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2015创新设计(高中理科数学)题组训练8-7


第7讲

抛物线

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 y2 1.(2013· 四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- 3 =1 的渐近线的距离是 ( 1 A.2 C.1 解析
2

).

3 B. 2 D. 3 y2 抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),

双曲线 x - 3 =1 的渐近线方程是 y=± 3
2

x,即 3x± y=0,故所求距离为 答案 B

3 = 2 .选 B. ? 3? +?± 1?
2 2

| 3± 0|

2. (2014· 济宁模拟)已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相切, 则 p 的值为 A.1 1 C.2 解析 B.2 D.4 圆的标准方程为(x-3)2+y2=16,圆心为(3,0),半径为 4.圆心到准线 ( ).

? p? 的距离为 3-?-2?=4,解得 p=2. ? ? 答案 B

3.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 ( A.y=12x2 C.y=-36x2 B.y=12x2 或 y=-36x2 1 1 D.y=12x2 或 y=-36x2 ).

解析 答案

1 1 分两类 a>0,a<0 可得 y=12x2,y=-36x2. D

x2 y2 4. (2014· 潍坊一模)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 与双曲线 4 - 5 =1 的右焦 点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|, 则 A 点的横坐标为 A.2 2 C.2 3 解析 B.3 D.4 ( ).

p ?p ? 抛物线的焦点为?2,0?,准线为 x=-2.双曲线的右焦点为(3,0),所以 ? ?

p 2 2=3,即 p=6,即 y =12x.过 A 做准线的垂线,垂足为 M,则|AK|= 2|AF| = 2|AM|,即|KM|=|AM|,设 A(x,y),则 y=x+3,代入 y2=12x,解得 x= 3. 答案 B x2 y2 5.(2013· 天津卷 )已知双曲线 a2-b2=1(a>0 ,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2 = 2px(p>0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3,则 p= A.1 C.2 解析 3 B.2 D.3 c 由已知得双曲线离心率 e=a=2,得 c2=4a2,∴b2=c2-a2=3a2,即 b ( ).

b = 3a.又双曲线的渐近线方程为 y=± ax=± 3x,抛物线的准线方程为 x=- p ? p ? p 3 ? 3p? ? ? ? ? 2,所以不妨令 A?-2, 2 p?,B?-2,- 2 ?,于是|AB|= 3p.由△AOB 的 1 p 2 面积为 3可得2· 3p· 2= 3,所以 p =4,解得 p=2 或 p=-2(舍去). 答案 C

二、填空题 6.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是

________. 解析 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离, 故点 P

的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标 准方程为 x2=12y. 答案 x2=12y

7.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|=4,则点 M 的 横坐标 x0=________. 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1.

根据抛物线的定义,点 M 到准线的距离为 4,则 M 的横坐标为 3. 答案 3
2

x2 y2 8.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 3 - 3 =1 相交于 A,B 两 点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 解析 3 如图,在等边三角形 ABF 中,DF=p,BD= 3 p,

1 2 p2 3p 4 ? 3 p? ∴B 点坐标为? p,- ?.又点 B 在双曲线上,故 3 - 3 =1.解得 p=6. 2? ?3

答案

6

三、解答题 9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点 的距离为 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解 法一 根据已知条件,抛物线方程可设为

? p ? y2=-2px(p>0),则焦点 F?-2,0?. ? ? ∵点 M(-3,m)在抛物线上,且|MF|=5,

2 ?m =6p, ? 故? p? ? ?-3+2?2+m2=5, ? ? ? ?

?p=4, 解得? ?m=2 6

?p=4, 或? ?m=-2 6.

∴抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 法二 p 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方程为 x=2,由抛物线定义,

p M 点到焦点的距离等于 M 点到准线的距离,所以有 -(-3)=5,∴p=4. 2 ∴所求抛物线方程为 y2=-8x, 又∵点 M(-3,m)在抛物线上, 故 m2=(-8)×(-3), ∴m=± 2 6. 10.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA· OB是一个定值. (1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点 F 为(1,0),准线方程为 x=-1,∴直线 l

的方程为 y=x-1, ?y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x 得 x2-6x+1=0,∴x1+x2=6, 由直线 l 过焦点,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8. (2)证明 设直线 l 的方程为 x=ky+1,

?x=ky+1, 由? 2 得 y2-4ky-4=0. ?y =4x → → ∴y1+y2=4k,y1y2=-4,OA=(x1,y1),OB=(x2,y2). → → ∵OA· OB=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2

=-4k2+4k2+1-4=-3. → → ∴OA· OB是一个定值. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 x2 y2 2 1. 已知双曲线 C1: a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x =2py(p>0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 ( 8 3 A.x2= 3 y C.x2=8y 解析 16 3 B.x2= 3 y D.x2=16y ).

x2 y2 ∵a2-b2=1 的离心率为 2,

2 2 c c2 a +b b ∴a=2,即a2= a2 =4,∴a= 3.

p? x2 y2 b ? 0 , ? ? x =2py 的焦点坐标为 , 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,即 y=± 3 2? a b a ?
2

x.由题意,得

p 2 1+? 3?2

=2,

∴p=8.故 C2:x2=16y,选 D. 答案 D

2.(2014· 洛阳统考)已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+ 3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是 ( A. 3 C.2 解析 B. 5 D. 5-1 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛 ).

物线的定义可知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与 到 y 轴的距离之和为 d+|PF|-1.易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离, 故 d+|PF|的最小值为 |2+3| = 5,所以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. 2 +?-1?2
2

答案

D

二、填空题 x2 y2 3.(2014· 郑州二模)已知椭圆 C: 4 + 3 =1 的右焦点为 F,抛物线 y2=4x 的焦点 为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜 角为 120° ,那么|PF|=________. 解析 抛物线的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x=-1.因为直线 AF 的倾斜 yA ,所以 yA=2 3.因为 PA⊥l,所以 yP=yA -1-1

角为 120° ,所以 tan 120° =

=2 3,代入 y2=4x,得 xA=3,所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4. 答案 4

三、解答题 4.(2013· 辽宁卷)如图,抛物线 C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点 M(x0,y0) 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重 1 合于 O).当 x0=1- 2时,切线 MA 的斜率为-2.

(1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时, 中点为 O). 解 x (1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y′=2,且切

1? 1 ? 线 MA 的斜率为-2,所以 A 点坐标为?-1,4?, ? ? 1 1 故切线 MA 的方程为 y=-2(x+1)+4. 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,

3-2 2 1 1 于是 y0=-2(2- 2)+4=- 4 ,① ?1- 2?2 3-2 2 y0=- 2p =- 2p .② 由①②得 p=2.
2 x1 x2 2? ? ? ? (2)设 N(x,y),A?x1, 4 ?,B?x2, 4 ?,x1≠x2, ? ? ? ?

由 N 为线段 AB 中点知 x=
2 x2 1+x2 y= 8 .④

x1+x2 2 .③

切线 MA,MB 的方程为 x1 x2 1 y= 2 (x-x1)+ 4 ,⑤ x2 x2 2 y= 2 (x-x2)+ 4 .⑥ 由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= x1+x2 x1x2 , y 0= 2 4 .

因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x2 0=-4y0,
2 x2 1+x2 所以 x1x2=- 6 .⑦

4 由③④⑦得 x2=3y,x≠0. 4 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2=3y. 4 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2=3y.


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