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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练20数列的通项


数列的通项公式和前 n 项求和

杨明江制

考点 20 数列的通项公式和数列求和
热点一 求数列的通项公式
2 1 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an= 3 3 2.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , .

2Sn

1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2 ? 3.设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

数列的通项公式和前 n 项求和

杨明江制

4. 正项数列 ?an ? 满足an ? (2n ?1)an ? 2n ? 0.
2

()求数列 1 ?an ? 通项公式an . (2)令bn ? 1 , 求数列?bn ? 前n项的和Tn . (n ? 1)an

5.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (1)求 a2 , a3 ; (2)求 {an } 的通项公式.

n?2 an . 3

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*

6.已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

7.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、 a2 ? 5 、 a 3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有 .

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

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杨明江制

热点二 数列求和
n 8.设 Sn 为数列 ?an 的前 n 项和, S n ? ( ?1) an ?

?

1 , n ? N ? , 则(1) a3 ? _____; 2n

(2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________. 9.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos A.1006 B.2012

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2012 等于( 2
C.503 D.0



10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n?1a2 n?1

11. 等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . nan

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[来源:Z|xx|k.Com]

12. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S 2 , a2n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ?? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

[来源:学科网 ZXXK]

13. 设 S n 为数列{ an }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ?N (Ⅰ)求 a1 , a2 ,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ nan }的前 n 项和.

?

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14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通 项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 T n ,且 Tn ? 和 Rn.

an ? 1 ? ? ( ? 为常数),令 cn ? b2 n ? n ? N * ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项 2n

15.已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn. 2n

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16.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (9m ,92 m ) 内的项的个数记为 bm ,求数列 ?bm ? 的前 m 项和 Sm .

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【考点模拟】
一.扎实基础 1.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第 25 项为 (
A.2 B.6 C.7 ) D.8 ) D.82 )

2.数列{ an } 中, an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则数列{ an }前 12 项和等于( A.76 B.78 C. 80

3.若数列 ?an ? 的通项为 an ?
A. 1 ?

2 ,则其前 n 项和 S n 为( n(n ? 2)
C.

1 n?2

B.

3 1 1 ? ? 2 n n ?1

3 1 1 ? ? 2 n n?2

D.

3 1 1 ? ? 2 n ?1 n ? 2


4.已知数 列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? A. an ? 2n ? 1 B. a n ? 2 ?

an , ( n? N* ) ,则数列 {an } 的通项公式为( an ? 2
C. a n ?

1 2 n ?1
1

1 2 ?1
n

D. an ?

1 3 ?2
n

5.数列{an}的通项公式是 an= A.120 B.99

n ? n ?1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( D.121

)

C.11

6. 下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是 ___________.

7. 设数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2n ,(n∈N﹡),且 a1 ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式为 8. 若 S ?
1 1 1 ? ? ??? ? ,则 S ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
.
[来

.

9.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=1 ,an =Sn-1,(n≥2),则 an =_____.

10.若等比数列 {an } 的首项是 a1 ,公比为 q , Sn 是其前 n 项和,则 Sn =_____________.

二.能力拔高 11.数列 ?an ? 满足 a1 ?
A.1

4 1 1 1 2 , an?1 ? an 的整数部分是( ) ? an ? 1(n ? N* ) ,则 m ? ? ? ? ? 3 a1 a2 a2013
B.2 C.3 D.4

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12.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a13 ? (
A. 143 B. 156 C. 168

) D. 195

13.已知等差数列 {an } 的通项公式为 an ?
的取值为( A.16 B.14 ) C.12 D.10

64 ? 4n , 设 An ?| an ? an?1 ???? ? an?12 | (n ? N ? ) ,则当 An 取最小值时, n 5

14.在数列 ? an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,若 an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 ,则 an 等于(
(A)



1 3 2 6 n ? n? 5 5 5

(B) n 3 ? 5n 2 ? 9n ? 4 (D) 2n 2 ? 5 n ? 4

(C) n 2 ? 2 n ? 2

15. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an ? logn (n ? 1) (n ? 2,n ? N * ) .定义:使乘积 a1 ? a2 ? … ?ak 为正整数的

k (k ? N * ) 叫做“简易数”.则在 [1, 2012] 内所有“简易数”的和为
16. 数列?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 数 列 ?an ? 的各项排列如下:

.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , …, , … ,…,若 Sk ? 18 ,则 ak = 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n
17. 在数列

{an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 等于 an ? an?1 除以 3 的余数,则{an } 的前 89 项的和等于________.

18. 设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,且 an 和 Sn 满足: 4Sn ? (an ? 1)2 (n ? 1, 2,3,?) ,则

Sn =

. .

19. 数 列 {an} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an} 的前 60 项和等于
20.已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2 ? ?1, a5 ? 8 . (I)求数列 a n 的前 n 项和; (II)求数列 2 n ? a n 的前 n 项和.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

? ?

?

?

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三.提升自我 21.数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 2n ? 5 .
(Ⅰ)求 a 2 、 a 3 、 a 4 ; (Ⅱ)求 a n 的表达式; (Ⅲ)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2 n ?1a2 n ?a2 na2 n ?1 ,求 Tn .

1 22. 数列{an}是公比为 的等比数列, 且 1-a2 是 a1 与 1+a3 的等比中项, 前 n 项和为 Sn; 数列{bn}是等差数列, b1=8, 2
其前 n 项和 Tn 满足 Tn=n ? · bn+1( ? 为常数,且 ? ≠1). (I)求数列{an}的通项公式及 ? 的值; (Ⅱ)比较

1 1 1 1 1 + + +…+ 与了 Sn的大小. 2 T1 T2 T3 Tn

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23.若数列 ?bn ? :对于 n ? N ? ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的准等差数列.如数列 cn :若

; ?4n ?1, 当n为奇数时 cn ? ? 则数列?cn ? 是公差为 8 的准等差数列.设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ? ,都有 . ?4n ? 9, 当n为偶数时
an ? an?1 ? 2n .
(I)求证: ?an ? 为准等差数列; (II)求证: ?an ? 的通项公式及前 20 项和 S 20 .

24. .已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2( n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P(bn , bn?1 ) (n ? N * ) 在
直线 y ? x ? 2 上. (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ;
2 (Ⅲ)设 cn ? an ? sin

n? n? ? bn ? cos 2 ( n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2 n 项和 T2 n . 2 2

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25. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (an , Sn ) 在直线 y ?
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

3 x ? 1 上. 2

(Ⅱ)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的 等差数列,求数列 ?

? ?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? ? dn ?

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【考点预测】
1. 数列{ an }的通项公式 an ? ? sin ? A. 1232 . 2580
2

? n ?1 ? ,则 S2013 =( ? ? +1,前 n 项和为 Sn( n ? N * ) ? 2 ?



C: 3019

D. 4321 )

2.已知函数 f ? n ? ? n cos ? n? ? ,且 an ? f ? n? ? f ? n ? 1? , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a100 ? ( A. ?100 B.0 C.100 D.10200

3.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , n(an?1 ? an ) ? an ? 2, n ? N? ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 等于 4.已知向量 p ? (an ,2 ), q ? (2
n

.

? ?

?

n?1

?? ? , ?an?1), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

5.已知等比数列{a n }满足 a1 a 2 ? ? , a3 ? (I) 求{a n } 的通项公式; (II) 设 bn ?

1 3

1 9



]

bn n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ... ? ,求数列 { } 的前 n 项的和. 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) an


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