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用数学思想方法探求立体几何问题


超 

羧掌 

孝 
口 管宏斌 
( 苏省 通 州 高级 中 学 , 苏 南通 江 江 2 60 ) 23 0 

数学解题是 离不开数学思想方法 的. 学思想  条件的一个 四面体 , 求其体积 . 数 再 如此 , 类讨论至  分

方法是数学知识 的抽象 和概括 , 它蕴

涵在数学知识  少可构造 出二类满足条件 的四面体 , 五条边为 2 另  ,
的发 生 、 发展和应 用的过程 中 , 能够迁移 和应用  它 于相关 知识 、 数学 解题 中, 学思想 方法是数 学知  数


边 为 1对棱相等 的四面体. ,  

对于五条边 为 2 另一边 为 1的四面体 , 图  , 参看

识体系 的灵魂 . 高考往往通 过对基础知识和 基本技  1 所示 , A =I取 A 设 D , D的 中点 为  , 平面 B M 把  C 能 的考查 , 来考查考生对数学思想方法 的理解和掌  三棱锥 分成 两个 三 棱锥 ,由对称 性 可知 A D上面 
握 的程度 , 考查考生灵活运用数学思想方法解决实  际应用 问题 的能力. 立体几 何 中所蕴涵 的数 学思想  方法非 常丰富 , 文试 图归纳 、 本 提炼 渗透在立 体几 

B M,   产 C 且 A  

,   所以

}s ?D   A.  
1 ) 

何 问题 中的数学思想方法 , 希望能有助于提高大家 
分析问题 、 解决 问题 的能力.  


c、  / = 


=2争。 . Ⅳ  、_ )  设 是 /( = 2 r

B 的 中 点 , 则 MN 上B , N=V'M - N C CM — 2 C 2= C —  



分类讨论思想 

分类讨论 是解决 问题 的一种逻辑方法 , 是一  也 种数 学思想 . 数学解 题 中 , 问题划分 为几种 情  业 在 将

I  , 而  }2 = = 从 s = ×    删 ×

2 澈V × a    }

.  

况, 使条件具体化 、 难点分散化 , 并对每种情况分别  讨论 、 各个击破 , 最终使整个问题获解 , 这就是分类 
讨论思 想. 它体 现 了化 整为零 、 积零 为整 的思想 与 
归类整理的方法.  

对于对棱 相等 的四面体 , 可参 见图 2其体积 的  .

计算 可先将其置于一个长方体之 中 , 长方体 的  再用
体积减去 四个小三棱锥 的体积来进行 . 亦可套公 式 


例 1 若 四面体各棱长是 l 2 或 ,且该 四面体  不是正四面体 , 则其体 积的值 是 


l: — 1   , ’   2


VY

. 

+6  

) b+c (   L  ) c ( 

. ( 只需写出  不妨令 a = , ,  ̄ 2 c 则  - - =1
l一 ,


个可能的值 )  

分析 :此 问题 的显著特 点  是结论发散而不唯一. 表面  本题


盟 2 . 4 4 ) 4 —4) 1 4 4  1    + —1 ( +1 (+ —
.  一 、  
1  ‘ 2  




1  2

D 上是考查锥 体求积公 式这个知  识点 ,实 际上主要考 查 由所 给 
C 

二、 函数 与方程思想  函数 与方程 的思想方法 渗透 到 中学数 学 的全 

条件 构 造一 个 四面 体 的能 力 ,  

具有广泛应用性. 它们是根据问题的数量特 征  首先得考虑 每个面 的三条棱是  过程 , 及其相互关系设定变量 ,建立 函数关 系或方程 , 通  如何 构成的.  
解 :排 除 { ,, } 1 12 ,可得  过对 函数性 质或方程 的研究 而求得原 问题 的解 的  种思维方法. 立体几何 中求某些量 的最值问题大  { , , } { , , ,2 2 2}然  1 1 1 , 1 22} { , , , 而多面体 和旋 转体的表  后 由这 三类面在 空间构造满 足  都需要用 函数思想去处理 ,


备 课 本 考 

面积 与体 积 的计算 又 常常用方 程思想 去解决 有关  如下几个方 面.  
问题 .   1 位 置 关 系的 转 化  .

例 2 如图 3 ,正方形 A C A E B D, B F的边长都  上移 动 ,点 .在 B 7 \ , F上移动 ,若 C B = (< M= N a 0  

线线、 面、 线 面面平行 与垂 直的位 置关 系是立 
位置关系的相互依存及转 化. 在一定 条件下不仅能 

是 l 而且 平 面 A C A E , B D,B F互相 垂直 . 点  在 A   体几何 中的一个重 点内容 , c 其精髓就是平 行与垂直 
线线平行 ( 或垂 直 )线面平行 ( 、 或垂直 )  、 、   ) 1 求 MN的长 ;2 当 a为何值 时 , / .) ( () MN的长  纵向转化 : 或垂直 )而且还可 以横 向转化 : , 线线 、 线  最小 ;3 当 MN长最小时 , () 求面 MN A与 面 M B所  面面平行( N 成 的二 面角 q的余弦值.   面、 面面 的平行 , 线 、 面 、 线 线 面面的垂直. 这些转 化 

D 

解 :1作 MP B交  关系在 平行 或垂直 的判定 和性质定 理 中得到充 分  () #A 平行或垂直关 系的证 明( 除少 数命题 外 )大多  , B C于点 P N ,A , Q ̄ B交 B   体 现. l E   于 点 Q, 结 即 , 题 意  可以利用上述相互转化关系去证 明. 连 依
得 Mp / Q.且 M   /N P=
例 3 如图 4 ,已知 矩 形 A C E, 别 为  B D, F分 BC F为棱将 矩形折成二 面角 A   — EN , M Q Q 即 N P是平行 四边  A , D的中点 ,以 E

 ?  求证 : 平面 A   /平 面 D   . BE/ C   形.MN P 由已知 ,M   E c . . = Q, _ . C =
BN   . B  C B  E =1.  

解法一( 向转化 ).E/ FA 平面 D  , 纵 :" /D ,    A CF 
? . .

MN P = = Q 
. 

,  


A /平 面 DC 同理 , ∥平面 D  , E/   曰E CF 

又 A OBE E 平面 A   E  =  . BE∥ 
:  

竿=/ , :Ⅱ即P 上  2    C   X  1   =  

平面 D   C

解 法 二 ( 向转 化 ) 横 :  
B - Q  
— —

,  
 

’ . 

E 上 EF。 E 上 EF. B   

?

a 





、孚, /   c  

且 AEnB  脚
? .

.  

图4  



E _平 面 A E同理 , FI _   .  

(< 、   ) 0  / .  

E _平面 D   平 面 A   / 平面 D   FI _ C  E/ B C
作 而用平 , 争,M  平 行 ” 为思维模 式 , 行 四边 形或 三角形 内    即, N 评注 :要证 线面平行 , “ 先要 找线线平行或 面面 

(由1 : 2( 当 ))   知

“ 分别移动 到 A B C, F的中点时 , MN的长最小 ,最小  平 行截割 来找线 线平行 是平 面几何 中的规律 ;要  证线 面垂 直 , 证线线垂直 ” “ 先 ,要证线 线垂直 , 先证  值 为  .   线 面垂 直” 是立体几何 中解题 的两句 口诀和两个解 
( ) MN的 中点 G 连 结 AG B ’ M= N, 题 “ 3取 , , G," . A A   模式 ” 其 中线 面垂 直的关 系是线 线垂直 、 面  , 面 B B   M= N。AG上MN, GLMN .- G B  ,. A B即为二面免  垂直 的纽带. - /  

的平面角. . = G   Y AG B =
o 

,所 以由余弦定 理有 

2 降 维 转化   .

由三维空间 向二维平 面转化 , 是研究立 体几何  问题的重要数学方法 之一 . 降维转化的 目的是把空  间 的基本元素转化 到某一 个平 面 中去 , 大家 比较  用 熟悉 的平面几何知识来解决 问题.如线 面垂 直的判 

l  

’  

三 、 归 思 想  化

将研究 对象在 一定条 件下转化 并归结 为 另一  种研究对象 的思想方法称之为化归思想 . 归思想  化 在具体 的运用过程 中 , 一般是 将研究 对象转化 为熟  悉的、 简单 的 、 基本 的研究对象 , 使之成为容易解 决 
的问题模式. 这种思想方法是立 体几何 中最重要 的 
思想方法 , 立体 几何 中化 归思想 的运 用 主要体现在 

定定 理转化为三角形全等 的平 面几何问题 、 面体  多

和旋 转体的侧面积公式 的推导 ( 除球面和球冠外 ) 、  
侧 面上最 短路程 问题 都是通 过侧面 展开转化 为平  面几何 问题等等 . , 其实 立体几何 中的三种角 ( 线线  角 、 面角 、 面角 ) 四种 距离 ( 线 二 和 线线距 、 面距 、 点   线 面距 、 面面距 ) 从定义 到具体 的计算 以及 三垂线 

。 

■ 

迹 
定理都体现 了空 间到平面的转化 .  
例 4 如 图 5 设正 三棱 锥 S A , —  C的底 面边长 
s 


A C 连结 E ,B, B , C E 则易证 A  ̄平 面 E C  P B ,
? .  

为 a 侧棱 长为 2 , A作与侧棱 S ,C都相交 的  , 。过 BS 截面 A F 求这个截 面周长 的最小值. E,  
? . .  

j  ?   ‰ 棱 P  }   柱 s 髓 } i=    棱  柱1  .
解 法 三 :如 图 9 将  , B  c = =  

J  P

解: 沿侧棱 s A将 三棱锥 的侧面展开( 如图 6 , )   求 AA F周 长最 小值 问题 就转 化成  E
在平面内求  ,  A 两点间的距 离.   设 A S - ,则 由余 弦定 理 得  AB O
A 

AA C补 成 平 行 四 边 形  B A C, B F 可利用 
。  n 

c  

c0s  = 




所 以 cs0 - o _ cs 03= cs 3 o  4
7  

易得 :  

.  

图5  
. s  



可求得 A     n 即  A= ,

评注 : 、 割 补转 化是解决 立体几何 问题 常用 的 
方法之 一 , 同一几何体 既可进行 合理分割 , 对 又可 
实施有效的添补.  
4 等 积 转 化  .

所 求 截面周 长 的最 小 值为 
,  

1  1

丁   图6   评 注 : 曲面上 的最短  把

“ 等积法” 在初 中平 面几何 中就 已经有所应用 ,  

立体几何 中的“ 等  路线 问题利用展 开 图转 化为平 面上两点 间距离 的  是一种很实用 的数学方法与技 巧. 问题 , 而使 问题得到解 决 , 是求 曲面上最短路  积转化” 或称等积变换 ) 从 这 ( 是以面积 、 体积 ( 尤其是 四 
线 的一种常用方法. 又如异面直线所成的角 、线 面  面体 的体 积 ) 为媒介 , 沟通有关 元素之 间的联  作 来

角、 面面角 的计算 , 最终 都是转 化为平 面上两相交  系, 从而使 问题得到解 决.   直线成 的角来 进行 的. 实现空 间问题 向平面问题转  法 和辅助面法等等.  
3 割补 转 化  .

例 6 如图 1, 0 已知 A C -  。,1 B D A CD 是棱长为  棱锥 A。E  )的体积. 一B ,   略解 : 易证 四边形 E F   B D 是菱形 ,  

化 的方 法很 多 , 常用 的就 有 : 移法 、 平 射影 法 、 展开  a的正方体 , F分别为棱 A  与 C 。 E, A C 的中点 , 四  求

“ 割形 ” 补形 ” 与“ 是解决 立体几何 问题 的常用 
方法之一 , 通过 “ ” “ ” 割 或 补 可化复杂 图形为 已熟知 

的简单几何体 , 从而较快地找到解决问题 的突破 口.  

如教材 中斜棱柱侧面积公式 的推导 , 就是通过 割补 
法转化为直棱柱后进行 的.   例 5 三棱锥  B c中 ,已知 P A上B ,A   CP =
1  

B = ,A, C的公垂 线段 E = , C lP B D h 求证 : 三棱锥 P   -

A C的体积 = B }  .  
解 法一 : 图 7 连 结 A   如 , D,
PD ,. ‘BCj DE , _ ‘ - BC LAP,  
C 
? .


B C上平面 A D, D L P , P 又 E_A  
)  + i  BC S△  A
?


. .  

图7  
1 2    
.  _  

解法 二 : 如图 8 以 三棱锥  ,

1 c的底 面为底 面, 4 侧棱 
为 侧棱 ,补 成三 棱 柱 P   L  BC
20 / 0 9 4 ̄  

_

教 学月刊 坤



 

瓤  一 一  
口 吕学柱 
( 江苏省灌南高级 中学, 江苏灌南 22 0 ) 2 50 

《 普通 高中数学课程标准》 倡导积极 主动 、 于  Ⅳ, Ⅳ 的直线交 抛物线 于 A, 勇 过 B两点. 否有 : + 是     探索的学习方式 , 出高 中数学课程应力 求通过各  k  ̄ . 生独立探究易得 出结果. 指 r- 由学 r-   种 不 同形式 的 自主学 习 、 探究 活动 , 学生体 验数  让
题教学 中, 如果教师不 注意挖掘问题的内涵 , 不对课 

解 : 知  10 , ( 1 0 易 , )N - , )设直线 A : B 
kx+ (  ̄2 x k-O  22 2 k )+ 2- , = -

学发 现和创 造的历 程 ,发 展他们 的创新意识. 习 在   kx 1( (+ )  ≠0 代人 y -x 整理可得  )  ̄4 , - 堂进行科学合理 的设计 , 学生的学习活动 只能限于  接受 、 记忆 、 模仿 和练习 , 这将 和《 课程标准 》 的理念  背道而驰. 习题教学 中, 笔者针对学生的具 体情况 进  行 了多次大胆的探究式教学尝试. 本文介绍 近期 对 
一 ? . .

设 ( y)B    1, (
kA r+  + 

)则 l ,  
=  + 

,  
,  

1 ,  

道试题 的探究式教学尝试 , 供参考.  
试题 : 已知抛 物线 y   焦点 为 F 过点 N( , , 0 
1  

(厂 1 (厂 1 =0    )   )u —. ‘  

这样 一来 , 学生 既熟悉 了基本 方法 , 又对 解题 
二、 引导归纳 。 发现规律 



  }) 的直线与抛物 线交与 cD两点, , 直线月 , G肋  规律有 了初步的认识 .

的斜率分别 为 用, 证 明:m- o k  , k 4 = . k  


在解题 变题讨 论后 , 教师 及时提 出 : 同学 们能 
获得一般性 的结论吗 ? 过讨 论获得如 下较 为一般  经 的结论 :  



解题变题 , 夯实基础 

” 

课堂上 ,让学生交流解题方 

法 ,得知基本解法是利用韦达定 
D  \ 0 

理 “ 而不求” 设 . 问题变成 : 再把 抛 
物线 :-x焦点 F 准线交 轴 于  r4  ̄ - ,

抛 物线 y 2 xp O 焦点 F 准线交  轴 于 Ⅳ, 2 p (> ) = ,  
过 Ⅳ的直线交抛 物线于  , 两点 ,   则 尉 . = . +} 0 进  ] 用


步可得 :  

9 。 /B C 6 。然后 给 出如图 1 , 可想象 此题  直 , 0, O = 0 , l则 于是原 问题可 以转化 为如下 问题 : 长方体 一条  意即为用 刀沿 6 。 0二面角 ,以直径为棱将一个西瓜  对 角线 与 同一 顶 点 上 的 三 条棱 所 成 的角 分 别 是  切 下一块 , 求这一块 西瓜 的体积 , 问题 于是变得 直  6 。6 。 0 ,0 ,  ,求  的大小 .根 据 长方 体 的性质 , 有 
c s + o2 。 c s 0=1可求得 a 4 。 o2 cs 0+ o2 。 , a 6 6 - 5.  

观 体 了(:   具多.   答 ≠)
例 8 三条直线两两垂直 ,现有一条 直线 与其 

综 上所 述 , 数学思 想方法 指导解 题 , 问题  用 在

解决 中运用 数学思想方法 , 要注 意合 理联想提取相  关知识 , 调用一定数学 方法加工 、 处理题设 条件 , 逐 
步缩小题设 与所求 问题 间的差异 . 数学方法 、 数学思 

中两条直线都成 6 。 , O角 求此直 
曰 

线 与另外一条直线所成 的角.  

略解 : 图 1 , 如 2 由条 件 想 
曰1  

想的 自觉运用往往使我们 运算简捷 、推理机 敏 , 是 
提高数学能力 的必经之路.  

象 到长方体 的三条棱也 两两垂 

. 

目 


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