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第1课时 等比数列


§3 等比数列

3.1 等比数列
第1课时 等比数列

猜一猜:
给你一张足够大的纸,假设其厚度为0.1毫 米,那么当你把这张纸对折了51次的时候,所 达到的厚度有多少? 把一张纸折叠51次,得到的大约是地球与太

阳之间的距离!

庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”

意思是“一尺长的木棒,每日取其一半,永 远也取不完” . 如果将“一尺之棰”视为一 份,则每日剩下的部分依次 为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16
这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列.

1.通过实例,理解等比数列的概念. 2.探索并掌握等比数列的通项公式.(重点) 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题.(重点、难点)

探究点1

等比数列的概念

下面我们看几个例子,思考等比数列的共同特征.
(1)你吃过拉面吗?拉面馆的师傅将一根很粗的 面条,拉伸、捏合、再拉伸、再捏合,如此反复几 次,就拉成了许多根细面条. 这样捏合8次后可拉出多少根细面条? 第1次是1根,后面每次捏合都将1根变为2根,故有 第2次捏合成2×1=2根;

第3次捏合成2×2=22 根; ?? 第8次捏合成2×26=27=128根. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1,2,4,8,16,32,64,128. ①

思考,此数列有什么特征?
提示:对于数列①,从第2项起,每一项与前一项 的比都是2.

(2)星火化工厂今年产值为a万元,计划在今后5 年中每年比上年产值增长10%,试列出从今年起6 年的产值(单位:万元).

第1年产值:a;
第2年产值:a+a×10%=a(1+10%);

2 a ( 1 ? 10 %) ; 第3年产值:a(1+10%)+a(1+10%)×10%=

?? 第6年产值: a(1 ? 10%) 4 ? a(1 ? 10%) 4 ?10% ? a(1 ? 10%) 5 .

故这6年的产值构成一个数列
a, a(1 ? 10%), a(1 ? 10%)2 , a(1 ? 10%)3 , a(1 ? 10%)4 , a(1 ? 10%)5 .②

思考:此数列有什么结构特征?
提示:对于数列②,从第2项起,每一项与前一项 的比都是1+10%.

思考:研究上述数列的特征及变化规律,可以发
现什么共同特征?

提示:可以看出数列①,②有如下的共同特征:
从第2项起,每一项与前一项的比都是与项数n无 关的常数.

等比数列定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的比都等于___________ 同一个常数 ,那么这个数 列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的_____ 公比 , 公比通常用字母q表示(q≠0). 因此,数列①的公比q=2;数列②的公比 q=1+10%; 由此定义可知,对等比数列 {an } ,有

an a2 a3 ? ? ??? ? ?q (q ? 0) . a1 a2 an?1

思考1:等比数列的定义中为什么要强调“从第2 项起”和“比是同一个常数”这两点? 提示:我们知道一个数列的第1项没有前一项,所 以强调“从第2项起”;“比是常数”和“比是同
a2 ?5 一个常数”的意义不一样,如数列1,5,3,7中, a1

a3 3 a4 7 =常数, ? =常数, ? =常数,比都是常 a2 5 a3 3

数,但是很明显该数列不是等比数列,所以强调

“比是同一个常数”,这是等比数列定义的核心.

思考2:当公比q=1时,{an}是什么数列? 提示:当公比q=1时,{an}是常数列. 思考3:将有穷等比数列{an}的所有项倒序排列, 所成数列仍是等比数列吗?如果是,公比是什么? 如果不是,请说明理由. 提示:是等比数列,公比与原等比数列的公比

互为倒数.

例1.以下数列中,哪些是等比数列?

1 1 1 1 ( 1 ) 1 , ? ,, ? , ; 2 4 8 16

(2) 1,1,1, ? ? ?, 1; (3) 1,2,4,8,12,16,20;

(4)a,a ,a , ???,a .
2 3 n

1 解: (1)是等比数列,公比q= ? ; 2
(2)是公比为1的等比数列;
8 12 ? , (3)因为 所以该数列不是等比数列; 4 8

(4)当a≠0时,这个数列是公比为a的等比数列; 当a=0时,它不是等比数列.

【变式练习】 判断下列数列是否为等比数列. (1)1,3,32,33,?,3n-1,?; (2)-1,1,2,4,8,?; (3)(t+1),(t+1)3,(t+1)5,?,(t+1)2n-1,?.
【解】 (1)记数列为{an},显然 a1=1, a2=3,?,an=3n 1.


n 1 an 3 由于 = n-2=3(n≥2,n∈N+), an-1 3


所以此数列为等比数列且公比为 3.

(2)记数列为{an},显然 a1=-1,a2=1,a3=2,?.

a2 a3 由于 =-1≠ =2, a1 a2 所以此数列不是等比数列. (3)当 t+1=0, 即 t=-1 时, 数列为 0,0,0, ?, 是常数列,不是等比数列. 当 t+1≠0,即 t≠-1 时,此数列为等比数列 且公比为(t+1)2.

【提升总结】等比数列判定的三点说明 (1)利用定义判定应注意公比为每一项与前一项 的比. (2)必须说明是从第2项起每一项与前一项的比为 同一个常数. (3)若公比为1,则该数列为常数列.

探究点2

等比数列的通项公式

思考:已经知道了一个数列是等比数列,并且知道

它的第一项a1和公比q,怎样写出它的通项公式?
提示:设这个等比数列是

a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ,? ? ?
由等比数列的定义可以知道:

a 2 a3 a 4 an ? ? ? ??? ? ? q. a1 a 2 a 3 a n ?1
从而, a2 ? a1q,

a3 ? a2 q ? (a1q )q ? a1q ,
2

a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 , ???
由此可归纳出

an ? a1q .

n ?1

在这个公式里,如果令n=1,那么

a1 ? a1q

1?1

? a1q ? a1.
0

由此可知,a1 也可以用这个公式来表示,所以 这个公式就是所要求的通项公式,这就是说: 首项为 a1 ,公比是q 的等比数列的通项公式是

an ? a1q

n ?1

(a1 ? 0, q ? 0).

例2.一个等比数列的首项是2,第2项与第3项的和是 12,求它的第8项的值. 解:设等比数列的首项为a1,公比为q,则由已知,得

?a1 ? 2, ? 2 ? a1q ? a1q ? 12,
将①式代入②式,得
解得
2

① ②

q ? q ? 6 ? 0.

q =-3或q =2.

当q ? ?3时, a 8 ? 2q 7 ? 2 ? (?3)7 ? ?4 374,

当q ? 2时, a8 ? 2q ? 2 ? 2 ? 2 ? 256.
7 7 8

故数列的第8项是-4 374或256.

【变式练习】 在等比数列{an}中,
(1)若a4=27,q=-3,求a7; (2)若a2=18,a4=8,求a1和q; (3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.

【解】

(1)方法一:由 a4=a1· q3,

3 27 · ( 3) a 得 = 1 - ,得 a1=-1, 6 6 · ( 1) ( 3) a a q = = - × - =-729. 所以 7 1

方法二: a7=a4· q3=27×(-3)3=-729.
?a1=27, ?a1=-27, ?a1q=18, ? ? (2)由已知得? 3 2 2 解得? 或? ?a1q =8, ?q = ?q=- . ? ? 3 3

?a1q4-a1=15, (3)由已知得? 3 ?a1q -a1q=6 ,

① ① 由 得 ② ②

q 2+ 1 5 = , q 2 1 所以 q= 或 q=2, 2 1 当 q= 时,a1=-16,a3=a1q2=-4; 2 当 q=2 时,a1=1,a3=a1q2=4.

思考.根据等比数列的概念,要想确定一个等比

数列的通项公式,需要具备哪几个条件?
提示:由等比数列的通项公式an=a1qn-1可知,要 确定其通项公式,必须知道a1,q两个条件.

1.在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的 值为 ( A )

A .2
C .4

B .3
D .8

2.(2013·江西高考)等比数列x,3x+3,

6x+6,?的第四项等于
A.-24 B.0

( A )
C.12 D.24

3.某种细菌在培养过程中,每半个小时分裂一次 (一个分裂为两个),经过4小时,这种细菌由一 个可繁殖成_______ 256 个. 4.已知等比数列的通项公式 an ? 1 ?10 n ,则首项为 4 5 _______ 10 2 ,公比为_______.

5.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.
求{an}的通项公式.

解析:设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,
a3=a2+4,

得2q2=2q+4,
即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

故q=2.所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.

1.等比数列的概念:从第2项起,每一项与它的前
一项的比是同一常数. 2.等比数列的通项公式an=a1qn-1 (a1≠0,q≠0), 知道其中三个字母变量,可用列方程的方法,求余 下的一个变量.

3.等比数列通项公式an 的推导方法及简单应用.


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