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高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算


二、由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算:
典型例题: 例 1.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为【 】

( A) 6
【答案】 B 。

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

【考点】由三视

图判断几何体。 【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 。因此此几何体的体积为:

1 1 V ? ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 。故选 B 。 3 2
例 2.某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是【 A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 】 D. 60 ? 12 5

【答案】 B。 【考点】三棱锥的三视图问题。 【解析】如下图所示。图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过 勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系、等腰三角形 的性质和三角形面积公式,可得:

1

1 1 1 1 S后 = ? ? 2 ? 3? ? 4=10,S右 = ? 4 ? 5=10,S左 = ? 2 5 ? S底 = ? ? 2 ? 3? ? 4=10, 2 2 2 2
这里有两个直角三角形,一个等腰三角形。 ∴该三梭锥的表面积是 30 ? 6 5 。故选 B。

? 41 ? ? ? 5 ?
2

2

=6 5

例 3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为【



A.12π 【答案】C。

B.45π

C.57π

D.81π

【考点】由三视图求体积。 【解析】由三视图可知,此组合体上部是一个母线长为 5,底面圆半径是 3 的圆锥,下部是一个高为 5,底面半径是 3 的圆柱,几何体的直观图如 图所示。 圆锥的高 PO1 =

52 - 32 = 4

几何体的体积 V = V圆柱 + V圆锥 =9p ? 5 故选 C。 例 4.某几何体的三视图如图所示,它的体积为【

1 创 9p 4 = 57p 。 3



2

A. 72? 【答案】C。

B. 48?

C. 30?

D. 24?

【考点】由三视图求体积。 【解析】由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是 3,圆锥底面圆的半径是 3,圆锥母线长 为 5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为 4, 则它的体积 V ? V圆锥 ? V半球体 ? ? ? 32 ? 4 ? ? ? ? 33 ? 30? 。故选 C。 例 5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为【 】

1 3

1 4 2 3

A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2

【答案】C。 【考点】由三视图求面积、体积。 【解析】根据三视图判断此几何体为直六棱柱,再分别计算棱柱的底面积和高,最后由棱柱的体积计算公 式求得结果: 由图可知,此几何体为直六棱柱,底面六边形可看做两个全等的等腰梯形,上底边为 1,下底边为 3,高为 1, ∴棱柱的底面积为

2 ? ?1 ? 3? ? 1 2

? 4 ,棱柱的高为 1。

3

例 6.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是【



A.1cm

3

B.2cm

3

C.3cm

3

D.6cm

3

【答案】C。 【考点】三棱锥的三视图。 【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥的高由侧视图可得为 3,所以三棱锥的体积为 ?

1 1 ? 1? 2 ? 3 ? 1 。故选 C。 3 2


例 7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为【

A.

8? 3

B. 3?

C.

10? 3

D. 6?

【答案】B。 【考点】由何体的三视图求体积。 【解析】此几何体为一个圆柱切去了一部分,此圆柱底面半径为 1,高为 4,现在此几何体上方补上一个 和此几何体完全一样的几何体 ,从而构成一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱,这个圆柱的体积为 V =6? , 要求几何体的体积为圆柱体积的一半,为。故选 B。 例 8.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是【 】

4

【答案】D。 【考点】组合体的三视图。 【解析】由几何体的正视图和侧视图均如图所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面 是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不 可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形。故选 D。 例 9.一个几何体的三视图形状都相同大小均相等,那么这个几何体不可以是【 A.球 【答案】D。 【考点】简单几何体的三视图。 【解析】球的三视图大小形状相同.三棱锥的三视图也可能相同,正方体三种视图也相同,只有圆柱不同。 故选 D。 例 10.将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为 【 】 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 】

A. 【答案】B。

B.

C.

D.

【考点】空间图像的直观图与三视图。 【解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形,其中 D1 A 的正投影是正方形右斜的对角线 (实线) , B1C 的正投影是正方形左斜的对角线(被遮住是虚线) 。故选 B。 例 11.―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为 ▲

m3 .

5

【答案】 18+9? 。 【考点】简单组合体的三视图的画法与体积的计算。 【 分 析 】 由 三 视 图 可 该几 何 体 为 两 个 相 切 的 球上 方 了 一 个 长 方 体 组 成的 组 合 体 , 所 以 其 体 积为 :

4 3 V =3 ? 6 ?1+2 ? ? ? ( )3 = 18+9? m3 。 3 2
例 12.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积 ▲

m3 .

【答案】 30 。 【考点】由三视图求几何体的体积。 【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积 为 3 ? 4 ? 2 ? 24 ,五棱柱的体积是

(1 ? 2) ? 1 ? 4 ? 6 ,所以几何体的总体积为 30 。 2


例 13.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是

【答案】 92 。

6

【考点】由三视图判断几何体。 【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱。 ∴几何体的表面积是 S ? 2 ? ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 4 ? (5 ? 2) ) ? 4 ? 92
2 2

1 2

例 14.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是



【答案】 56 。 【考点】由三视图判断几何体。 【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱。 ∴几何体的的体积是 V ?

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 。 2

例 15.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥的体积等于 ▲

cm3 .

【答案】1。 【考点】由三棱锥的三视图求体积。 【 解 析 】 观 察 三 视 图 知该 三 棱 锥 的 底 面 为 一 直角 三 角 形 , 右 侧 面 也 是一 直 角 三 角 形 . 故 体 积等 于
1 1 3 。 ? 3 ?1? 2 ? ? 1 ( cm ) 2 3

例 16.已知某几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为



.

7

【答案】 12? 。 【考点】由几何体的三视图求体积 【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为 2,高为 1)与中间一个圆柱(底 面圆半径为 1,高为 4)组合而成,故该几何体的体积是 V ? ? ? 2 ?1? 2 ? ? ?1 ? 4 ? 12? 。
2 2

例 17.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为





【答案】38。 【考点】由几何体的三视图求面积。 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分 别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆 柱的底面积,即为 2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1?1 ? 2? ? 38 。 例 18.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ .

8

【答案】 12 ? ? 。 【考点】由几何体的三视图求体积。 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别 为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,高位 1,所以该几何体的体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?1?1 ? 12 ? ? 。

9


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