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2011高考数学真题考点分类新编:考点17解三角形应用举例(新课标地区)


考点 17 解三角形应用举例
一、选择题 1. ( 2011. 天 津 高 考 理 科 .T6 ) 如 图 , 在 △ ABC 中 , D 是 边 AC 上 的 点 , 且
AB = CD, 2 AB = 3BD, BC = 2 BD ,则 sin C 的值为




3 6 6 6

A.

3 3 6 3

B.

C.

D.

【 思 路 点 拨 】 在 等 腰 三 角 形 ABD 中 求 出
cos 行 ADB, 从而求出sin BDC ,再利用正弦定理解 BDC 。

【精讲精析】选 D。由题意可知△ ABD 是等腰三角形, 精讲精析】 故 cos ? ADB
1 BD 3 6 2 = 扌 sin BDC = , 在 △ BDC 中 , 由 正 弦 定 理 知 AD 3 3 6 . 6

BC BD = ? sin C sin 行 BDC sin C

2.(2011·辽宁高考理科·T4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 2011·辽宁高考理科·
a, b, c, a sin A sin B + b cos 2 A = 2a ,则
b = a

(A) 2 3

(B) 2 2

(C)

3

(D) 2

【思路点拨】依据正弦定理,先边化角,然后再角化边,即得. 思路点拨】 【精讲精析】选 D,利用正弦定理,将已知等式化为 sin 2 A sin B + sin B cos 2 A = 精讲精析】
2 sin A ,整理得, sin B = 2 sin A ,再利用正弦定理得, b = 2a ,所以
b = 2. a

二、解答题 3.(2011·江苏高考· 15) 3.(2011·江苏高考·T15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A + ) = 2 cos A, 求 A 的值;
6

π

(2)若 cos A = , b = 3c ,求 sin C 的值. 思路点拨】 【思路点拨】本题考查的是解三角形的问题,解决本题的关键是正确运用两角 和的正弦公式和正余弦定理进行化简整理求解。 (1)由题意知 sin A cos + cos A sin 【精讲精析】 精讲精析】
6
cos A ≠ 0, tan A = 3 ,因为 0 < A < π ,所以 A =
1 3

1 3

π

π
6

= 2 cos A ,从而 sin A = 3 cos A ,所以

π
3



(2)由 cos A = , b = 3c ,及 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ,得 b 2 = a 2 + c 2 ,所以 ?ABC 是直角三角形,且 B =
π
2

,所以 sin C = cos A = 。

1 3

4.(2011· T17) (满分 12 分)在 ?ABC中, A,B,C 所对的边分 角 4.(2011·湖南高考文科 T17) 别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos(B + ) 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边,再考查三角恒等变形.突出考查 思路点拨】 边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角,如果考虑消 边,如果是边的一次常用正弦定理,如果是边的二次常常考查余弦定理,在考 查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角,那么是余弦就用余弦定理,而如果 是正弦定理必须等次才能使用. 【精讲精析】 精讲精析】 (I)由正弦定理得 sin C sin A = sin A cos C. 因为 0 < A < π , 所以 sin A > 0.从而 sin C = cos C.又 cos C ≠ 0, 所以 tan C = 1, 则C = (II)由(I)知 B =
3π ? A. 于是 4 π 4

π
4

3 sin A ? cos( B + ) = 3 sin A ? cos(π ? A) 4 = 3 sin A + cos A = 2sin( A + ). 6 π π 11π π π π 3π Q0 < A < ,∴ < A + < , 从而当A + = , 即A = 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A + ) 取最大值 2. 6

π

π

π

综上所述, 3 sin A ? cos( B + ) 的最大值为 2,此时 A = , B =
4 3

π

π

5π . 12

5.(2011·江西高考文科·T17)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 2011·江西高考文科· 17) 已知 3a cos A = c cos B + b cos C . (1)求 cos A 的值 (2)若 a=1, cos B + cos C =
2 3 ,求边 c 的值. 3

(1)首先根据余弦定理得到 c.cosB+bcosC=a,然后解得 cosA. 【思路点拨】 思路点拨】 (2)先根据和角公式求出 cosB,代入已知条件式,再利用辅助角公式求出 sinC, 最后利用正弦定理解出 c. 【精讲精析】解: 精讲精析】 (1)
由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B, c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C, 有 1 c cos B + b cos C = a, 代入已知条件得3a cos A = a, 即 cos A = 3 1 2 2 1 (2)由 cos A = 得 sin A = , 则 cos B = ? cos( A + C) = ? cos C 3 3 3 2 2 2 2 + sin C, 代入 cos C + cos B = cos 得, C + 2 sin C = 3, 3 3 3 6 π , cos ? = ,0 < ? < . 从而得 sin(C + ?) = 1, 其中 sin ? = 3 3 2 π 6 a sin C 3 ,由正弦定理得c = = . 则C + ? = , 于是 sin C = 2 3 sin A 2


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