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100测评网新课标高二数学同步测试(3)—(2-1第二章2.4-2.5)


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普通高中课程标准实验教科书——数学选修 2—1[人教版]

高中学生学科素质训练
新课标高二数学同步测试(3)—(2-1 第二章 2.4-2.5)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;

答题 时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.x=

1 ? 3 y 2 表示的曲线是
B.椭圆 D.椭圆的一部分





A.双曲线 C.双曲线的一部分 2.设双曲线

x2 y2 , (0,b)两点.已知原 ? =1(0<a<b=的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) a2 b2

点到直线 l 的距离为

3 c,则双曲线的离心率为 4
B.





A.2

3

C.

2

D.

2 3 3

3.中心在原点,焦点坐标为(0, ±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标 为

1 ,则椭圆方程为 2





A.

2x 2 2 y 2 2x 2 2 y 2 x2 y2 + =1 B. + =1 C. + =1 25 75 25 75 75 25
2

D.

x2 x2 + =1 75 25

4.过双曲线 x ?

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则 2
( B.2 条 C .3 条 D.4 条 )

这样的直线 l 有 A.1 条

x2 y2 5.过椭圆 2 + 2 =1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于 A、B 两点,右焦点为 F2(c,0),则△ a b
ABF2 的最大面积是 ( )

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A.ab 6. 椭圆 B.ac C.bc D.b2 )

x2 y2 2), B(2, 3)的线段没有公共点, 则正数 a 的取值范围是 ( ? ? 1 与连结 A(1, a2 a2 2
B.( 17 ,∞) D. ( 6 , 17 )

A.(0, 6 )∪ ( 17 ,∞) C.[ 6 , 17 ]

7.以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点 M、N,椭圆的左焦点为 F1,且直线MF1与此圆相切,则椭圆的离心率e为 ( ) A.

2 2

B.

3 2

C .2- 3

D. 3 -1

8.已知 F1, F2 是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F1QF2 平分线的 垂线, 垂足为 P, 则点 P 的轨迹是 ( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 9.已知抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称, 且 x1x2=- 值等于 A.

1 , 那么 m 的 2
( )

5 2

B.

3 2

C .2

D.3

10.对于抛物线 C: y2=4x, 我们称满足 y02<4x0 的点 M(x0, y0)在抛物线的内部, 若点 M(x0, y0) 在抛物线的内部, 则直线 l: y0y=2(x+ x0)与 C ( ) A.恰有一个公共点 B.恰有二个公共点 C.有一个公共点也可能有二个公共点 D.没有公共点 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 2 2 11.椭圆 x +4y =4 长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 角形,该三角形的面积是 .

x2 2 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的 12.设 P 为双曲线 4
轨迹方程是 13. 定长为 l (l> .

2b 2 )的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 的右支上, 则 AB 中点 M 的 a

横坐标的最小值为 14.如果过两点 A(a,0) 和 B (0, a ) 的直线与抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 没有交点,那么实数 a 的
2

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取值范围是_____________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分) . 2 15. (12 分)已知抛物线 y =8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M(x0, y0) ,F 是抛物线的焦点, 且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N. (1)求点 N 的坐标(用 x0 表示) ; (2)过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点,若|MN|=4 2 ,求△MPQ 的面积.

16. (12 分)已知双曲线 的距离是

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点 2 3 a b

3 . 2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心 的圆上,求 k 的值.

17. (12 分)已知抛物线 y ? x 的弦 AB 与直线 y=1 有公共点,且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的
2

距离为 1,求弦 AB 长度的最大值,并求此直线 AB 所在的直线的方程.

18. (12 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ?1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程; (2)已知动直线 l 过点 P ? 3,0? ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被

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以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由.

19. (14 分)设 F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 8y2 =1(a>b>0)的左、右两个焦点. ? a2 b2

(1)若椭圆 C 上的点 A(1,

3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦 2

点坐标; (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意 一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2

20. (14 分)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的 直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线. (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ? ? ? 为定值.
2 2

参考答案
一、1.D;解析:x=

1 ? 3 y 2 化为 x2+3y2=1(x>0) .

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2.A;解析:由已知,直线 l 的方程为 ay+bx-ab=0,原点到直线 l 的距离为

3 c,则有 4

ab a2 ? b2

?

3 c ,又 c2=a2+b2,∴4ab= 3 c2,两边平方,得 16a2(c2-a2)=3c4,两边 4

同除以 a4, 并整理, 得 3e4-16e2+16=0, ∴e2=4 或 e2=

4 a2 ? b2 b2 .而 0<a<b, 得 e2= ? 1 ? 3 a2 a2

>2,∴e2=4.故 e=2.评述:本题考查点到直线的距离,双曲线的性质以及计算、推理能力. 难度较大,特别是求出 e 后还须根据 b>a 进行检验. 3.C;4.C;5.C;6.A;7.D;8.B;9.B;10.D 二、 11.

16 x2 ;解析:原方程可化为 +y2=1,a2=4,b2=1,∴a=2,b=1,c= 3 .当等 25 4 4 1 ∴S= ?2y2 2 5

腰直角三角形,设交点(x,y) (y>0)可得 2-x=y,代入曲线方程得:y=



16 . 25 x0 y , y ? 0 ∴2x=x0,2y=y0 2 2

12.x2-4y2=1;解析:设 P(x0,y0)∴M(x,y) ,∴ x ?



4x 2 -4y2=1 ?x2-4y2=1. 4
a(l ? 2a) 2 a2 ? b2
? ? ? 4?

13.



14. ? ?? , ? 13 ? ; 三、 15.(1)设 A(x1, y1)、B(x2、y2),由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得 x1+x2=2x0. 得线段 AB 垂直平分线方程: y ?

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ( x ? x0 ), 2 y1 ? y 2

令 y=0,得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0).

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(2)由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 2 , 得 x0=2. 由抛物线的对称性,可设 M 在第一象限,所以 M(2, 4), N(6,0). 直线 PQ: y=x-6, 由 ?

? y ? x ? 6, 得P(18,12), Q(2,?4), 得△MPQ 的面积是 64. 2 ? y ? 8 x.

16.解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 a b a 3 ab ab 3 d ? ? ? . c 2 . a2 ? b2
? b ? 1, a ? 3.
3
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15k 5 x0 ? 1 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 17.解:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,中点 N (1, y0 ) 当 AB 直线的倾斜角 90°时,AB 直线方程是 x ? 1, | AB |? 2. (2 分) 当 AB 直线的倾斜角不为 90°时, x1 ? y1 , x2 ? y 2 相减得 x1 ? x2 ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y2 )
2 2

所以 2 y 0 k AB ? 1即y 0 ?

1 (4 分) 2k 1 ? k ( x ? 1) , 由于弦 AB 与直线 y=1 有公共点, 2k

设 AB 直线方程为:y ? y 0 ? k ( x ? 1)即y ?

1?
故当 y=1 时,

1 1 k? 2k ? 1 ? 1即 2 ?0 k k2

?k ?

1 2

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1 ? ? k ( x ? 1) ?y ? 2k ? ?x ? y 2 ?
所以 y1 ? y 2 ? 故 | AB |? 1 ?

故y 2 ?

y 1 ? 2 ?1 ? 0 k 2k

1 k

y1 y 2 ?

1 ? 1, 2k 2

1 1 1 1 | y1 ? y 2 |? (1 ? 2 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ? (1 ? 2 )(4 ? 2 ) 2 k k k k

?k ?

1 1 1 1 1 ,? 2 ? (0, ],?1 ? 2 ? 0,4 ? 2 ? 0 2 k 4 k k

1 1 1? 2 ? 4 ? 2 1 1 k )2 ? 5 ?| AB |? (1 ? 2 )(4 ? 2 ) ? ( k 2 2 k k
故当 1 ?

1 1 ? 4? 2 2 k k

即k ?

6 5 时, | ABmax |? 3 2

18.解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0? ,将 M ?1, 2 ? 代入方程得 p ? 2 ,

?

抛物线方程为: y 2 ? 4 x ;

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ?1,0?1 , F2 ?1,0? , 对于椭圆, 2a ? MF1 ? MF2 ?

? c=1 ;
2

?1 ? 1?

2

? 22 ?

?1 ? 1?

?4 ?2?2 2 ;

? ? ? ?

a ?1? 2 a2 ? 1 ? 2

?

?

2

? 3? 2 2

b2 ? a 2 ? c2 ? 2 ? 2 2 椭圆方程为: x2 3? 2 2 ? y2 2?2 2 ?1

对于双曲线, 2a? ? MF1 ? MF2 ? 2 2 ? 2

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? ? ? ? a? ? 2 ? 1 a ?2 ? 3 ? 2 2 b? 2 ? c ? 2 ? a ? 2 ? 2 2 ? 2 双曲线方程为: x2 3?2 2 ? y2 2 2 ?2 ?1

(2)设 AP 的中点为 C , l ? 的方程为: x ? a ,以 AP 为直径的圆交 l ? 于 D, E 两点, DE 中点 为H 令 A ? x1 , y1 ? ,

? x ? 3 y1 ? ? C? 1 , ? 2? ? 2

?

DC ?

1 1 2 AP ? ? x1 ? 3? ? y12 2 2 x ?3 1 CH ? 1 ? a ? ? x1 ? 2a ? ? 3 2 2
2 2 1? 1 2 ? ? ? x1 ? 3? ? y12 ? ? x1 ? 2a ? ? 3? ? ? ? ? 4 4 ? ? a - 2 ? x1 ? a 2 ? 3a 2 2 2

?

DH ? DC ? CH ?

当a ? 2时, DH ? ?4 ? 6 ? 2为定值; ? DE ? 2 DH ? 2 2为定值 此时l ?的方程为: x ? 2
19.解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得

( ) 3 1 2a=4,即 a=2.又点 A(1, )在椭圆上,因此 2 ? 2 2 =1 得 b2=3,于是 c2=1. 2 b 2
所以椭圆 C 的方程为

3

2

x2 y2 =1,焦点 F1(-1,0) ,F2(1,0). ? 4 3

(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:

x?

? 1 ? x1 y , y ? 1 , 即 x1=2x+1,y1=2y. 2 2

因此

(2 x ? 1) 2 (2 y) 2 1 2 4y2 =1.即 ( x ? ) ? ? ? 1 为所求的轨迹方程. 4 3 2 3 x2 y2 ? =1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双 a2 b2

(3)类似的性质为:若 M、N 是双曲线:

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曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积 是与点 P 位置无关的定值. 设点 M 的坐标为(m,n) ,则点 N 的坐标为(-m,-n) ,其中

m2 n2 ? =1. a2 b2

又设点 P 的坐标为(x,y) ,由 k PM

?

y?n y?n , k PN ? , x?m x?m

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 2 b2 2 2 2 2 2 得 kPM ? kPN= ,将 y ? 2 x ?b ,n ? 2 m -b 代入得 ? ? x ? m x ? m x 2 ? m2 a a

b2 kPM?kPN= 2 . a
评述:本题考查椭圆的基本知识,求动点轨迹的常用方法.第(3)问对考生的逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求,根据提供的信息,让考生通过类比自己 找到所证问题,这是高考数学命题的方向,应引起注意 20.本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训,考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力.

x2 y2 (1)解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a b
则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入
2 2 2 2 2 2

x2 y2 ? ?1 a2 b2
2 2

化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 . 令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x 2 ?

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x x ? . 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3,?1),OA ? OB与a 共线,得
3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0.

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又y1 ? x1 ? c, y 2 ? x 2 ? c,? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0,? x1 ? x 2 ? 即 2a 2 c 3c 6a ? , 所以a 2 ? 3b 2 . ? c ? a 2 ? b 2 ? , 2 2 2 3 a ?b c 6 故离心率e ? ? . a 3 3c . 2

(2)证明:由(I)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

x2 y2 ? ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . a2 b2

设OM ? ( x, y),由已知得 ( x, y) ? ?( x1 , y1 ) ? ?( x2 , y2 ),
? ? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? ? y ? ?y1 ? ?y 2 .

? M ( x, y ) 在椭圆上,

? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 .

2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ①

由(1)知 x1 ? x 2 ?

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2

? ?

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 ? c . 8 a2 ? b2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? 3( x1 ? c)(x2 ? c) x1 x2 ?

? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
又 x1 ? 3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y2 ? 3b 又,代入①得
2 2 2 2 2 2

?2 ? ? 2 ? 1.

故 ? ? ? 为定值,定值为 1.
2 2

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