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苏教版高中数学必修一函数单调性课件


函数的单调性

东海县第二中学 高一备课组

如图,为我市一月份某日24小时内的气温变化图. 据图回答下列问题: (1)气温 ? 是时间t的函数吗? (2)从图中,你能得到哪些信息? (3)写一篇短文,向你的朋友具体介绍一下今天 定义域和值域分别是什么? 的天气.
θ / 0c 8
6 4 2

o

-2

2 4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24

T/h

画出下列函数的图像,回答当自变量x增加时, 函数f(x)的图像的变化趋势如何?

(1) f ( x) ? x ? 1
(0,1)

(2) f ( x) ? x ,x ?[0,+?)
2

(-1,0)

思考:当自变量x增加时,函数f(x)的变化趋势如何?

单调增函数 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I?A. 如果对于区间I内的任意两个值 x1, x2,若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数, I称为y=f(x)的单调增区间.

单调增函数的图像有什么特点?
从左到右,函数的图像逐渐向上.

练习
判断下列说法是否正确: (1) 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)>f(1),则函数是 R 上的增函数; (2) 定义在[0,2]上的函数 f(x),若任意的 x ?[0,2] 都有
f ( x)<f (2) ,则函数在[0,2]是增函数;

类比单调增函数的定义,你能给出单调减函 数的定义吗?
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数 或单调减函数,就说函数在区间I上具有单 调性. 单调增区间和单调减区间统称为函数的单 调区间.

例1. 画出下列函数的图像,并写出单调区间 (1) y =-x +2
2

1 (2) y = x

思考:
1 函数 y = 在区间 (-?,0) ? (0,+?) 上单调递减的吗? x

数学应用
例2、如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单 调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.

[?5, 2] ? [1, ? 3] 对吗?
解:函数f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数, 在区间[-2,1],[3,5]上是增函数.

1 例 3.求证: 函数 f ( x ) ? - 在区间 (0,+?) 上是单调增函数. x
证明:设是区间 (0,+?) 上的任意两个值,且 x1 <x2 , 则 x1 -x2 <0 , x1 ? x2 >0 .

1 1 x1 -x2 f ( x1 )-f ( x2 ) ? - = <0 x2 x1 x1 x2
所以 f ( x1 )<f ( x2 ) .

1 所以 f ( x ) ? - 在区间 (0,+?) 上是单调增函数. x

用定义法证明函数单调性的步骤:
(1) 取值.在区间内任意取两个值 x1 ,x2 ,且 x1 <x2 . (2) 作差变形.作差求 f ( x1 ) - f ( x2 ) ,并通过因式分解、配方等 方法变形. (3) 定号. 确定差的符号,当符号不能确定时,需分类讨论. (4) 判断.根据定义得出结论.

练习:
根据定义证明函数 f ( x) ? 2 x 在 R 上是单调增函数.

讨论一次函数y=kx在什么情况下是单调增函数.
1.y=(k+3)x在R上是单调增函数,则k的取值范围是_____.

讨论
李明是小学学生,在学习数的运算之 后,总结出这样的规律“一个数越大,它 的倒数越小”,结合实际情况说明:这个 规律是正确的吗? 你能通过添加一些条件,让这个规律正确吗?


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