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2014年深圳市高三年级第一次调研考试(理科)数学试题


绝密★启用前

试卷类型:A

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)

2014.02.25

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息 条形码是否

正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置 填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确 粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不 按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4、 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再做答. 漏 涂、错涂、多涂的答案无效. 5、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B); 若锥体的底面积为 S,高为 h,则锥体的体积为 V =

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四 个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合 A={2,0,1,4},集合 B={x|0<x≤4,x∈R},集合 C=A∩B. 则集合 C 可表示为 A、{2,0,1,4} B、{1,2,3,4} C、{1,2, 4} D、{x|0<x≤4,x∈R} 2、复数 z 满足 z(1-i)=1 (其中 i 为虚数单位),则 z A、

1 1 ? i 2 2

B、

1 1 ? i 2 2

C、 ?

1 1 ? i 2 2

D、 ?

1 1 ? i 2 2

3、下列函数中,为奇函数的是

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1 x A、 y = 2 + x 2

?1 ,x ? 0 ? B、y=x,x∈ {0,1} C、y=x· sinx D、 y = ?0,x ? 0 ??1 x?0 ? ,

4、“ω=1”是“ 函数 f(x)=cosωx 在区间[0,π ]上单调递减”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 5、执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 a 的值为 开始 (注:“a=2”,即为“a←2”或为“a:=2”.) a=2,i=1 1 A、2 B、

3

1 C、 ? 2
6、( x ?

D、-3
1 4 ) 的展开式中常数项为 2x

a=

1+ a 1? a

i=i+1 i≥2014 是 输出 a 结束 y C 2 1 1 图2 A x 否

1 A、 2 3 C、 2

1 B、 ? 2 3 D、 ? 2

图1 y=x2+1 B y=x+1

7、如图 2,在矩形 OABC 内:记抛物线 y=x2+1 与直线 y=x+1 围成的区域为 M (图中阴影部分).随机往矩形 OABC 内投 一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率是

1 18 1 C、 6
A、

1 12 1 D、 3
B、

O

8、在平面直角坐标系中,定义两点 P(x1,y1)与 Q(x2,y2)之间的“直角距离” 为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|. 给出下列命题: ① 若 P(1,2),Q(sinα,2cosα)(α∈ R),则 d(P,Q)的最大值为 3 + 5 ; ② 若 P,Q 是圆 x2+y2=1 上的任意两点,则 d(P,Q)的最大值为 2 2 ; ③若 P(1,3),点 Q 为直线 t=2x 上的动点,则 d(P,Q)的最小值为 其中为真命题的是 A、① ② ③ B、① ②

1 . 2

C、① ③

D、 ②③

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二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本 大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10a、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9、函数 f(x) =

2 x ? 4 的定义域为_____________.
正视图 侧视图

10、某几何体的三视图如图 3 所示,其正视图是 边长为 2 的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直 角三角形,则此几何体的体积是_____________.

x 2 y2 x 2 y2 + ? 1 有相同的焦点,且双曲线 11、已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 与椭圆 a b 9 4
C 的渐近线方程为:y=± 2x,则双曲线 C 的方程为_________.

俯视图

图3

?x ? y ? 12、设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2x ,向量 a = (2x ? y, m) , b = (?1 , 1) . ?x ? 1 ?
若 a // b ,则实数 m 的最大值为______. 13.在数列{an}中,已知 a2=4,a3=5,且数列{an+n}是等比数列,则 an = ______. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算前一题的得分. 14、(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 x0y 中,以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C1 的参数方程为 ? 数),曲线 C2 的极坐标方程为ρ sinθ -ρ cosθ =-1. 则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为________个. 15、(几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB 是⊙O 的直径,TA 是⊙O 的切线,过 A 作弦 AC∥ BT, 若 AC=4, AT ? 2 3 ,则 AB= .

? ?x = t
2 ? ?y = 1 ? t

(t 为参 T

B C

O 图4

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin(2x+Φ )(0<Φ <π )的图像过点 (

? , 1) . 12

(1)求Φ 的值; (2) 在△ ABC 中,角 A , B 所对的边分别为 a , b , c ,若 a2+b2 - c2=ab ,
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f(

A ? 2 ,求 sinB. ? )? 2 12 2

17、(本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友在 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购 情况,随机抽查了该市当天 60 名网友的网购金融情况,得到如下数据统计 表(如图 5(1)): 频率/组距 网购金融 (单位:千元) (0,0.5] (0.5,1] (1,1.5] (1.5,2] (2,2.5] (2.5,3] 合计 频数 3 x 9 15 18 y 60 (1) 频率 0.05 p 0.15 0.25 0.30 q 1.00 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 图5 1 1.5 (2) 2 2.5 3 金额(千元)

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 2 千元的 顾客定义为“非网购达人” ,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3:2. (1)试确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5 (2)) (2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人” 、 “网购达人”中用分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设ξ 为选取的 3 人中“网购达人”的人数,求ξ 的分布列 和数学期望.

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18、(本小题满分 14 分) 如图 6 所示, 平面 ABCD ? 平面 BCEF, 且四边形 ABCD 为矩形, 四边形 BCEF 为直角梯形,BF∥CE,BC⊥CE,DC=CE=4,BC=BF=2. (1)求证 :AF∥平面 CDE; (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值. D A

C B 图6 F

E

19、(本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 4(n+1)(Sn+1)= (n+2)2an(n∈ N*). (1)求 a1,a2 的值;(2)求 an; (3)设 b n ?

3 n ?1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? . 4 an

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20、(本小题满分 14 分) 如图 7,直线 l:y=x+b(b>0),抛物线 C:y2=2px(p>0),已知点 P(2,2)在抛物 线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为

3 2 . 4

(1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2,1)的任一直线(不经过点 P)与抛物线 C 交于 A、B 两点,直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记直线 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3. 问:是否存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,试求出 λ 的值;若不存在, 请说明理由. y M B Q O 图7 A P x l

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ?

9x (a>0). 1 ? ax 2

(1)求 f(x)在[0.5,2]上的最大值; (2)若直线 y=-x+2a 为曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值; (3)当 a=2 时,设 x1,x2,…,x14∈ [0.5,2],且 x1+x2+…+x14=14,若不等式 f(x1)+f(x2)+…+f(x14)≤λ 恒成立,求实数 λ 的最小值.

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2014 年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则; 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解 答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分; 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数; 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9、{x|x≥2}; 13、2· 3n-1-n; 10、

8 ; 3

11、 x ?
2

y2 ? 1; 4

12、6;

14、1;

15、 2 6 .

三、解答题 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin(2x+Φ )(0<Φ<π)的图像经过点 (

? , 1) . 12

(1)求Φ 的值; (2)在△ABC 中,角 A,B 所对的边分别为 a,b,c,若 a2+b2-c2=ab,

f(

A ? 2 ? )? ,求 sinB. 2 12 2
……2 分 ……5 分

? ? , 1) ,即 sin( ? ?) ? 1 . 12 6 ? ? 7? ? ? ? ∵0<Φ<π,∴ ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,∴? ? . 6 6 6 6 2 6
解:(1)由题意可得 ( (2)∵ a2+b2-c2=ab,∴cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

……7 分

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∴sin C ? 1 ? cos C ?
2

3 . 2
? 3

……8 分

由(1)知 f (x) ? sin(2x ? ) ,∴f (

A ? ? 2 . ? ) ? sin(A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2
2

∵ A∈ (0,π), ∴ sin A ? 1 ? cos A ? 又∵ sinB= sin[π-(A+C)]= sin(A+C), ∴ sinB= sinAcosC+cosAsinC ?

2 , 2

……10 分

2 1 2 3 2? 6 . ……12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

【说明】本小题主要考查了三角函数 f(x)=asin(ω x+Φ )(的图象与性质,三角 恒等变换,以及余弦定理等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17、(本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友在 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购 情况,随机抽查了该市当天 60 名网友的网购金融情况,得到如下数据统计 表(如图 5(1)): 频率/组距 网购金融 (单位:千元) (0,0.5] (0.5,1] (1,1.5] (1.5,2] (2,2.5] (2.5,3] 合计 频数 3 x 9 15 18 y 60 (1) 频率 0.05 p 0.15 0.25 0.30 q 1.00 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 图5 1 1.5 (2) 2 2.5 3 金额(千元)

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 2 千元的 顾客定义为“非网购达人” ,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3:2. (1)试确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5 (2)) (2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人” 、
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“网购达人”中用分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设ξ 为选取的 3 人中“网购达人”的人数,求ξ 的分布列 和数学期望. 频率/组距 解:(1)根据题意,有 0.7

?3 ? x ? 9 ? 15 ? 18 ? y ? 60 ? , 2 ? 18 ? y ? ? ? 3 ? x ? 9 ? 15 3
解得 ?

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 金额(千元)

?x ? 9 , ?y ? 6

……2 分

∴ P=0.15,Q=0.10. 补全频率分布直方图如图所示. ……4 分

(2)用分层抽样的方法, 从中选取 10 人, 则其中“网购达人”有 10 ? “非网购达人”有 10 ?

2 ? 4 人, 5

3 ? 6 人. 5

……6 分
3 2 C0 C1 1 1 4 C6 4 C6 , ? P( ξ = 1) ? ? , 3 3 C10 6 C10 2

故ξ 的可能取值为 0, 1, 2, 3,P(ξ = 0) ?

P(ξ = 2) ?

1 0 C2 C3 3 1 4 C6 4 C6 , ? P( ξ = 3) ? ? . 3 3 C10 10 C10 30

……10 分

所以ξ 的分布列为: ξ P ∴ Eξ = 0 ? 0 1 2 3

1 6

1 2

3 10
D

1 30

1 1 3 1 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .……12 分 6 2 10 30 5

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随 A 机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概 率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18、(本小题满分 14 分) C 如图 6 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直角梯形,BF∥CE, B 图6 BC⊥CE,DC=CE=4,BC=BF=2. E F

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(1)求证 :AF∥平面 CDE; (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值. 解:(方法一)(1)取 CE 中点为 G,连接 DG、FG, ∵BF∥CG 且 BF=CG, ∴四边形 BFGC 为平形四边形, 则 BC∥FG 且 BC=FG, ……2 分 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴BC∥AD 且 BC=AD,∴FG∥AD 且 FG=AD, ∴四边形 AFGD 为平形四边形,则 AF∥DG. ∵DG? 平面 CDE,AF? 平面 CDE,∴AF∥平面 CDE. ……4 分 (2)过点 E 作 CB 的平行线交 BF 的延长线于 P,连接 FP,EP,AP, ∵EP∥BC∥AD, ∴A、P、E、D 四点共面. D ∵四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, ∴EP⊥CD,EP⊥CE,又∵CD∩CE=C, A ∴EP⊥平面 CDE,DE? 平面 CDE,∴EP⊥DE, 又∵平面 ADE∩平面 BCEF=EP, ∴∠DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成 锐二面角的平面角. ……7 分 C E ∵DE=CE=4,∴ cos ?DEC ?

CE 2 ? , DE 2

B

F

P

即平面平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)过点 F 作 FH⊥AP 于 H,连接 EH, ∵根据(2)知 A,P,E,D 四点共面, EP∥BC∥AD, ∴BC⊥BF,BC⊥AB, 又∵AB∩BF=B,∴BC⊥平面 ABP, ∴BC⊥FH,则 FH⊥EP. 又∵FH⊥AP,∴FH⊥平面 ADE. ∴直线 EF 与平面 ADE 所成角为∠HEF. ……11 分 D A

2 . 2

……9 分

C B
o

H

E P

F

∵DC=CE=4,BC=BF=2,∴ FH ? FP ? sin45 ? 2 ,

EF ? FP2 + EP2 ? 2 2 , HE ? 6 ,∴ cos ?HEF ?

HE 6 3 , ? ? EF 2 2 2

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即直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 . 2

……14 分

(方法二)(1)∵ 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, ∴BC⊥CE,BC⊥CD,又∵ 平面 ABCD⊥ 平面 BCEF,且 平面 ABCD∩平面 BCEF=BC,∴ DC⊥ 平面 BCEF. 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,CE 所在直线为 y 轴,CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标: A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0), F(2,2,0),则 AF ? (0,, 2 ? 4) , z D A

CB ? (2,, 0 0) .

……2 分

∵ BC⊥ CD,BC⊥ CE,且 CD∩CE=C, ∴ CB 为平面 CDE 的一个法向量, 又∵AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 , ∴AF∥平面 CDE. ……4 分 x B C F E y

(2)设平面 ADE 的一个法向量为 n ? (x1, y1, z1 ) ,则 ?

?AD ? n1 ? 0 ? ? ?DE ? n1 ? 0



∵AD ? (?2,, 4 ? 4) ,∴ ? 0 0) , DE ? (0,, 取 z1=1,得 n ? (0,, 1 1) .

? ?2x1 ? 0 , ? 4y1 ? 4z1 ? 0
……6 分

∵ DC⊥ 平面 BCEF,∴平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0,, 0 4) , 设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为α , 则 cos? =|

CD ? n1 | CD | ? | n1 |

|?

4 2 ? . 2 4? 2

因此,平面平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)根据(2)知平面 ADE 一个法向量为 n ? (0,, 1 1) ,
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2 . ……9 分 2

n ?=| ∵EF ? (2, ? 2, 0) ,∴cos ? EF,

EF ? n1 | EF | ? | n1 |

|?

?2 1 ?? , 2 2 2? 2
……12 分

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 θ,则 cosθ =| sin ? EF, n ?| ?

3 . 2
……14 分

因此,直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 . 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间 坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用 向量方法解决数学问题的能力. 19、(本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 4(n+1)(Sn+1)= (n+2)2an(n∈ N*). (1)求 a1,a2 的值;(2)求 an; (3)设 b n ?

3 n ?1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? . 4 an
……2 分

解:(1)当 n=1 时,有 4× (1+1)(a1+1)= (1+2)2a1,解得 a1=8. 当 n=2 时,有 4× (2+1)(a1+ a2+1)= (2+2)2a2,解得 a2=27. (2)(方法一)当 n≥2 时,有 4(Sn ? 1) ?

(n ? 2)2 a n , n ?1

……①

4(Sn ?1 ? 1) ?

(n ? 1)2 a n ?1 , n

……②

①-②得: 4a n ?

(n ? 2) 2 a n (n ? 1) 2 a n ?1 a (n ? 1)3 ? ,即 n ? .……5 分 n ?1 n a n ?1 n3



an a ?1 a a2 ? n3 ? n ?2 3 ? ... ? 3 ? 1 .∴an=(n+1)3(n≥2). ……8 分 3 (n ? 1) n (n ? 1) 3

另解: a n ?

a n a n ?1 a (n ? 1)3 n3 43 3 ? ? ...? ? 2 ? a1 ? ? ? ... ? ? 2 ? (n ? 1)3 . 3 3 3 a n ?1 a n ?2 a1 n (n ? 1) 3
……8 分 ……3 分

又∵ 当 n=1 时,有 a1=8,∴an=(n+1)3(n≥2). (方法二)根据 a1=8,a2=27,猜想:an=(n+1)3(n≥2).
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用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,有 a1=8=(1+1)3,猜想成立. (2)假设当 n=k 时,猜想也成立,即:ak= (k+1)3. 那么当 n=k+1 时,有 4(k+1+1)( Sk+1+1)= (k+1+2)2 ak+1, 即 4(Sk ?1 ? 1) ?

(k ? 2) a k (k ? 1 ? 2) 2 a k ?1 ,……① 又 4(Sk ? 1) ? ,……② k ?1 k ?1?1
2

①-②得 4a k ?1 ?

(k ? 3) 2 a k ?1 (k ? 2) 2 a k (k ? 3)2 a k ?1 (k ? 2) 2 (k ? 1)3 , ? ? ? k?2 k ?1 k?2 k ?1
……8 分 ……10 分

解得 ak+1=(k+2)3=(k+1+1)3,∴当 n=k+1 时,猜想也成立. 因此,由数学归纳法证得 an= (n+1)3 成立. (3)∵ bn ?

n ?1 1 1 1 1 , ? ? ? ? 2 an (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2 2 3 4 n (n ? 1) 2

∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn ?

?
?

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2 2 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)n n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )?( ? ) 4 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 1 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? ? . 4 2 n ?1 4 n ?1 4

……14 分

【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等 式等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化的思想. 20、(本小题满分 14 分) 如图 7,直线 l:y=x+b(b>0),抛物线 C:y2=2px(p>0),已知点 P(2,2)在抛物 线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2,1)的任一直线(不经过点 P)与抛物线 C 交于 A、B 两点,直线 AB 与直线 l 相交于点 M, 记直线 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3. 问:是否存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在, 试求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
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3 2 y . 4
M B Q O 图7 P

l

x A

解:(1)(方法一)∵点 P(2,2)在抛物线 C 上,∴ p=1. ……2 分 设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l′方程为 y=x+m,由 ? 得 x2+(2m-2)x+m2=0,∵ △=(2m-2)2-4m2=4-8m, ∴ 由△ =0,得 m ?

?y ? x ? m
2 ? y ? 2x



1 1 ,则直线 l′方程为 y ? x ? . 2 2

∵ 两直线 l、l′间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,

|b?
∴ 有

1 | 2 ? 3 2 ,解得 b=2 或 b=-1 (舍去). 4 2

∴ 直线 l 的方程为 y=x+2,抛物线 C 的方程为 y2=2x. ……6 分 (方法二) ∵点 P(2,2)在抛物线 C 上,∴ p=1,抛物线 C 的方程为 y2=2x. ……2 分 设 M(

t2 , t) (t∈ R)为抛物线 C 上的任意一点,点 M 到直线 l 的距离为 2

t2 | -t ? b | t2 1 d? 2 [(t ? 1) 2 ? 2b ? 1] , ,根据图象,有 -t ? b ? 0 ,∴d ? 2 2 2 2
∵ t∈ R,∴ d 的最小值为

2b ? 1 2b ?1 3 2 ,由 ,解得 b=2. ? 4 2 2 2 2

因此,直线 l 的方程为 y=x+2,抛物线 C 的方程为 y2=2x. ……6 分 (2)∵ 直线 AB 的斜率存在,∴ 设直线 AB 的方程为:y-1=k(x-2), 即 y=k(x-2)+1,由 ?

? y ? kx ? 2k ? 1 ? y ? 2x
2

,得 ky2-2y-4k+2=0,

设点 A、 B 的坐标分别为 A(x1, y1)、 B(x2, y2), 则 y1 ? y 2 ? ∵k1 ?

2 2 ? 4k y1 ? y 2 ? , , k k
……9 分

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? , k2 ? , x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2

第 14 页 共 16 页

2 2? ?8 2(y1 ? y) ? 8 2 2 k ∴k1 ? k 2 ? ? ? ? y1 ? 2 y2 ? 2 y1y2 ? 2(y1 ? y) ? 4 2 ? 4k ? 2 ? 2 ? 4 k k 4k ? 2 ? , ……10 分 3
由?

? y ? kx ? 2k ? 1 ? y ? 2x
2

,得 x M ?

2k ? 1 4k ? 1 , yM ? , k ?1 k ?1

4k ? 1 ?2 2k ? 1 ∴k 3 ? k ? 1 , ? 2k ? 1 3 ?2 k ?1

……13 分

∴ k1+k2=2k3.因此存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3 成立,且 λ=2. ……14 分 【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位 置关系,切线方程,点到直线距离,最值问题等基础知识,考查学生运算能 力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化 思想. 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ?

9x (a>0). 1 ? ax 2

(1)求 f(x)在[0.5,2]上的最大值; (2)若直线 y=-x+2a 为曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值; (3)当 a=2 时,设 x1,x2,…,x14∈ [0.5,2],且 x1+x2+…+x14=14,若不等式 f(x1)+f(x2)+…+f(x14)≤λ 恒成立,求实数 λ 的最小值. 解:(1) f′ (x) =

9[1? (1+ ax 2 ) ? x ? 2ax] 9(1 ? ax 2 ) , ? (1+ ax 2 )2 (1+ ax 2 )2

……2 分

令 f′(x)=0,解得 x = ? ①当 0 ? a ?

1 1 a a ? 2 ,解得 ? a ? 4 . (负值舍去),由 ? 4 2 a a

1 时,由 x∈ [0.5,2],得 f′(x)≥0, 4 18 ∴ f(x)在[0.5,2]上的最大值为 f (2) ? . 4a +1
②当 a≥4 时,由 x∈ [0.5,2],得 f′(x)≤0, ∴f(x)在[0.5,2]上的最大值为 f ( ) ?

……3 分

1 2

18 . a+4

……4 分

第 15 页 共 16 页

③当

1 1 a a ? a ? 4 时,∵在 ? x ? 时,f′(x)>0;在 ? x ? 2 时,f′(x)<0, 4 2 a a

∴f(x)在[0.5,2]上的最大值为 f (

a 9 a . )? a 2a

……5 分

(2)设切点为(t,f(t)),则 ?

(t) ? ?1 ?f ′ , ?f(t) ? ? t + 2a

……6 分

由 f′(t)=-1,有

9(1 ? at 2 ) ? ?1 ,化简得(at2)2-7at2+10=0, 2 2 (1+ at )
由 f(t)=-t+2a,有

即 at2=2 或 at2=5, ……①

9t ? 2a ? t ,……② 1+ at 2
……9 分

由①、②解得 a=2 或 a =

53 4 . 4

f(x) = (3)当 a=2 时,

9x , 由(2)的结论直线 y=4-x 为曲线 y= f(x)的切线, 1+ 2x 2

∵f(x)=2,∴ 点(2,f(2))在直线 y=4-x 上,根据图像分析,曲线 y= f(x)在直线 y=4-x 下方. ……10 分 下面给出证明:当 x∈ [0.5,2]时,f(x)≤4-x. ∵f(x) ? (4 ? x) =

9x 2x 3 ? 8x 2 +10x ? 4 2(x ? 1) 2 (x ? 2) ? 4 ? x = = , 1+ 2x 2 1+ 2x 2 1+ 2x 2

∴ 当 x∈ [0.5,2]时,f(x)-(4-x)≤0,即 f(x)≤4-x, ……12 分 ∴ f(x1)+f(x2)+…+f(x14)≤4×14-(x1+x2+…+x14) , ∵x1+x2+…+x14=14,∴ f(x1)+f(x2)+…+f(x14)≤56-14=42, ∴ 要使不等式 f(x1)+f(x2)+…+f(x14)≤λ 恒成立,必须 λ≥42. ……13 分 又∵ 当 x1=x2=…=x14=1 时,满足条件 x1+x2+…+x14=14, 且 f(x1)+f(x2)+…+f(x14)=42,因此,λ 的最小值为 42. ……14 分 【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应 用、不等式的求解与证明、恒成立问题,考查学生的分类讨论,计算推理能 力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.

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