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空间向量2013-12-11


向量

如:力、位移等.

平面向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量

单位向量
零向量

模为1的向量 长度为零的向量

问题:
已知|F1 | =200kg,
| F2 | =200kg, | F3 | =200kg, 这三个力两两之间的 夹角都为60度,
思考:铁块在这些力的作用下将如何运动? 这三个力至少多大时,才能提起这块钢板?

F3

F2

F1

这需要进一步来认识空间中的向量

……

1、空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a

空间向量
具有大小和方向的量 几何表示法 AB 字母表示法 a 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

思考:空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内?为什么?
B

b

O

A

a
O′

结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,
成为同一平面内的两个向量。

平面向量的加法、减法与数乘运算

b
a
向量加法的三角形法则

b

a?b

a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

2、空间向量的加减法及数乘运算

C a A

+

b

B

b

O

a
3a ? ?

??? ? ??? ? ??? ? OB ? OA ? AB ??? ? ??? ? ??? ? CA ? OA ? OC

? ? a
?3a ? ?

2、空间向量加减与数乘运算
平面向量
加法:三角形法则或

空间向量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 减法:三角形法则 数乘 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

运 算 律

加法结合律

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b
数乘结合律

? ? ? (?a ) ? (?? )a

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b 数乘结合律 ? ? ? (?a ) ? (?? )a

空间向量加法结合律: ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O

a
A

a b
C A
+

c
B

C

b

B

c

b

c

空间向量加减与数乘运算
平面向量
加法:三角形法则或

空间向量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 减法:三角形法则 数乘 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

运 算 律

加法结合律

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b
数乘结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b 数乘结合律

? ? ? (?a ) ? (?? )a

? ? ? (?a ) ? (?? )a

推广
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An
A1
A2
A3 An

An?1

A4

推广
(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,

则它们的和为零向量.即:
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2
A3 An

An?1

A4

例1. 化简:
??? ? ??? ? ??? ? ⑴ AB ? CD ? BC ?

AD . AM

⑵ AP ? MN ? NP ?
??? ? ??? ? ??? ? ⑶ EF ? OF ? OE ?

.

2 EF .

例2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC (2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 (4) AB ? AD ? CC1 2 解: (1) AB ? BC=AC;
D A B A1 G C D1 B1 M C1

(2) AB ? AD ? AA1 ? AC ? AA1 ? AC ? CC1 ? AC1 1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ? AC1 ? AG. 3 3 1 (4) AB ? AD ? CC1 ? AC ? CM ? AM

2

练习 1、空间四边形ABCD中,M、G分别是
BC、CD边的中点,化简: 1 1 (1) AB ? ( BC ? BD) (2) AG ? ( AB ? AC ) 2 A 2
(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
1 原式= AB ? (2 BG) ? AB ? BG ? AG 2

D G B M C

(2)原式=AG ? AM ? MG

2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足下列 各式的x的值。

练习

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
D1 C1 B1

解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C

A1

? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A

D B

C

(2) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(2) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2 AC1
A1
D1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

小结
概念
加法 减法 数乘 运算 运 算 律

类比思想

数形结合思想
定义

转化与化归思想

平面向量
定义 表示法 特殊向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b 数乘结合律 ? ?

空间向量
表示法 特殊向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b 数乘结合律

? (?a ) ? (?? )a

? ? ? (?a ) ? (?? )a

课堂反馈
??? ? ? 1、如图,在平行六面体 ABCD ? A?B?C?D? 中,设 AB ? a , ???? ? ???? ? D' AD ? b , AA? ? c , E , F 分别是 AD?, BD 的中点, ???? ? ??? ? ? ? ? (1)用向量 a , b , c 表示 D?B, EF ; A' ??? ? ???? ??? ? ????? ???? ? E ? ? ? ? (2)化简:AB ? BB ? BC ? C D ? 2D E
D F A B C' B'

C

2.已知正方体ABCD ? A1B1C1D1中,点E为底面A1C1的中心,若 ??? ? ???? ??? ? ???? AE ? AA1 ? xAB ? y AD ,则 x,y 的值分别为( )

A.1,1

1 B. ,1 2

1 1 C. , D. 2 2

1 1 , 2 4

作业:
1、已知|F1 | =200kg,

F3
F2 F1

| F2 | =200kg, | F3 | =200kg, 这三个力两两之间的夹 角都为60度, 铁块在这些力的作用下将如何运动?

并思考这三个力至少多大时,才能提起这块钢板? 2、质检P55:1----4 选作:质检P58: 4


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