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高考数学轨迹方程的求法


难点 22 轨迹方程的求法
(★★★★)已知 A、 B 为两定点, 动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹 方程,并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 [例 1]如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹 方程. 技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一 个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上 的点为相关点,求得轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|. 又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理: 在 Rt△OAR 中, |AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2) 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2

整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. [例 2]设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB, OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.(2000 年北京、安徽春招) .技巧与方法:将动点的坐标 x、y 用其他相关的量表示出来,然后再消掉这些量,从而 就建立了关于 x、y 的关系. 解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有

? ? ? 2 ? y1 ? 4 px1 ? 2 ? y 2 ? 4 px2 ? y1 y 2 ? ?1 ? ? ? x1 x 2 ? y y1 ? y 2 ? ?1 ? ? ? x x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 y ? y1 ? ? ? x1 ? x 2 x ? x1
①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4p(x1-x2) 若 x1≠x2,则有

① ② ③ ④ ⑤

y1 ? y 2 4p ? x1 ? x 2 y1 ? y 2



①?②,得 y12?y22=16p2x1x2 ③代入上式有 y1y2=-16p2 ⑥代入④,得

⑦ ⑧

4p x ?? y1 ? y 2 y

⑥代入⑤,得

y ? y1 y ? y1 4p ? ? 2 y1 ? y 2 x ? x1 y x? 1 4p

所以

4 p( y ? y1 ) 4p ? 2 y1 ? y 2 4 px ? y1

即 4px-y12=y(y1+y2)-y12-y1y2 ⑦、⑧代入上式,得 x2+y2-4px=0(x≠0) 当 x1=x2 时,AB⊥x 轴,易得 M(4p,0)仍满足方程. 故点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆,去 掉坐标原点. 解法二:设 M(x,y),直线 AB 的方程为 y=kx+b x 由 OM⊥AB,得 k=- y 由 y2=4px 及 y=kx+b,消去 y,得 k2x2+(2kb-4p)x+b2=0 所以 x1x2= 所以 y1y2=

b2 ,消 x,得 ky2-4py+4pb=0 k2

4 pb ,由 OA⊥OB,得 y1y2=-x1x2 k

所以

b2 4 pk =- 2 ,b=-4kp k k

故 y=kx+b=k(x-4p),用 k=-

x 代入,得 x2+y2-4px=0(x≠0) y

故动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0), 它表示以(2p,0)为圆心, 以 2p 为半径的圆, 去掉坐标原点. [例 3]某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱,检测一个直 径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准 圆柱的直径为多少? 技巧与方法:研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动 圆圆心的轨迹方程. 解:设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两 等圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切. 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2.5 的椭圆上,其方程为

1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 ① 25 3 同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 1 4 (x- )2+ y2=1 ② 2 3
由①、②可解得 P(

3 9 12 3 9 12 9 12 , ), Q( ,? ) ,∴r= ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 14 14 7 14 14 14 14

故所求圆柱的直径为

6 cm. 7

●锦囊妙计 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化 简即得动点轨迹方程. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等),可用定义直接探求. (3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的 x,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个 变量为参数,建立轨迹的参数方程. 求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程” 是两个不同的概念. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.(★★★★)设 A1、A2 是椭圆

x2 y2 ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦 9 4

的端点,则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为(

)

x y ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 C. 9 4 二、填空题
A.

2

2

y2 x2 ? ?1 9 4 y2 x2 ? ?1 D. 9 4
B.

3.(★★★★)△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- -sinB=

a a ,0),C( ,0),且满足条件 sinC 2 2

1 sinA,则动点 A 的轨迹方程为_________. 2

4.(★★★★)高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆 底部的坐标分别确定为 A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方 程是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A, 又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

6.(★★★★)双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥ a 2 b2

A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程. 7.(★★★★★)已知双曲线

x2 y2 ? =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、A2,与 y 轴平行的直线 m2 n2

l 交双曲线于点 P、Q. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8.(★★★★★)已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点, a 2 b2

∠F1PF2 的外角平分线为 l,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R.

(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l:y=k(x+ 2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值. 参考答案 难点磁场 解:建立坐标系如图所示, 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0). 设 M(x,y)是轨迹上任意一点. 则由题设,得

( x ? a) 2 ? y 2 | MA | =λ ,坐标代入,得 = | MB | ( x ? a) 2 ? y 2

λ ,化简得 (1-λ 2)x2+(1-λ 2)y2+2a(1+λ 2)x+(1-λ 2)a2=0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是直线(y 轴). (2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x2+y2+

2a(1 ? ?2 ) x+a2=0.点 M 的轨迹是以 2 1? ?

(-

a (1 ? ?2 ) 2 a? ,0)为圆心, 为半径的圆. 2 1? ? | 1 ? ?2 |
歼灭难点训练 一、1.解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆. 答案:A 2.解析:设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0) ∵A1、P1、P 共线,∴

y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3 y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3
2 2

∵A2、P2、P 共线,∴

x y 9 3y x2 y2 , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 解得 x0= , y0 ? x x 9 4 9 4 答案:C
二、3.解析:由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2
16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) . ,故方程为 2 ? 2 4 a 3a 2

∴应为双曲线一支,且实轴长为

答案:

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

4.解析:设 P(x,y) ,依题意有

5 ( x ? 5) ? y
2 2

?

3 ( x ? 5) 2 ? y 2

,化简得 P 点轨迹方程为

4x2+4y2-85x+100=0. 答案:4x2+4y2-85x+100=0 三、5.解:设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、E 两点,两切线交于点 P.由切 线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点 的椭圆,以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点 P 的轨迹 方程为

x2 y2 ? =1(y≠0) 81 72 6.解:设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(-a,0),A2(a,0).

y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y y y ? 0 ? ? 0 ? ? ?1 y ? ? ? x ? a x0 ? a
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2. 即 b2(-x2)-a2(

x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y

化简得 Q 点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(x≠±a). 7.解:(1)设 P 点的坐标为(x1,y1),则 Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-m,0),A2(m,0), 则 A1P 的方程为:y=

y1 ( x ? m) x1 ? m
y1 ( x ? m) x1 ? m
2



A2Q 的方程为:y=-



①?②得:y2=-

y1
2

x1 ? m 2

( x 2 ? m2 )
2 2



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y1 n2 2 2 ? ? 1 , 即 y ? ( x1 ? m 2 ). 1 m2 n2 m2

代入③并整理得

x2 y2 ? =1.此即为 M 的轨迹方程. m2 n2

(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆. ( ⅰ ) 当 m > n 时,焦点坐标为 ( ± m2 ? n2 ,0) ,准线方程为 x= ±

m2 m2 ? n2

, 离心率

e=

m2 ? n2 ; m
( ⅱ ) 当 m < n 时,焦点坐标为 (0, ± m2 ? n2 ), 准线方程为 y= ±

n2 n2 ? m2

, 离心率

e=

n2 ? m2 . n

8.解:(1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又 因 为 l 为 ∠ F1PF2 外 角 的 平 分 线 , 故 点 F1 、 P 、 Q 在 同 一 直 线 上 , 设 存 在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

x ?c ? x0 ? 1 ? ? 2 又? ? y ? y1 0 ? 2 ? 得 x1=2x0-c,y1=2y0. ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2. 故 R 的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0)
a2 1 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a2. 2
(2)如右图,∵S△AOB= 此时弦心距|OC|=

| 2ak | 1? k2

.

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3


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