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3函数单调性(教师版)


函数的单调性

教学目标
1、掌握函数单调性的证明方法 2、掌握函数的运算的性质 3、运用函数的单调性求参数的范围

教学重难点
1、重点:函数单调性的证明方法 2、难点:根据函数单调性求参数的范围

知识点串联
1、增函数 对于任意 x1 、 x2 ? D , x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则函数 f ? x ? 为 D 上的增函数.函数 f ? x ? 在 D 上图像从左向右看, 图像的曲线逐渐上升. 对于任意 x1 、x2 ? D ,x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 则函数 f ? x ? 为 D 上的减函数.函数 f ? x ? 在 D 上图像从左向右看,图像的曲线逐渐下降. 在某个区间 M 上的递增函数或递减函数统称为区间 M 上的单调函数,而这个区间 M 称为单调区间. y y

2、总结定义法证明函数单调性的步骤: 1)取值:设任意 x1、x2 属于给定区间,且 x1 ? x2

O

x1

增函数

x2

x

O

x1

减函数

x2

x

2)作差变形: f ( x1 ) ? f ( x2 ) 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等 3)定号:确定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负号 4)下结论:由定义得出函数的单调性 3、函数单调性的判断
1

定义法

图象法

已知函数的单调性

复合函数的单调性

4、单调函数的运算性质 在公共定义域内:

f (x) 与具有相同的单调性 f (x) 与 af (x) ,当 a>0 时,具有相同的单调性,当 a<0 时,具有相反的单调性
当 f (x) 恒不为零时, f (x) 与

1 具有相反的单调性 f ( x)

增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 4、 复合函数的单调性(同增异减) 复合函数单调性的判断 y ? f ( g ( x))

y ? f (u)

增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘

减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

u ? g (x)
y ? f ( g ( x))

5、最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

考点集锦
考点一 函数单调性的证明
2

例 1、求证函数 y ? x ? x 在 R 上是增函数

1、证明函数 f ( x) ? x ?

1 在 (0,1) 上是减函数 x

2

2、判断函数 f ( x) ?

x?2 在 (??,0) 上的单调性并加以证明 x ?1

3、设函数 f ( x) ?

x?a (a>b>0),证明函数在其定义域内是单调函数,并判断其单调性 x?b

考点二

判断函数的单调区间
2

例 1、求 f ( x) ? x ? x ? 12 的单调区间

1、函数 y ? ? x ? x 的单调减区间是
2

例 2、判断函数 f ( x) ?

1 ? x 的单调区间 x

1、判断函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? 4 的单调区间 x

3

题型二

复合函数的单调区间

2 例 1、函数 y ? ? x ? 4 x ? 3 的单调增区间是

1.函数 y=

的单调区间

例2、若函数f(x)在R上是减函数,那么f(2x-x2)的单调增区间是 A.(-∞,1] B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞)

1、 若函数 f(x)在 R 上是增函数,那么 f( x ? 5 x ? 6 )的单调增区间是
2

考点三

根据函数的单调性求参数的范围
2

例 1、例 1、已知函数 y ? 2 x ? 4(a ? 3) x ? 3 在区间(- ? ,-3)上是减函数,则实数 a 的取值范围

1、函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间 ? ??, ?4 ? 上单调递减,则 a 的取值范围是(
2



A.

? ?3, ?? ?

B.

? ??, ?3?

C.

? ??,5?
4

D. ?3, ?? ?

例 2、函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 3 在区间 [1,2] 上单调,求 a 的取值范围
2

1、 如果函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 5 在区间 ( ,1) 上是增函数,那么 f (2) 的取值范围是
2

1 2

例 3、设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? x ? 6, x ? 0

则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集

1、设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? x ? 6, x ? 0

则不等式 f ( x) ? f (?1) 的解集

例 4、若函数 y ? f (x) 在 [0,??) 上单调递减,且 f (t ) ? f (t ) ? 0 ,求 t 的取值范围.
2

1、若函数 y ? f (x) 在 [0,??) 上单调递增,且 f (t ) ? f (t ? 2) ? 0
2

2、已知 f (x) 是定义在 [?1,1] 上的增函数,且 f ( x ? 2) ? f (1 ? x) ,求 x 的取值范围
5

3、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值范围.

?3 ? x ? ? ,?? ? f ( x ) ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 4、设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 恒成立,则实数 ?2 ?, m
2

m 的取值范围。

考点四

抽象函数单调性的判断

例 1、已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) .且当 x >0时, f (x) >0,试判 断 f (x) 的单调性,并说明理由. 设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x 2 - x1 >0,故 ∴

f ( x 2 ? x1 ) >0.

f ( x2 ) - f ( x1 ) = f ?( x2 ? x1 ) ? x1 ? - f ( x1 ) = f ( x 2 ? x1 ) + f ( x1 ) - f ( x1 ) = f ( x 2 ? x1 ) >0
故 f (x) 在(- ? ,+ ? )上为增函数

∴ f ( x1 ) < f ( x 2 ) .

1、已知函数 f (x) 对于任意正数 x , y 都有 f (xy) = f (x) ·f ( y ) ,且 f (x) ≠0,当 x >1 时, f (x) <1.试 判断 f (x) 在(0,+ ? )上的单调性,并说明理由. 解析:此函数的原型函数可以为 y ?

1 x

.显然此函数在(0,+ ? )上是减函数.对于 x ?(0,+ ? )

有 f (x) = f ( x ?

x ) ? f ( x ) ? 0 又 f (x) ≠0,

?

?

2

∴ f (x) >0设 x1 , x 2 ?(0,+ ? ) ,且 x1 <

x 2 .则

f ( x2 ) ? f ( x1 )

f(

x2 x ?x1 ) f ( 2 ) f ( x1 ) x1 x1 x ? ? f ( 2 ) <1,∴ f ( x1 ) f ( x1 ) x1

f ( x1 ) > f ( x2 ) , 故 f (x) 在(0,+ ? )

上为减函数.

6

2、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,f(- 1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 解:设 ∵ ∴ 在条件中,令 y=-x,则 ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0, ,∴ ,

故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。

3、已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . (1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1 ; (2)证明: f ( x) 在 R 上单调递减; ∵对任意 x ? R ,有 f ( x) >0, ∴令 x ? 0, y ? 2 得, f (0) ? [ f (0)]2 ? f (0) ? 1 (2)任取任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则令 x1 ?
1 1 p1 , x2 ? p2 ,故 p1 ? p2 3 3

∵函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x) >0;②对任意 x, y ? R ,
1 有 f ( xy) ? [ f ( x)] y ;③ f ( ) ? 1 3 1 1 1 1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p2 ) ? [ f ( )] p1 ? [ f ( )] p2 ? 0 3 3 3 3
4、已知函数 f(x)对任意 2,f(3)=5,求不等式 ,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x)> 的解。

分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确, 也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设 ,∴ ,则 , 即 ,∴f(x)为单调增函数。 ∵ , 又∵f(3)=5,∴f(1) =3。∴ ,∴ , ,解得不等式的解为-1 < a < 3。 ,∵当

7

5、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 (1)f(1);(2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 解:(1)∵ (2) 即 的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故

,求:

,解之得:8<x≤9。

考点五 函数的最值 例 1、根据下列条件,求实数 a 的值。 (1)函数 y ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ? 0,1? 上有最大值 2; (2)函数 y ? ax 2 ? 4ax ? 3 在区间 ? ?4, 2? 上有最大值 7;
? 3 ? (3)函数 y ? ax2 ? ? 2a ? 1? x ? 1 在区间 ? ? , 2? 上有最大值 3 ? 2 ?

1、若函数 f ? x ? ? x 2 ? ax ? 5 对于任意 t 都有 f ?t ? ? f ? ?4 ? t ? ,且在区间 ? m, 0? 上有最大值 5、最小值 1,则 实数 m 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? ) (C) ? ?4, ?2? (D) ? ?4,0?

(B) ? ?2,0?

8

2、已知函数 f ? x ? ? 解: f ? x ? ?

3 2 x ? 3x ? 4 在区间 ? a, b ? 上的值域为 ? a, b ? ,求实数 a、b 的值。 4

3 2 3 2 x ? 3x ? 4 ? ? x ? 2 ? ? 1 4 4

①区间 ? a, b ? 在直线 x ? 2 左侧时, f ? x ? 在 ? a, b ? 上递减
?3 2 ? 4 a ? 3a ? 4 ? b 4 ? 则? ? a ? b ? (舍) 3 ? 3 b2 ? 3b ? 4 ? a ?4 ?

②区间 ? a, b ? 在直线 x ? 2 右侧时, f ? x ? 在 ? a, b ? 上递增
?3 2 ? ? a ? 3a ? 4 ? a ?a ? 4 ? 2 ? 则 ?4 (舍) ?? 3 ? 3 b2 ? 3b ? 4 ? a ?b ? 4 ? ?4 ?

③直线 x ? 2 落在区间 ? a, b ? 内
? ?a ? f ? 2 ? ? 1 ?1? ? ? ?b ? f ? b ? ? b ? 4 (舍)或b ? 4 ? ? ?a ? 1 3 ? ? ?? ? ?b ? 4 ? ?a ? f ? 2 ? ? 1 ? ? ?2 ? ? ?b ? f ? a ? ? b ? 7 (舍) ? ? 4 ?

∴综上所述, a ? 1 、 b ? 4

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