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内蒙古包头市一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学(文)试卷


包头一中 2014—2015 学年度第二学期期中考试题 高一年级文科数学试题
命题人:李彩燕 审题人:高一文科备课组

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,请把答案涂在答题卡相应的位置.)

1.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1, 0,1} ,则 M A. {?2, ?1, 0,1} B. {?3, ?2, ?1, 0} C. {?2, ?1, 0}

N ?(



D. {?3, ?2, ?1}

2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 3.某单位有职工 100 人, 不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的 25 人, 剩下的为 50 岁以上的人,现在抽取 20 人进行分层抽样,各年龄段抽取人数分别是( ) A. 7,4,6 B. 9,5,6 C. 6,4,9 D. 4,5,9 4.若圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? m ? 0 外切,则 m ? ( A.-11 B.19 C.9 D.21 )

5. 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示,则时速 的众数,中位数的估计值为( ) 频率 A. 62,62.5 C. 65,62.5 B. 65,62 D. 62.5,62.5
0.04 0.03 0.02 0.01 40 50 60 70 80 时速(km) 组距

(a ? 0) 6. 当直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 截得弦长为 2 3 时,则

a=

( A. 2

) B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

7.从 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取一个数为 a,从 ?2,3, 4? 中随机选取一个数 b,则 b ? a 的概率是( ) 4 3 A. B. 5 5
1 5 2 5
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C.

D.

8.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽取 10 名学 生,将这 50 名学生随机编号 1 ~ 50 号,并分组,若号码为 46 的学生在样本 中,则在第 7 组中抽得号码为 ( ) A.37 B.35 C.36 D.31 2 9.函数 f(x)=x -x-2, x∈[-5,5], 那么在区间[-5,5]内任取一点 x0, 使 f(x0) ≤0 的概率为( ) 2 A.0.1 B. 3 2 C.0.3 D. 5 10. 若以连续两次掷骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标(m,n),则点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 25 外的概率是( A. 7 12 5 B. 36 5 C. 12 1 D. 3
5 ,则判断框内应填入的条件是 6

)

11. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是 ( ) A. n ? 5? B. n ? 5? C. n ? 5?

D. n ? 5?

1 12.圆心在曲线 y= x2(x<0)上,并且与直线 y=-1 及 y 轴都相切的圆的方程是 4 ( ) B.(x+2)2+(y-1)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=4

A.(x+2)2+(y-1)2=2 C.(x-2)2+(y-1)2=4

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 把答案填写在答题卡相应的位置.) 13. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 14. 一位大学生在暑期社会实践活动中,为了解农村家庭年储蓄 y 与年收入 x 的 关 系 , 抽 取 了 20 个 家 庭 进 行 调 查 , 根 据 获 得 的 数 据 计 算 得
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? xi ? 100, ? yi ? 40 , 并 得 到 家 庭 年 储 蓄 y 对 年 收 入 x 的 线 性 回 归 方 程 为
i ?1 i ?1

20

20

?? ?x ? 1.5 ,则 b ? ?b . y 15. 甲、乙两药厂生产同一型号药品,在某次质量检测中,两厂各有 5 份样品送 检,检测的平均得分相等(检测满分为 100 分,得分高低反映该样品综合质量 的高低) 。成绩统计用茎叶图表示如下:
甲 9 8 1 0 乙 8 4 8 9 a 6

9

2 则a= .

16.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________. 三.简答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写在答题卡上相应位置并写出文字说
明,证明过程或演算步骤。 )

17. (本小题满分 10 分)已知以 P 点为圆心的圆过点 A?? 1,0 ?, B?3,4 ? ,线段 AB 的 垂直平分线交圆 P 于点 C , D ,且 CD ? 4 10 (1)求直线 CD 的方程 (2)求圆 P 的方程 18. (本小题满分 12 分)一个盒子中装有形状大小相同的 5 张卡片,上面分别标 有数字 1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张. (1)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率; (2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形 ,求出能构成三角 形的概率。 19.(本小题满分 12 分)企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水 平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:

?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a,b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b? , ?a,b?,?a,b?,?a,b?,?a,b?,?a,b?,?a,b?,?a,b?

其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败; b, b 分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否记 0 分,试计算甲、乙 两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
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(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功 的概率.(实验班做) 20.(本小题满分 12 分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识 竞赛,从参加考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩 ( 均为整数 ) 分成六段 [40,50) ,[50,60),…, [90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形 给出的信息,回答下列问题:

(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的众数以及平均分; (3) 从成绩是 [40,50) 和 [90,100] 的学生中选两人,求他们在同一分数段的概 率. (实验班做) 21.(本小题满分 12 分)已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的 正方形,侧棱 PD ? 平面 ABCD ,且 PD ? 2 , O 为底面对角线的交点, E , F 分别 为棱 PB, PC 的中点 (1)求证: EO //平面 PDC ; (2)求证: DF ? 平面 PBC ; (3)求点 C 到平面 PAB 的距离。(实验班做)
E A D P

F

O

22.( 本小题满分 12 分)

B

C

如图,已知圆 O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P 向圆 O 引切线 PQ, 切点为 Q, 且有|PQ|=|PA|. (1)求 P 点的轨迹方程; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最小的圆的
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方程. (实验班做)

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包头一中 2014—2015 学年度第二学期期中考试题 高一年级文科数学试题答案
一.选择题:CABCCCDDCADB 二、填空题: 13.1/3 14.0.7 15. a=3 16.5;1/6

三.简答题:17.(1.) x+y-3=0(2).(2) ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 40,
2 2

( x ? 5) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 40

18.(1)2/5;(2)3/10 19. (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1 其平均数为

X甲 ?
方差为

10 2 ? 15 3 1 2 2 2 [(1 ? ) 2 ?10 ? (0 ? ) 2 ? 5] ? 15 3 3 9

s甲2 ?

乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1 其平均数为

X乙 ?
方差为

9 3 ? 15 5 1 3 3 6 [(1 ? ) 2 ? 9 ? (0 ? ) 2 ? 6] ? 15 5 5 25

s乙2 ?

因为 X甲 ? X 乙 , s甲2 ? s乙2 ,所以甲组的研发水平优于乙组。 (2)记 E ? {恰有一组研发成功} 在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是

b ?,? a, b ?,? a, b ?,? a, b ?, b ?, b ?, ? a, ? a, ? a, ? a,b ?

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共 7 个,故事件 E 发生的频率为

7 15 7 15

将频率视为概率,即得所求概率为 P ( E ) ? 20. (1)0.3 略

(2)依题意 75.71 (3)[40,50)与[90.100]的人数分别是 6 和 3,所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选 两人,将[40,50]分数段的 6 人编号为 A1,A2,…A6,将[90,100]分数段的 3 人编号为 B1,B2, B3,从中任取两人,则基本事件构成集合 Ω ={(A1,A2),(A1,A3)…(A1,A6),(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,A4),…,(B2,B3)}共有 36 个,其中,在同一分数段内的事 件所含基本事件为(A1,A2),(A1,A3)…(A1,A6),(A2,A3)…(A5,A6),(B1,B2),(B1,B3), 18 1 (B2,B3)共 18 个,故概率 P= = .……12 分 36 2 21.(3) 22.( 本小题满分 12 分) 如图,已知圆 O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q, 且有|PQ|=|PA|. (1)求 P 点的轨迹方程; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆, 使它与圆 O 有公共点, 试在其中求出半径最 小的圆的方程. (实验班做) 解 (1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形, 又|PQ|=|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2, 所以 a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,故 2x+y-3=0. (2)由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2- 12a+8=5(a-1.2)2+0.8, 得|PQ|min= 2 5 . 5

(3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形,而这些半径的 最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径,圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l′ 与 l 的交点 P0,所以 r= 3 22+1 3 5 -1= -1, 5 2

6 3 又 l′:x-2y=0,联立 l:2x+y-3=0 得 P0( , ). 5 5 所以所求圆的方程为 6 3 3 5 (x- )2+(y- )2=( -1)2. 5 5 5

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