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广西桂林市第十八中学2015届高三上学期第二次月考数学(文)试题


Ⅰ卷 (共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A B ? A.{0,1,2,3,4} 2.已知复数 z ? A. 2 ? i B.{0,4} C.{1,2} D.{3}

1 ? 2i ,则复数 z 等于 i

B. 2 ? i

C. ?2 ? i

D. ?2 ? i

3.已知角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 cos ? = A. 4 5 3 B. 5 3 C.- 5 4 D.- 5

π? ? 4.函数 y=3sin?2x+ ?的一条对称轴方程为 3? ?

? ? B. x ? 2 3 ?2 5.设 a ? log 2 ? , b ? log 1 ? , c ? ? 则
A. x ? A. a ? b ? c D. c ? b ? a
2

C. x ?

? 6

D. x ?

? 12

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

6.已知两个单位向量 a, b 的夹角为60°, c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b c ? 0 ,则t= A.2 7 B.3 C. ?3 D.4

数列{an }中, a1 ? 2, an ?1
A.4

. ? an ? cn (c是常数), 且 a1 , a2 , a3 成公比不为 1 的等比数列, 则a4 ? B.8 C.10 D.14

8.从{2,3,4}中随机选取一个数 a ,从{2,3,4}中随机选取一个数 b ,则 b ? a 的概率 是 A.

2 9

B.

4 9

C.

1 3

D.

2 3

9.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

3 a ,类比上述 2

结论,在棱长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为 A.

6 a 3

B.

5 a 2

C.

2 2 a 3

D. a

10.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x-1)2-2a 的零点个数为 A. 1 B.2 C.3 D. 与 a 有关 11.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x, y ? R, 那么输出的 S 的最大值为 A. 0 B.1 C.2 D.3 12.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4, 该几何体的体积为 V1,直径为 4 的球的体积为 V2,则 V1:V2 等于 A.1:2 B.2:1 C.1:1 D.1:4

开始

[]





Ⅱ卷 (共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.把答案填在题中横线上. 13.在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , a3 ? a5 ? 10 ,则 a7 ? 14 . 正 三 棱 柱 . 棱 长 均 为 2 ,

ABC ? A1 B1C1

的 .





则异面直线 A1 B 与 B1C1 所成角的余弦值为

15. 函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为________.

16.定义在R上的函数 f ( x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 ? ( ? ? R ) ,使得 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ,则称 y ? f ( x) 为“倍增函数” , ? 为“倍增 系数” , 下列命题为真命题的是 (写出所有真命题对应的序号) . ? ? ? 2 ①若函数 y ? f ( x) 是倍增系数 的倍增函数,则 y ? f ( x) 至少有 1 个零点; ②函数 f ( x) ? 2 x ? 1 是倍增函数,且倍增系数 ? ? 1 ; ③函数 f ( x) ? e ? x 是倍增函数,且倍增系数 ? ? (0,1) ;

④ 若函数f ( x) ? sin 2? x (? ? 0)是倍增函数, 则 ? ? k? k ? N * .
2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

18. (本小题满分 12 分) 已知 { an } 是递减的等差数列, a2 , a3 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根.
2

(1)求 { an } 的通项公式; (2)求数列 {

an } 的前 n 项和. 2n

19. (本小题满分 12 分)某校高三年级有男学生 105 人,女学生 126 人,教师 42 人, 用分层抽样的方法从中抽取 13 人进行问卷调查,设其中某项问题的选择,分别为 “同意” 、 “不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答 卷情况的部分信息. (1)完成此统计表; (2)估计高三年级学生“同意”的人数; (3)从被调查的女学生中选取 2 人进行访谈,求选到 两名学生中恰有一人“同意” ,一人“不同意”的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE;

(3)求三棱锥 E — ABC 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知 a 2 b2

|AB|=

3 |F F |. 2 1 2

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直 线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? a x ? b x ? 1 ,其中 a , b ? R ,e=2.718 28?为自然对数的底数. (1)设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [ 0 , 1] 上的最小值;
x 2

(2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0 , 1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 .

桂林十八中 12 级高三第二次月考试卷 文科数学答案

三、解答题 17.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 7+1-4 cos ∠ CAD = , 故 由 题 设 知 , cos ∠ CAD = = 2AC?AD 2 7 2 7 . ????????5 分 7 (2)设∠BAC=α ,则 α =∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 21 ?2 7?2 1-? ? = 7 , ? 7 ? sin∠BAD= 1-cos ∠BAD=
2

所以 sin∠CAD= 1-cos ∠CAD=

2

1-?-

? ?

7?2 3 21 ? = 14 . 14 ?

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 3 7? = ? -?- ?? = . 14 7 2 ? 14 ? 7

AC?sin α 在△ABC 中,由正弦定理,得 = .故 BC= = sin α sin∠CBA sin∠CBA
18.解:(1)方程 x -5x+6=0 的两根为 2,3.
2

BC

AC

7?

3 2

21 6

=3.

由题意得 a2=3,a3=2. 设数列{an}的公差为 d,则 a3-a2=d, 故 d=-1,从而得 a1=4. 所以{an}的通项公式为 an=-n+5 (2)设? n?的前 n 项和为 Sn,由(1)知 n ? ?2 ? 2n 则 Sn ?
?an?

?????????????5 分

a

4 3 2 1 ?n ? 5 ? 2? 3? 4? ? 2 2 2 2 2n 1 4 3 2 1 ?n ? 6 ?n ? 5 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 2n 2

?n ? 5 , 2n

两式相减得

1 1 1 1 1 1 ?n ? 5 S n ? 2 ? ( 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 1 4 2 ) ? ?n ? 5 即 Sn ? 2 ? ( 1 2 2n ?1 1? 2 1 1 ? n ?1 1 n?3 4 2 ) ? ?n ? 5 得 Sn ? 3 ? ( n ) Sn ? 2 ? ( n ?1 1 2 2 2 1? 2
19. 【解】 (1) 同意 不同意 教师 1 1 女学生 2 4 男学生 3 2 ?????????????4 分 (2) 合计 2 6 5

2 3 ?126 ? ?105 ? 105 (人) ?????????????7 分 6 5

(3)设“同意”的两名学生编号为 1,2, “不同意”的编号为 3,4,5,6 选出两人共有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,6)共 15 种结果, 其中恰有一人“同意” ,一人“不同意”的(1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) 共 8 种结果满足题意.每个结果出现的可能性相等, 所以恰好有 1 人 “同 意” ,一人“不同意”的概率为

8 . 15

20.解:(1)证明:在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. ?????????????4 分 (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F,G 分别是 A1C1,BC,AB 的中点 , 1 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC,EC1= A1C1. 2 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1,所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F∥EG.

又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. ?????????????8 分 (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 2 2 所以 AB= AC -BC = 3. 所以三棱锥 E ? ABC 的体积 1 1 1 3 V= S△ABC?AA1= ? ? 3?1?2= . 3 3 2 3 21.解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 3 c2 1 2 2 2 2 2 2 由|AB|= |F1F2|,可得 a +b =3c . 又 b =a -c ,则 2= , 2 a 2 所以椭圆的离心率 e=
2 2 2

2 . 2
2

?????????????4 分

(2)由(1)知 a =2c ,b =c .

x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c

→ → 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P?F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点 P 在椭圆上,所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 2 由①和②可得 3x0+4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= , 3 3 ? 4c c? 即点 P 的坐标为?- , ?. ? 3 3? 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设圆的圆心为 T(x1,y1),则 x1= =- c,y1= = c,进而圆的半径 r= 2 3 2 3 (x1-0) +(y1-c) =
2 2

x2 0

y2 0

5 c. 3

|kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,可得 = k2+1 ?k?-2c?-2c? ? ? ? ? 5 ? ? 3? 3? 2 r,即 = c,整理得 k -8k+1=0,解得 k=4± 15, 2 3 k +1 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15. 22.解:(1)由 f(x)=e -ax -bx-1,得 g(x)=f′(x)=e -2ax-b,所以 g′(x)= e -2a. 当 x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,1]上单调递增, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1), 2 2 所以函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增, 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
x x
2

x

1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 2 2 e 当 a≥ 时 , g(x) 在 [0 , 1] 上 的 最 小 值 是 g(1) = e - 2a - 2 b. ?????????????5 分 (2)证明:设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.


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