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高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项


高中数学讲义

求展开式中的特定项

知识内容
1.二项式定理
⑴二项式定理

? a ? b?

n

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 n n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ... ? Cn b ? n ? N? ?
<

br />这个公式表示的定理叫做二项式定理. ⑵二项式系数、二项式的通项
0 n 1 n ?1 2 n?2 2 n n r Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ... ? Cn b 叫做 ? a ? b ? 的二项展开式,其中的系数 Cn ? r ? 0, 1, 2, ..., n? 叫做二
n

r n? r r a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项为展开式的第 r ?1 项: 项式系数,式中的 Cn

r n? r r Tr ?1 ? Cn a b .

⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式 ? a ? b ? 的展开式项数为 n ? 1 项,各项的幂指数状况是
n

①各项的次数都等于二项式的幂指数 n . ②字母 a 的按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零,字母 b 按升幂排列,从第一项起, 次数由零逐项增 1 直到 n . ⑷几点注意
r n?r r a b 是 ? a ? b ? 的展开式的第 r ?1 项,这里 r ? 0, 1, 2, ..., n . ①通项 Tr ?1 ? Cn
n

r n?r r b a 是有区别的,应用二项式定理时,其 ②二项式 ? a ? b ? 的 r ?1 项和 ? b ? a ? 的展开式的第 r ?1 项 Cn
n n

中的 a 和 b 是不能随便交换的.
r ③注意二项式系数( Cn )与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有

时可为负. ④ 通 项 公 式 是 ? a ? b? 这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 , 如 ? a ? b? 的 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 是
n n

r n?r r r n ?r r a b 是不同的,在这里对应项的 Tr ?1 ? ? ?1? Cn a b (只须把 ?b 看成 b 代入二项式定理)这与 Tr ?1 ? Cn
r

r r r 二项式系数是相等的都是 Cn ,但项的系数一个是 ? ?1? Cn ,一个是 Cn ,可看出,二项式系数与项的系
r

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数是不同的概念.
1 2 2 r r ⑤设 a ? 1, b ? x ,则得公式: ?1 ? x ? ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ... ? Cn x ? ... ? xn . n

r n?r r ⑥通项是 Tr ?1 ? Cn a b ? r ? 0, 1, 2, ..., n ? 中含有 Tr ?1 , a , b , n , r 五个元素,

只要知道其中四个即可求第五个元素. ⑦当 n 不是很大, x 比较小时可以用展开式的前几项求 (1 ? x)n 的近似值.

2.二项式系数的性质
⑴杨辉三角形: 对于 n 是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可以直接用杨 辉三角计算. 杨辉三角有如下规律: “左、右两边斜行各数都是 1.其余各数都等于它肩上两个数字的和. ” ⑵二项式系数的性质:

? a ? b?

n

0 1 2 n r , Cn , Cn , ..., Cn 展开式的二项式系数是: Cn ,从函数的角度看 Cn 可以看成是 r 为自变量的函数

f ? r ? ,其定义域是: ?0, 1, 2, 3, ..., n? .
当 n ? 6 时, f ? r ? 的图象为下图:

这样我们利用“杨辉三角”和 n ? 6 时 f ? r ? 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
m n ?m ? Cn 事实上,这一性质可直接由公式 Cn 得到.

②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大. 由于展开式各项的二项式系数顺次是 n ? n ? 1? n 0 1 2 Cn ? 1, Cn ? , Cn ? , 1 1? 2

2

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3 Cn ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1? 2 ? 3

, . . . ,
k , Cn ?

k ?1 Cn ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? ... ? n ? k ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? .... ? ? k ? 1?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? ... ? n ? k ? 2 ?? n ? k ? 1? 1 ? 2 ? 3... ? ? k ? 1? k

, . . . ,

n Cn ?1 .

其中, 后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数 (如 n , n ? 1, n ? 2, ... ) , 分母是乘以逐次增大的数(如 1,2,3,?) .因为,一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大,而乘以
r 一个小于 1 的数则变小,从而当 k 依次取 1,2,3,?等值时, Cn 的值转化为不递增而递减了.又因为

与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系 数最大的项必在中间. 当 n 是偶数时, n ? 1 是奇数,展开式共有 n ? 1 项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数
n

最大,最大为 Cn2 . 当 n 是奇数时, n ? 1 是偶数,展开式共有 n ? 1 项,所以有中间两项. 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为 Cn 2 ? Cn 2 .
0 1 2 r n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ? 2n . ③二项式系数的和为 2n ,即 Cn
n ?1 n ?1

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 2n?1 .

常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题.

典例分析
二项展开式 2 求展开式中的特定项(常数项,有理项,系数最大项等. ) 常数项
【例1】 在 x ? 4 3 y

?

?

20

展开式中,系数为有理数的项共有

项.

【例2】 ( 2 ? 3 3)100 的展开式中共有_____项是有理项.

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【例3】 (1 ? 3 x )6 (1 ?
1
4

x

)10 展开式中的常数项为_______(用数字作答) .

1? ? 【例4】 ?1 ? x ? x ? ? x ? ? 的展开式中的常数项为_________. x? ?
2

6

2? ? 【例5】 二 项 式 ? x + ? 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 _____________ , 展 开 式 中 各 项 系 数 和 x? ?

4



. (用数字作答)

a? ? 【例6】 若 ? 3 x ? ? 的展开式中的常数项为 ?220 ,则实数 a ? ___________. x? ?

12

a? ? 【例7】 在二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中, x 的系数是 ? 10 ,则实数 a 的值为 x? ?

5



4

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1? ? 【例8】 在 ? x 2 ? ? 的展开式中,常数项是______. (结果用数值表示) x? ?
6

1? ? 【例9】 如果 ? x ? ? 展开式中,第四项与第六项的系数相等,则 n ? x? ?

n

,展开式中的常数项的

值等于



1 【例10】 (1 ? 2x2 )( x ? )8 的展开式中常数项为 x

(用数字作答)

1 【例11】 若 ( x ? )n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为_______(用数字作答) . x

【例12】 若 (2 x 3 ?

1 x

) n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于



2 【例13】 在 ( x ? )n 的二项展开式中,若常数项为 60 ,则 n 等于 x

(用数字作答)

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1 【例14】 ( x2 ? )n 的展开式中,常数项为 15,则 n ? x



【例15】 已知 (1 ? x ? x2 )( x ?

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N* ,且 2 ≤ n ≤ 8 ,则 n ? ______. x3

【例16】 ( x ?

1
3

x

)12 展开式中的常数项为_______(用数字作答) .

【例17】 已知 ( x 2 ? 项是

i x

) n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ?

3 , 其中 i 2 ? ?1 , 则展开式中常数 14

(用数字作答)

3 【例18】 已知 n ≤ 10(n ? N) ,若 ( x ?

1 n ) 的展开式中含有常数项,则这样的 n 有( x2
C. 1 D.0



A.3 个

B.2

6

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【例19】 (1 ? 3 x )6 (1 ?

1
4

x

)10 展开式中的常数项为_______(用数字作答) .

x 1 【例20】 ( ? ? 2)5 的展开式中整理后的常数项为 2 x

(用数字作答) .

1 【例21】 (1 ? 2x2 )( x ? )8 的展开式中常数项为 x

(用数字作答)

1? ? 【例22】 已知 ? 2 x3 ? ? 的展开式的常数项是第 7 项,则 n 的值为( x? ?

n

) D. 10

A. 7

B. 8

C. 9

2 【例23】 在 ( x ? )n 的二项展开式中,若常数项为 60 ,则 n 等于 x

(用数字作答)

1 【例24】 ( x2 ? )n 的展开式中,常数项为 15,则 n ? x



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【例25】 ( x ?

1
3

x

)12 展开式中的常数项为_______(用数字作答) .

【例26】 已知 ( x 2 ? 项是

i x

) n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ?

3 , 其中 i 2 ? ?1 , 则展开式中常数 14

(用数字作答)

3 【例27】 已知 n ≤ 10(n ? N) ,若 ( x ?

1 n ) 的展开式中含有常数项,则这样的 n 有( x2
C. 1 D.0



A.3 个

B.2

1 ? ? 【例28】 ? x ? 3 ? 展开式中的常数项为( x? ?

12

) D. 220

A. ?1320

B. 1320

C. ?220

1 ? ? 【例29】 求 ? x ? ? 2 ? 展开式中的常数项. x ? ?

6

8

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1 ? ? 【例30】 ? 2 x ? ? 的展开式的常数项是 2 x? ?

6

(用数字作答)

2? ? 【例31】 在 ? x ? ? 的二项展开式中,若常数项为 60 ,则 n 等于( x? ?

n



A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

1? ? 【例32】 ? x ? ? 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是 x? ?

n



? 1 ? 【例33】 若 ? ? x?3 ? ? 的展开式中存在常数项,则 n 的值可以是( x? ? A. 10 B.11 C. 12

n

) D.14

1 【例34】 在 (2x2 ? )6 的展开式中常数项是 x

,中间项是 ________ .

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【例35】 已知 (1 ? x ? x2 )( x ?
1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N* ,且 2 ≤ n ≤ 8 ,则 n ? ______. 3 x

【例36】 若 (2 x 3 ?

1 x

) n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于



1 ? ? 2 3 【例37】 已知 ? x ? 则展开式中常数项是 ( ? 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 , 14 x? ?

n



A. ?1

B. 1

C. ? 45

D. 45

? 2 1? 【例38】 若 ? x ? ? 展开式中的二项式系数和为 512 ,则 n 等于________;该展开式中的常数项 x? ?
为_________.

n

1? ? 【例39】 若 ? ax 2 ? ? 的展开式中常数项为 84 ,则 a ? _____ ,其展开式中二项式系数之和为 x? ?

9

_________.

10

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1? ? 【例40】 若 ? x ? ? 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( x? ?

n

) D. 120

A. 10

B. 20

C. 30

有理项
2 ? ? 【例41】 求二项式 ? 3 x ? ? 的展开式中: x? ?
15

⑴ 常数项; ⑵ 有几个有理项(只需求出个数即可) ; ⑶ 有几个整式项(只需求出个数即可) .

【例42】 ( 2 ? 3 3)100 的展开式中共有_______项是有理项.

【例43】 二项式 ( 3 x ?

2 x

)15 的展开式中:

⑴求常数项; ⑵有几个有理项; ⑶有几个整式项.

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1 ? ? 【例44】 已知在 ? x ? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列 2 x? ?
n

①求 n ; ②求展开式中的有理项.

1 ? ? 【例45】 二项展开式 ? x ? 3 ? 中,有理项的项数是( x? ?

15



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【例46】 在 3 ? x ? 2 ? 3 x A.1

?

?

11

p 的展开式中任取一项,设所取项为有理项的概率为 p ,则 ?0 x dx ?

1

B.

6 7

C.

7 6

D.

11 13

【例47】 ( x ? 3 x )12 的展开式中,含 x 的正整数次幂的项共有(

) D. 1 项

A. 4 项

B. 3 项

C. 2 项

【例48】 若 1 ? 2

?

?

5

? a ? b 2 ( a , b 为有理数) ,则 a ? b ? (



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A. 45 B. 55 C. 70 D. 80

系数最大的项
【例49】 已知 ( x ?
1 2 x ) n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

⑴求 n 的值; ⑵求展开式中系数最大的项.

【例50】 (2 ? 3x) 展开式中系数最大的项是第几项?
20

【例51】 已知 (1 ? 3x) 的展开式中, 末三项的二项式系数的和等于 121 , 求展开式中系数最大的项.
n

? x ?1 ? 【例52】 在 ? ? x 3 ? 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是____. ?2 ? A. ?7 B. 7 C. ? 28 D. 28

n

lg x 8 【例53】 已知 (2 x ? x ) 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,求 x .

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1 ? ? 【例54】 求 ? x ? 3 ? 的展开式中,系数绝对值最大的项以及系数最大的项. 2 x? ?

10

? 1 3 2? 4 45 【例55】 已知 ? ? x? x ? ? 展开式中的倒数第三项的系数为 ,求: ? ?

n

⑴含 x 3 的项; ⑵系数最大的项.

m n n ? N? , m , n ≥ 1 , f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中, x 的系数为 19 . 【例56】 设 m ,

⑴ 求 f ( x) 展开式中 x2 的系数的最大、最小值; ⑵ 对于使 f ( x) 中 x2 的系数取最小值时的 m 、 n 的值,求 x7 的系数.

【例57】 已知: ( x 3 ? 3x 2 )n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 .

2

⑴ 求展开式中二项式系数最大的项;⑵ 求展开式中系数最大的项.

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【例58】 (2 ? 3x) 展开式中系数最大的项是第几项?
20

【例59】 关于二项式 ( x ? 1)

2005

有下列命题:

① 该二项展开式中非常数项的系数和是 1 : 6 1999 ② 该二项展开式中第六项为 C2005 x ; ③ 该二项展开式中系数最大的项是第 1003 项与第 1004 项; 2005 ④ 当 x ? 2006 时, ( x ? 1) 除以 2006 的余数是 2005 . 其中正确命题的序号是__________. (注:把你认为正确的命题序号都填上)

?x 1 ? 【例60】 在 ? + 3 ? 的展开式,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 x? ?2

n

. (用

数字作答)

【例61】 设 为

?

17 ? 4

? ?n? N ? 的 整 数 部 分 和 小 数 部 分 分 别 为 M
2 n?1 *

n

与 mn , 则 mn ? M n ? mn ? 的 值



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m n 12 b 为正实数,且 2m ? n ? 0 , mn ? 0 ,它的展开式中系数最大的项是常数 【例62】 (ax ? bx ) 中, a ,

项,求

a 的取值范围. b

【例63】 二项式 (1 ? sin x) 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7 ,且二项式系数最大的一项的值
n



5 ,则 x 在 (0 , 2 π) 内的值为___________. 2

【例64】 如果 (3x2 ?

2 n ) 的展开式中含有非零常数项, 则正整数 n 的最小值为_______ (用数字作答) . x3

【例65】 在二项式 ?1 ? x ? 的展开式中,存在着系数之比为 5∶7 的相邻两项,则指数 n ? n ? N *? 的最小值
n





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