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2015年高中数学学业水平考试知识点


2015 年高中数学学业水平考试知识点
一.集合的概念与运算 1.常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R.

? ?A是B的真子集 A是B的子集 ? 2.2.集合间的基本关系: ? ? ? A与B相等 ? A不是B的子集 ?

A(B)

B

A

(1)A 是 B 的子集:集合 A 中的任意元素,都在集合 B,记为 A?B(或 B?A). (2)A 是 B 的真子集:若 A?B,且 A≠B, ,则说 A 是 B 的真子集. 特殊的集合:空集,规定空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集 若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个,A 的非空真子集合 有 2n-2。 3.集合的运算有三种:交集、并集、补集. (1)并集:A∪B={集合 A 与 B 的所有元素构成,重复的只写一次}. (2)交集:A∩B={集合 A 与 B 的相同元素构成}. (3)补集:?UA={集合 U 中除掉集合 A 中的元素构成}

二 函数:
1、映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任何一个 元素 a ,在集合 B 中都有唯一的元素 b 和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做从集合 A 到集合的映射,记作

f : A ? B ,其中 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象 如果在这个映射下,对于集合 A 中的不同元素,在集合中有不同的象,而且 B 中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射 2、 函数:设 A、B 是两个非空数集,那么从 A 到 B 的映射 f : A ? B 就叫做函数,记 作 y ? f ( x) ,其 中 x ? A, y ? B , x 叫做自变量, y 是 x 的函数值.自变量的取值集合 A 叫做
函数的定义域,函 数值的集合 C 叫做函数的值域,值域 C ? B ,函数三要素:定义域、值域、对应法则; 两个函数相同:定义域和对应关系都分别相同 3、函数的表示方法: (1)列表法 (2)图象法 (3)解析法 4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一 个函数 5、 (1)函数的定义域的常用求法: ①分式的分母不等于零 ②偶次方根的被开方数大于等于零 ③对数

④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 ⑤ 三 角 函 数 正 切 函 数 y ? t a nx 中 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) , 余 切 函 数 y ? c o tx

⑥如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围 (2)值域的求法:①直接法 ②分离常数法 ③图象法 ④换元法 ⑤判别式法 ⑥ 不等式与对勾函数 6、求函数解析式的方法: ①直代 ②凑配法 ③ 换元法 ④待定系数法 ⑤列方程组法 ⑥ 特殊值法 7、增减函数的定义:对于函数 f ( x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值

x1 , x 2
①若当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上 是增函数 ②若 x1 ? x2 当时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上 是减函数 8、 (1)单调性的证明:讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减 性, 有“一设, 二差, 三判断”三个步骤 (2)函数单调性的常用结论: ①若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上 也为增(减)函数 ②若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 ③若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同, 则 y ? f [ g ( x)] 是增函数; 若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性不同, 则 y ? f [ g ( x)] 是减函数,即复合函数的单调性是 “同增异 减” ④奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反 9、 (1)奇、偶函数的定义:对于函数 f ( x ) ①如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就 叫做偶函数 ②如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 就 叫做奇函数 注意:①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ② f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) 是定义域上的恒等式 ③若奇函数 f ( x ) 在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ④奇函数的图像关于原点成中心对称图形, 偶函数的图象关于 y 轴成轴 对称图形 (2)函数奇偶性的常用结论: ①如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) ②两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数

③一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数 ④两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函 数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函 数是奇函数

基本初等函数
1、 (1)一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n ? 1, n ? N ?
n

①负数没有偶次方根

②0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0

③当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ④ (2) a
?n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)
*











(1)

a

n m

? m an

?a ? 0, m, n ? N

,m ?1

?

1 ?n ? 0? an b (2)对数的定义:设 a ? 0 且 a ? 1 ,对于数 N ? 0 ,若能找到实数 b ,使得 a ? N ,那 么数 b 称为以 a 为底的 N 的对数, 记作 b ? loga N , 其中 a 叫做对 数的底数, N 叫做真数 b 注: (1) 负数和零没有对数 (因为 N ? a ? 0 ) (2) (a ? 0 loga 1 ? 0, loga a ? 1 且 a ? 1) ?
( 3 )将 b ? loga N 代回 a ? N 得到一个常用公式 a
b

log a N

?N

(4)

a ? N ? loga N ? x
x

(3) 幂函数的定义: 一般地, 我们把形如 y ? x 函数称为幂函数. 其中 x 是自变量, ?
a

是常数 2、 (1)① a a ? a
r s

?a ? 0, r, s ? Q? r ③ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q?
r ?s

② ar

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q?

(2)当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ① loga ?MN ? ? loga M ? loga N ② loga ?

?M ?N

? ? ? loga M ? loga N ?



loga M n ? n loga M
④换底公式: loga b ? 下面的结论: ( 1 ) log a m b n ?

logc b ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? ,利用换底公式推导 logc a
n log a b m
(2 )

loga b ?

1 logb a
x

3、 (1)指数函数的定义:函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 叫做指数函数.函数的定义域是实 数集 R (2)对数函数的定义:一般把函数 y ? loga x?a ? 0且a ? 1? 叫做对数函数,它的自 变量为 x ,其定义域是 ?0,??? ,底数 a 为常数

表1 定义 域 值域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ???
y?R

y ? ? 0, ???

图象

过定点 (0,1) 减函数 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (0,1)时,y ? (??,0) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)
性质

a?b

a?b

a?b

a?b

表2

幂函数 y ? x (? ? R)
?

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限性 质

偶函数

减函数

增函数

(0, 1) 过定点

4、方程的根与函数的零点:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b) 内有零 点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 这个 c 就是方程 f ( x) ? 0 的根。 【必修二】 一、直线 平面 简单的几何体
2 2 2 2 1、长方体的对角线长 l ? a ? b ? c ;正方体的对角线长 l ? 3a

2、球的体积公式: v ?

4 ? R 3 ; 球的表面积公式: S ? 4? R 3

2

3、柱体、锥体、台体的表面积,体积公式: : V柱体 = S h ()特殊几何体表面积公式( C 为底面周长, h 为高, h? 为斜高, l 为母线) 1 S直棱柱侧面积 ? ch S圆柱侧 ? 2?rh S 正棱锥侧面积 ? ch ' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S正棱台侧面积 ?

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

?

?

S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

1 S 为底面积, h 为柱体高); V锥体 = Sh ( S 为底面积, h 为柱体高) 3 1 V台体 = ( S ’+ S' S + S ) h ( S ’, S 分别为上、下底面积, h 为台体高) 3
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理: (1)四公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的直线。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. (2)空间线线,线面,面面的位置关系: 空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共 面直线。 空间直线和平面的位置关系: (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下,符号分别可 表示为 a ? ? , a ? ? A , a // ? 。 空间平面和平面的位置关系: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线。 5、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该 直线与这个平面平行。 a ??? ? 符号表示: b ? ? ? ? a // ? 。 图形表示:
a // b ? ?

6、两个平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那 么这两个平面平行。 a?? ? b?? ? ? ? 符号表示: a b ? P ? ? ? // ? 。图形表示: ? a // ? ? b // ? ? ? 7、. 直线与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平 面与已知平面相交,那么交线与这条直线平行。 a // ? ? ? 符号表示: a ? ? ? ? a // b 。 图形表示: ? ? ? b? ? 8、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交 线的平行。 ? / / ? , ? ? ? a, ? ? ? b ? a / /b 符号表示: 9、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么 这条直线垂直于这个平面。 符号表示: a ? ? , b ? ? , a b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ? 10、.两个平面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号表示: l ? ? , l ? ? ? ? ? ? 11、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 a ??? 符号表示: ? ? a // b 。 b ?? ? 12、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一个平面。符号表示: l ? ? , ? ? ? m, l ? m ? l ? ? . 13、异面直线所成角:平移到一起求平移后的夹角。 l 直线与平面所成角:直线和它在平面内的射影所成的角。 (如右图)

P

?

?

H

14、异面直线所成角的取值范围是 ?0?,90?? ; 二面角的取值范围是 ?0?,180?? ;

直线与平面所成角的取值范围是 ?0?,90?? ;

两个向量所成角的取值范围是 ?0?,180?? 二、直线和圆的方程 1、斜 率: k ? tan ? , k ? (??,??) ;直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为 2、直线的五种方程 : k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

y ? y1 x ? x1 ( (P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ; ( x1 ? x2 )、( y1 ? y2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 3、两条直线的平行、重合和垂直: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ‖ l 2 ? k1 ? k 2且b1 ≠ b2 ; ② l1与l2重合时 ? k1 ? k 2且b ? b2 ; ③ l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ;② l1 ? l2 ? A ? ? 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A2 B2 C2

2 2 4、两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式 │P1P2│= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) 2 2 6、点 P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0 的距离公式 Ax0 ? By0 ? C d= A2 ? B 2 C ? C1 7、平行直线 Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0 的距离公式 d= 2 A2 ? B 2
5、两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式 M( 8、圆的方程:标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r ;
, ( 配


(x ?







x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2
2 2





D 2 E D ? E ? 4F ) ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4 2 2 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个以 ( ? D ,? E ) 为圆心,半径为 1 2 2 2 的圆; 9、点与圆的位置关系:

D 2 ? E 2 ? 4F

点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

10、直线与圆的位置关系:

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; Aa ? Bb ? C . d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .其中 d ? A2 ? B 2
11、弦长公式: 若直线 y=kx+b 与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点,则由 二次曲线方程 ax2+bx+c=0(a≠0) y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:

AB = ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

2 1 ? k 2) (x1 ? x 2) ? 4 x1 x 2 = 1 ? k 2 x1 ? x2 = (

?

?

= 1?

1 1 y1 ? y 2 ? (1 ? 2 ) ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 k k
2

?

?
B

Z

= 1? k

b 2 ? 4ac a

F z

C y
Y

13、 空间直角坐标系,两点之间的距离公式: ⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征 A(x,y,0) :竖坐标 z=0 xoz 平面上的点的坐标的特征 B(x,0,z) :纵坐标 y=0 yoz 平面上的点的坐标的特征 C(0,y,z) :横坐标 x=0 x 轴上的点的坐标的特征 D(x,0,0) :纵、竖坐标 y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征 E(0,y,0) :横、竖坐标 x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征 E(0,0,z) :横、纵坐标 x=y=0

x D
X

O

E A

(y 2 -y 1) ? (z 2 -z 1) ⑵│P1P2│= (x 2 -x 1) ?
2 2 2

【必修三】 算法初步与统计: 以下是几个基本的程序框流程和它们的功能 图形符号 名称 终端框(起止框)

功能 表示一个算法的起始和结束

输入、输出框 处理框(执行框)

表示一个算法输入输出的信息 赋值、计算(语句、结果的传送) 判断某一条件是否成立时, 在出口 处标明“是”或“Y” ,不成立时标 明“否”或“N” 连接程序框(流程进行的方向) 连接程序框图的两部分

判断框

流程线 连接点

注释框

帮助注解流程图

循环框

程序做重复运算

一、算法的三种基本结构: (1)顺序结构(2)条件结构(3)循环结构 二、算法基本语句:1、输入语句:输入语句的格式:INPUT “提示内容” ; 变量。2、 输出语句:输出语句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式。3、赋值语句:赋值语句 的一般格式:变量=表达式。4、条件语句(1)“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语 句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND” 。 三.三种常用抽样方法: 1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。4.统计图表:包括条形图,折线图, 饼图,茎叶图。 四、 频率分布直方图: 具体做法如下: (1) 求极差 (即一组数据中最大值与最小值的差) ; (2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图。注:频率分布直方图 中小正方形的面积=组距×频率。 2、频率分布直方图: 频率=小矩形面积 (注意:不是小矩形的高度) 计 算 公 式 :
频率 组距

频率=

频数 样本容量

频数=样本容量 ? 频率

频率=小矩形面积=组距 ?

各组频数之和=样本容量, 各组频率之和=1 3、茎叶图:茎表示高位,叶表示低位。 折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。 4、刻画一组数据集中趋势的统计量:平均数,中位数,众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数; 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中 间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数; 5、刻画一组数据离散程度的统计量:极差 ,极准差,方差。 (1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。 (2)方差,标准差越大,离散程度越大。方差,标准差越小,离散程度越小,聚集 于平均数的程度越高。 (3)计算公式: 标准差: s ? 方差:

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ( xn ? x ) 2 ] n ? ,截距为 a ? x+ a ? ,即回归方程为 y ? (此直线必过点( x , ? =b 直线回归方程的斜率为 b s2 ?
y) ) 。
6、 频率分布直方图: 在频率分布直方图中, 各小长方形的面积等于相应各组的频率, 方长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。 五、随机事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母 A,B,C? 表示. 随机事件的概率: 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总接近于某个常 数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 1、事件间的关系:

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含 事件 A) ; (4)对立一定互斥,互斥不一定对立。 2、概率的加法公式: (1)当 A 和 B 互斥时,事件 A+B 的概率满足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B) (A、 B 互斥) (2)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、古典概型: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; 2)每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:

P( A) ?

事件A包含的基本事件个数 实验中基本事件的总数

?

m n

4、几何概型: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。 (2)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2) 每个基本事件出现的可能性相等. (3)几何概型的概率公式: P( A) ? 【必修四】 一、 三角函数
事件A构成的区域的长度(面积或体积) 实验的全部结果构成的区域的长度(面积或体积)

8 0 1、弧度制: (1) 、1

?

? ? 弧度,1 弧度 ? (

180

为 ? 所对的弧长, r 为半径,正负号的确定:逆时针为正,顺时针为负) 。 2、三角函数: y x y x r ? x2 ? y2 (1) 、定义: sin ? ?    cos? ?     t an? ?    cot? ?    r r x y 3、特殊角的三角函数值: 30 ? 45 ? 60 ? 90 ? 120 ? 135 ? 150 ? 180 ? ? 的角度 0?

?

) ? ? 57 ?18 ' ;弧长公式:l ?| ? | r ( l

270 ?

360 ?
2?

? 的弧度
sin ?

0

?
6 1 2
3 2 3 3

?
4
2 2 2 2
1
2

?
3
3 2

?
2
1

2? 3
3 2

3? 4
2 2 ? 2 2
?1
s i? n c o? s

5? 6

?
0
?1

3? 2
?1

0
1

1 2
? 3 2 ? 3 3

0
1

cos?
tan ?

1 2
3
2

0


?1 2
? 3
t a? n?

0


0

0

0

4、同角三角函数基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1

t a? n c o? t ?1

5、诱导公式: (众变横不变,符号看象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正。 1、 诱导公式一: 2、 诱导公式二: 3、诱导公式三:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , tan?? ? 2k? ? ? tan? . sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式四: 6、诱导公式六: 5 、 诱 导

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .









sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

6、两角和与差的正弦、余弦、正切: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? : S(? ?? )

S(? ?? )



sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ? ? ) :

T(? ?? ) :
tan( ? ? ?) ?

t an( ? ? ?) ?

t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan ? +tan ? = tan( ? + ? )( 1 ? tan?tan? )

tan ? -tan ? = tan( ? - ? )( 1 ? tan?tan? )

7、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 ? ?

?

? a b sin x ? cos x ? ? 2 2 2 a ?b ? a ?b ?
2

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?) 8、二倍角公式: (1) 、 S 2? : sin 2? ? 2 sin ? cos ? C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 2 tan ? T2? : tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

1 1 ? cos 2? 1 1 sin 2? sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos 2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 9、在 y ? sin ? , y ? cos? , y ? tan? , y ? cot? 四个三角函数中只有 y ? cos ? 是偶函 sin ? cos ? ?
数,其它三个是寄函数。 (指数函数、对数函数是非寄非偶函数) 10、在三角函数中求最值(最大值、最小值) ;求最小正周期;求单调性(单调第增区 间、单调第减区间) ;求对称轴;求对称中心点都要将原函数化成标准型;

如:

y ? A sin(?x ? ? ) ? b y ? A cos(?x ? ? ) ? b y ? A tan( ?x ? ? ) ? b y ? A cot( ?x ? ? ) ? b

再求解。

11、三角函数的图象与性质: 函数 y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义域 值域 奇偶性 周期性 在 [2k? ?

R

R

{x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z}
R

[ ?1,1]
奇函数

[ ?1,1]
偶函数

奇函数

单调性

最值

] (k ? Z ) 2 2 上是增函数 ? 3? 在 [2k? ? , 2k? ? ] (k ? Z ) 2 2 上是减函数 ? 当 x ? ? 2k? , k ? Z 时, y max ? 1 2 ? 当 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时, 2

?

2?
, 2 k? ?

?

2?
在 [2k? ? ? ,2k? ] (k ? Z ) 上是增函数 在 [2k? , 2k? ? ? ] (k ? Z ) 上是减函数 当 x ? 2k? , k ? Z 时,y max ? 1 当 x ? (2k ? 1)? , k ? Z 时, 无

?

在 (k? ? ? , k? ? ? ) (k ? Z ) 2 2 上是增函数

ymin ? ?1
对称中心 (k? ,0) , k ? Z 对称性 对称轴: x ? k? ?

ymin ? ?1
对称中心 (k? ?

?
2

,0) ,

?
2

(k ? Z )

12.函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象: (1)用“图象变换法”作图

k ?Z x 对称轴: ? k? (k ? Z )

对称中心 (k? ,0) , k ? Z 对称轴:无

由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途径“先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。 法一:先平移后伸缩
纵坐标变为原来的A倍 (? ?0) 或向右 (? ?0) ?? y ? A sin(?x ? ? ) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) ??????? 横坐标不变

平移|? |个单位

(? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) 平移|? |个单位


? ????????? y ? sin (? x ? ?)
纵坐标不变

横坐标变为原来的 倍

1

法二:先伸缩后平移
(? ?0) 或向右 (? ?0) ??? y ?sin x ? ?????? y ? sin ?x ?向左 ?????? ?? y ? sin(?x ? ? )
纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍

??????? ?? y ? A sin(?x ? ? )
纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

平移|? |个单位

?

当函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0, ? ? 0 , x ?[0, ? ?) )表示一个振动量时, A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复 振动一次所需要的时间 T ?

2?

?

,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数

f ?

1 2? ? ,它叫做振动的频率;?x ? ? 叫做相位,? 叫做初相(即当 x=0 时的相 T ?

位) 。 二、平面向量 1、平面向量的概念:

?1? 在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量. ? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向
表示向量的方向. ,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度) ? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.

2、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 ? ? ? ? ? (1) 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ;(2)第一分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a ;(3)第二分 配律:λ ( a ? b )=λ a +λ b .

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)( ? a ) ·b = ? ( a ·b )= ? a ·b = a · ( b ? );(3)( a ? b ) ·c = ? ? +b ·c .
3、向量的数量积的运算律:(1) a · b = b · a (交换律);

?

?

? ? a ·c

4、平面向量基本定理: ? ? 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有 且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5、坐标运算: (1)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 数与向量的积:λ a ? ? ?x1 , y1 ? ? ??x1 , ?y1 ? ,数量积: a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 (2) 、设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? .(终 点减起点) 6、平面两点间的距离公式: (1) d A, B = | AB |? (2)向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x ? y ;
2 2
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
? ? ? ?

(3) 、平面向量的数量积: a? b ? a ? b cos? , 注意: 0 ? a ? 0 , 0 ? a ? 0 ,

a ? (?a) ? 0
? ?
? ?

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 x2 2 ? y2 2
?

(4) 、向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? 的夹角 ? ,则,
?

7、重要结论: (1) 、两个向量平行:

a// b ? a ? ? b

(? ? R) , a// b ?

?

?

x1 y 2 ? x2 y1 ? 0
?

(2) 、两个非零向量垂直

a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
x ? x2 ? x? 1 中点坐标公式 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

?

(3) 、 P 分有向线段 P 设P (x, y) , P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , 且P 1P 2 的: 1P ? ? PP 2 , 则定比分点坐标公式

x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? ? y ? y ? 1 ? ? y2 ? 1? ? ?

三、空间向量 1、空间向量的概念: (空间向量与平面向量相似)

?1? 在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量. ? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向
表示向量的方向. ,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度) ? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.

2、 实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量, 称为向量的数乘运算. 当 ? ? 0 时,? a

? a 与 a 方向相反; ? a 为零向量, ?a 与 a 方向相同; 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 记为 0 .
的长度是 a 的长度的

? 倍.

3、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律. 分配律: ? a ? b ? ? a ? ?b ;结合律: ? ? ?a ? ? ? ?? ? a . 4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或 平行向量,并规定零向量与任何向量都共线. 5、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是 存在实数 ? ,使 a ? ?b . 6、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 7、向量共面定理:空间一点 ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x , y , 使 ?? ? x??? y ?C ; 8、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ???? 称为向量 a ,b 的夹角,记作 ?a, b ? .两个向量夹角的取值范围是:? a, b ? ? ? 0, ? ? .

?

?

?

?

9、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ?

?
2

,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b .

10、已知两个非零向量 a 和 b ,则 a b cos ?a, b ? 称为 a , b 的数量积,记作 a ? b .即

a ? b ? a b cos?a ,b ? .零向量与任何向量的数量积为 0 .
11、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积. 12 、 若 a , b 为 非 零 向 量 , e 为 单 位 向 量 , 则 有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e ? ;

? a b a与b同向 2 ? , a ?a ? a , a ? a ?a ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ; ? 3? a ? b ? ? ? a b a与b反向 ? ? a ?b . ? 4 ? cos? a, b ? ? a b

?

?

?

?

13 、 量 数 乘 积 的 运 算 律 : ?1? a ? b ? b ? a; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;

?

?

? ?

? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
14 、 若 空 间 不 重 合 两 条 直 线 a , b 的 方 向 向 量 分 别 为 a , b , 则

a / / b? a / /? b a ? ? b? ? ? R ?,

异面垂直时 a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 . 15 、 若 空 间 不 重 合 的 两 个 平 面

? , ? 的法向量分别为 a , b ,则

? / /? ? a /b/ ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 . 16、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量.
二. 数列 ?a1 ? S1 (n ? 1) 1、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系:an ? ? ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) 2、等差数列 : (1) 、定义:等差数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一 个常数 (an ? an?1 ? d ) ; (2) 、通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (其中首项是 a1 ,公差是 d ; )

(3) 、前 n 项和: S n ?

na1 (d ? 0) n(a1 ? a n ) n(n ? 1) (d≠0) ? na1 ? d 2 2

a?b A? (4) 、等差中项: A 是 a 与 b 的等差中项: 或 2 A ? a ? b ,三个数成等差常 2 设:a-d,a,a+d 3、等比数列: (1) 、定义:等比数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一

个常数 (

an ? q) ( q ? 0 ) 。 an?1

(2) 、通项公式: an ? a1q n?1 (其中:首项是 a1 ,公比是 q ) na1 ,( q ? 1) ? (3) 、前 n 项和:S n ? ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) , ( q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
G b 即 G 2 ? ab (或 G ? ? ab ,等比 (4) 、等比中项: G 是 a 与 b 的等比中项: , ? a G 中项有两个) 三:不等式 2 2

1、重要不等式: (1)a, b ? R ? a ? b ? 2ab a=b 时取“=”号).
2 2



ab ?

a ?b 2

(当且仅当

2、均值不等式: (2) a, b ? R ?

?

a?b ? ab 2

或 ab ? (

a?b 2 ) 2

(当且仅当 a=b 时取“=”号). 一正、二定、三相等 注意:解指数、对数不等式的方法:同底法,同时对数的真数大于 0;


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