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高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.3.1双曲线及其标准方程》教案1


2.2.1 双曲线的标准方程
【教学目标】: 1.知识与技能 掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问 题、分析问题、解决问题的能力. 【教学

重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】 :新授课 【课时安排】 :1 课时 【教 具】 :多媒体、实物投影仪 【教学过程】: 一.情境设置
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(1)复习提问: (由一位学生口答,教师利用多媒体投影) 问题 1:椭圆的定义是什么? 问题 2:椭圆的标准方程是怎样的? 问题 3:如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹 会发生什么变化?它的方程又是怎样的呢? (2)探究新知: (1)演示:引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象,并利用课件进行双曲线的模拟 实验,思考以下问题。 (2)设问:①|MF1|与|MF2|哪个大? ②点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差怎样表示? ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系? (请学生回答:应小于|F1F2| 且大于零,当常数等于|F1F2| 时,轨迹是以 F1、F2 为端点的两 条射线;当常数大于|F1F2| 时,无轨迹) 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义: 定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做

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双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (投影) 概念中几个关键词: “平面内” 、 “距离的差的绝对值” 、 “常数小于 F1 F2 ” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程,请学生思考、回 忆椭圆标准方程的推导方法, 随即引导学生给出双曲线标准方程的推导 (教师使用多媒体演 示) (1)建系 取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2c(c>0) ,则 F1(-c,0) 、F2(c, 0) ,又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<2c). (3)列式 由定义可知,双曲线上点的集合是 P={M|||MF1|-|MF2||=2a}. 即:
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? x ? c ?2 ? y 2
(4)化简方程

?

? x ? c ?2 ? y 2

? 2a,
y

由一位学生板演,教师巡视。化简,整理得:

M

?x ? c ?2 ? y 2
移项两边平方得

?

?x ? c ?2 ? y 2

? ?2a

F1

O

F2

x

cx ? a 2 ? ? a

?x ? c ?2 ? y 2

两边再平方后整理得

?c

2

? a2 x2 ? a2 y2 ? a2 c2 ? a2

?

?

?

由双曲线定义知

2c ? 2a即c ? a,? c 2 ? a 2 ? 0, 设c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0) x2 y2 代入上式整理得 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b
这个方程叫做双曲线的标准方程, 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上, 焦点是 F1 (-c, 0) 、F2(c,0) , 思考: 双曲线的焦点 F1(0,-c) 、F2(0,c)在 y 轴上的标准方程是什么?
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学生得到: 双曲线的标准方程:

y2 x2 ? ? 1, (a ? b ? 0) . a2 b2

注: (1)双曲线的标准方程的特点: ①双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2

y2 x2 焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a b
② a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0
2 2 2
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其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b

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(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、 y 2 项 的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据
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2

项的正负来判断焦点所在的位置,即 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 2 项的系数 是正的,那么焦点在 y 轴上 三.数学应用 例 1 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (?5,0),F2 (5,0) , 双曲线上一点 P 到 F1,F2 的距离之 差的绝对值等于 8,求双曲线标准方程 解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为
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2

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x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2
∵ 2a ? 8,2c ? 10 ∴ a ? 4, c ? 5

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∴ b ? 5 ? 4 ? 16
2 2 2

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所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ?1 9 16

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变式 1:若|PF1|-|PF2|=6 呢?

变式 2:若||PF1|-|PF2||=8 呢?

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变式 3:若||PF1|-|PF2||=10 呢?

四.课堂小结: 双曲线的两类标准方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦 点 在 x 轴 上 , a 2 b2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦 点 在 y 轴 上 , a, b, c 有 关 系 式 c 2 ? a 2 ? b 2 成 立 , 且 2 a b
a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b
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