记 f(m)=3m -5m +m+1(- <m≤ ), 令 f′(m)=9m -10m+1=0,解得 m1= ,m2=1,
2

3

2

可得 f(m)在(- , )上是增函数,在( ,1)上是减函数,在(1, )上是增函数,

又 f( )=

>f( ).

所以,当 m= 时,f(m)取到最大值

,此时 k=±

.

9

所以,△ABP 面积的最大值为

. 探究创新

16.(2014 高考四川卷)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两

2

侧,

?

=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与 B )

△AFO 面积之和的最小值是( (A)2 (B)3 (C)

(D)

解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设 y1>0,y2<0),直线 AB 的方程为 x=ty+m,且直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0).由
2

消去 x,得 y -ty-m=0,所以 y1y2=-m.又

2

?

=2,所以

x1x2+y1y2=2,(y1y2) +y1y2-2=0,因为点 A,B 在抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2. 又 F( ,0),于是 S△ABO+S△AFO= ?2?(y1-y2)+ ? ?y1= y1+ ≥2 =3,当且仅当 y1= ,

即 y1= 时取“=”,所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 3.故选 B.

10


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