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世纪金榜二轮专题辅导与练习选修 4-2


选修4-2 矩阵与变换

一、主干知识
1.矩阵的定义:同一横(竖)排中按原来次序排列的一行(列)数 叫做矩阵的行(列),组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素,其 中,一条从左上角到右下角的元素构成的对角线称为矩阵的主 对角线. 特别:(1)2×1矩阵,2×2矩阵(二阶矩阵),2×3矩阵.

?0 0 ? ?0 0 ? ? ?

(2)零矩阵:__________.

? a11 ? [a11,a12] 列矩阵: ? _____ a 21 ?,一般用 α, β 等表示. (3)行矩阵: ________, ? ?

2.几种常见的平面变换:

?1 0 ? ?0 1 ? ? ? (1)恒等变换矩阵(即单位矩阵):________. ?1 0 ? ? k 2 0 ? ?0 k ? 或 ?0 1 ? ? ? 1? ? (2)伸压变换矩阵:______________. ?1 0 ? ? ?1 0 ? ? ?1 0 ? ?0 ?1? , ?0 1 ? 和 ?0 ?1? ? ? ? ? ? ? (3)反射变换矩阵:______________________.

?cos ? ?sin ? ? ?sin ? cos ? ? ? ? (4)旋转变换矩阵:_____________. ?1 0 ? ?1 0 ? ?0 0 ? 和 ?1 0 ? ? ? ? ? (5)投影变换矩阵:_____________. ?1 k ? ?1 0 ? ?0 1 ? 和 ? k 1 ? ? ? ? ? (6)切变变换矩阵:_____________.

3.逆矩阵:设A是一个二阶可逆矩阵,如果存在二阶矩阵B,使 AB=BA=E,则称二阶矩阵A是可逆矩阵,称B是二阶矩阵A的逆 矩阵,记作A-1.

4.特征值和特征向量:
, 如果存在λ 和非零向量 α ? ? ? 满足 A= ? ? ?c d ? ?y?
?a b ? ? x ? ?x ? ?x ? ?c d ? ? y ? ? ? ? y ? ? ?? ? ? ? ,即 Aα ? λα, 则λ 叫A的一个特征值,? ? ______________ ?y?

?a b ?

?x ?

叫A的属于特征值λ的一个特征向量.

二、重要公式和法则
1.二阶行矩阵与平面向量的乘法:
? ax ? by ? ?a b ? ? x ? ?c d ? ? y ? ? ? cx ? dy ? ? ? ? ?? ? _________

2.二阶行矩阵的乘法:
?a b ? ?e f ? ?ae ? bg af ? bh ? ? ?c d ? ?g h ? ? ? ce ? dg cf ? dh ? ? ? ?? ? _____________

?a b ? , (ad-bc≠0)的逆矩阵是 3.二阶可逆矩阵A= ? ? ?c d ? ?b ? ? d ? ad ? bc ad ? bc ? ?1 A ?? ? ? c a ? ? ? ? ad ? bc ad ? bc ? ? _____________________.
a b? 4.设A= ? 是一个二阶矩阵,λ ∈R,则A的特征多项式为: ? ? -c ?-d ___________________________________. f ??? ? ?c d ? ?-a -b ? ? 2-? a ? d ? ? ? ad-bc

5.矩阵M的n次变换 对于二阶矩阵M,它的特征值分别为λ 1和λ 2,其对应的特征向 量分别为 α1和 α 2 (两者不共线),则当任一向量 β ? mα1 ? nα 2
n n m ? α ? n ? ? ? ? 1 1 2α2 ? 时, M β ? _________________.

n

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?, 1.(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1= ? ?1 ? 1? ? 求矩阵A的特征值. 2? ?2 ? ? 1 3 ? ? ? - 1 【解析】因A = 故A=(A-1)-1= ? 2 3?, 4 4 ?, ? ? ?2 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2? ?2 ? ?? ? 2 ?3 ? 因矩阵A的特征多项式为f(λ)= ? ? ? 1? ? ?2 ?

=λ2-3λ-4, 令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=4.

2.(2012·福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=
(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1. (1)求实数a,b的值. (2)求A2的逆矩阵.

?a 0 ? ?b 1 ? ? ?

【解析】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应

的变换作用下的像是P′(x′,y′),
? x?? ?a 0 ? ? x ? ?ax ? ? x? ? ax 由 ? ??? , ? ? y ? ? ? bx ? y ?, 得 ? y ? b 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? y? ? bx ? y

因点P′(x′,y′)在曲线x2+y2=1上, 故(ax)2+(bx+y)2=1,化简得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,从而比较对
?a 2 ? b 2 ? 2, 应项系数得: ? ?2b ? 2, a ?1 , 又因为a>0,解之得 ? ? ?b ? 1.

(2)由(1)得A= ? ?
故A2=

1 0? , ? ?1 1 ?

?1 0 ? ?1 0 ? ?1 0 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ? ? 2 1 ?, ? ?? ? ? ? ?1 0?

从而(A2)-1= ? . ? ? ?2 1 ?

热点考向 1

二阶矩阵与平面向量、常见的平面变换
?1 a ?

【典例1】(2013·南京模拟)已知矩阵M= ? ? ?b 1 ? 对应的变换将点A(1,1)变为A′(0,2), 将曲线C:xy=1变为曲线C′. (1)求实数a,b的值.(2)求曲线C′的方程.

【解题探究】
由条件点A(1,1)变为A′(0,2),根据矩阵与平面向量的乘法
?1 ? a ? 0 ? 法则得关于实数a,b的方程是__________ ? b ? 1 ? 2 ,从而求解,并得到
y?x ? x ? ? ? 0 2 ? ?y ? y ? x 0 ? 2 ? 坐标的变换公式是_____________ ,再代入曲线C的方程,即可

得到曲线C′的方程.

? 【解析】(1)由题知, ?

1 a ? ?1? ?0 ? ? ? ?, ? ? ? ? b 1 ? ?1? ? 2 ?

, ?1 ? a ? 0, ?a ? ?1 解得 ? 即 ? ?b ? 1 ? 2, ?b ? 1.

(2)设P′(x,y)是曲线C′上任意一点,P′由曲线C上的点 P(x0,y0)经矩阵M所表示的变换得到,
? x 0 ? y0 ? x, ?1 ?1? ? x 0 ? ? x ? ? ? ?,即 ? ? ? ? 所以 ? ?1 1 ? ? y0 ? ? y ? ?x 0 ? y0 ? y,
y?x ? x ? , ? ? 0 2 ? y?x 解得 ? y0 ? . ? 2 ?

y?x y?x y2 x 2 ? =,即 1 - = 1. 因为x0y0=1,所以 2 2 4 4 2 2 即曲线C′的方程为 y - x =1. 4 4

【互动探究】根据本题条件,能否判断矩阵M属于何种常见的
平面变换?从本题结果观察,反比例函数 y ? 何种变换,可转化成双曲线的标准形式?
k 的图象,通过 x

【解析】因点A(1,1)在直线y=x上,此直线与坐标轴的夹角为 45°,当它变换到A′(0,2)时,即变换到y轴上,故这是旋转 变换,又因OA= OA′=2,故还需实施伸压变换,即本题变 2,

换中含有两种常见的变换,即由
? 2 0? ?1 0 ? ?cos 45? ?sin 45?? ?1 ?1? ?? . ? ?? ? ? ? ? ?0 1 ? ?0 2 ? ?sin 45? cos 45? ? ?1 1 ? 从本题结果观察,反比例函数 y ? k 的图象,通过旋转变换(旋 x

转角为〒45°),可转化成双曲线的标准形式.

【方法总结】曲线变换问题的求解思路 有关曲线的变换问题,都是通过变换矩阵左乘列向量,得到原 曲线上的点坐标与新坐标之间的关系式,再用新坐标的函数式

表示原坐标,而原坐标一定满足原方程,故代入原方程,即可
得到新的曲线方程.

【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,直线l:x+y+2=0在矩阵
M= ? 对应的变换作用下得到直线m:x-y-4=0,求实数 ? ?b 4? a,b的值.
?1 a ?

【解析】在直线l:x+y+2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2), A,B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′,B′, 因为 ? ? ?0 ? ? ? ?2b ?, b 4 ? ?? ? ? ? 所以A′的坐标为(-2,-2b),
?1 a ? ?0 ? ? ?2a ? ? b 4 ? ? ?2 ? ? ? ?8 ?, ? ?? ? ? ? ?1 a ? ? ?2 ? ? ?2 ?

所以B′的坐标为(-2a,-8).

由题意A′,B′在直线m:x-y-4=0上,所以
??-2 ?-?-2b ?-4 ? 0 ? ?(-2a)-(-8)-4 ? 0,

解得a=2,b=3.

热点考向 2

矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵

? ?1 a ? 【典例2】(2013·徐州模拟)已知a,b∈R,若矩阵M= ? ? ?b 3?

所对应的变换把直线l:2x-y=3变换为自身,求M-1. 【解题探究】

? ?1 a ? ? 可得坐标变换公式是 根据矩阵M= ? b 3 ? ? ? ?1 a ? ? x ? ? ? x ? ay ? ? x?? ? b 3 ? ? y ? ? ? bx ? 3y ? ? ? y? ? __________________________ ,再代入直线l的方程,得到关 ? ?? ? ? ? ? ? ??2 ? b ? 2 ? ?2a ? 3 ? ?1 ,从而得到矩阵M的表达式;再由 于a,b的方程组是_________

逆矩阵计算公式求M-1.

【解析】对于直线l上任意一点(x,y),在矩阵M对应的变换作 用下变换成点(x′,y′),
?1 a ? ? x ? ? ? x ? ay ? ? x?? 则 ? ? b 3 ? ? y ? ? ? bx ? 3y ? ? ? y??, ? ?? ? ? ? ? ?

因为2x′-y′=3,所以2(-x+ay)-(bx+3y)=3,
?-2-b ? 2, ?a ? 1, 所以 ?2a-3 ? -1, 解得 ?b ? -4. ? ? ? ?1 1 ? , 所以M= ? ? ? ?4 3 ? ?3 ?1? 所以M-1= ? ?. 4 ? 1 ? ?

【方法总结】利用待定系数法求变换矩阵的两种方法
(1) 利用矩阵与平面向量的乘法法则,将变换前后的点 ( 向量 ) 的坐标一一对应,从而列得方程组而求解. (2) 利用矩阵乘法法则,将两种或两种以上的变换复合成一种 变换矩阵,再与已知矩阵相比较对应项数值,从而列得方程组 求解.

? ?1 0 ? , 【变式训练】(2013·江苏高考)已知矩阵A= ? ? 0 2? ? 1 2 ? ? -1B. , B= ? 求矩阵 A ? ?0 6 ?

【解析】设矩阵A的逆矩阵为 ? a b ?, ? ?
? ?1 0 ? ?a b ? ?1 0 ? 则 ? ? ?c d ? ? ?0 1 ?, 0 2 ? ?? ? ? ?

?c d ?

即 ? ?a ?b ? ? ?1 0 ? . ? 2c 2d ? ?0 1 ? ? ? ? ?
1 , 2 0? ? 1 ? -1 从而A的逆矩阵为A = ?0 1 ? ? ? 2? 0? ?1 ? ?1 2 ? ? ?1 ?2 ? 所以A-1B= ? ?0 1 ? ?0 6 ? ? ?0 3 ? . ? ? ? ? ? 2?

故a=-1,b=0,c=0, d=

热点考向 3

特征值与特征向量、矩阵的简单应用

x 5? 【典例3】(2013·南通模拟)已知矩阵M= ? ?6 6 ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数x的值及矩阵M的特征值.

【解题探究】 当矩阵的行列式值为零时,矩阵不存在逆矩阵,由此得x的
? ? ? 5 ?5 ? x=5 ,再由矩阵M的特征多项式_____________________ f(λ)= ? ? ? 6? 值____ ? ?6 ?
? ? ? ? 5 ?? ? ? 6 ? ? ? ?5 ? ? (?6) 得此矩阵的特征值是______ 0和11 . _______________________

?x 5? ? 0, 【解析】由题意,矩阵M的行列式 ? ? ?6 6? ?5 5 ? 解得x=5,矩阵M= ? ? ?6 6 ?

的特征多项式
?-6

?-5 -5 ? f(λ)= ? =(λ-5)(λ-6)-(-5)〓(-6), ? ? ?-6 ?

令f(λ)=0并化简得λ2-11λ=0, 解得λ=0或λ=11,所以矩阵M的特征值为0和11.

【互动探究】试求矩阵M的特征向量.

? 【解析】当λ=0时,由 ? ?
??11-5 ? x-5y ? 0 由 ? ?

? 0-5 ? x-5y ? 0 ? ?-6x ? ? 0-6 ? y ? 0

知,特征向量是(1,-1);当λ=11时,
? ?-6x ? ?11-6 ? y ? 0

知,特征向量是(5,6).

【方法总结】矩阵特征值与特征向量的关注点 (1)矩阵特征值的实质是令特征多项式f(λ)等于零时所构成方 程的零点,是通过解一元二次方程得之的;特征向量是在求得

特征值后,得到二元一次方程组 (通常是不定方程),取 x=1或
y=1或其他整数后得到.

(2)矩阵特征值与特征向量可使矩阵经n次变换后的运算更为简
便,结果相对准确,同时,蕴含着“有限与无限”的数学思想, 确定变换后的变化趋势.

?1 2 ? ?3 ? , 【变式训练】给定矩阵A= ? ? B= ? ? . - 1 4 ? ? ?2?

(1)求A的特征值λ 1,λ 2及对应的特征向量 α1,α 2 . (2)求A4B.

【解析】(1)设A的一个特征值为λ,由题意知:
(λ-2)(λ-3)=0,
?1 2 ? ? x ? ?x ? ? 2 , λ1=2,λ2=3,当λ1=2时,由 ? ? ? ? ? ? ?-1 4 ? ? y ? ?y? ?2? 得A属于特征值2的特征向量 α1 ? ? ? . ?1 ? 1 2? ? x ? ?x ? 当λ2=3时,由 ? ? 3 ?-1 4 ? ? y ? ? y ?, ? ?? ? ? ? ? 得A属于特征值3的特征向量 α 2 ? ? ?1? . 1 ??

?-1??????-2

1??????????-4?

? 0,

?3 ? ? 2 ? ?1? (2)由于B= ? ? ? ? ? ? ? ? ? α1 ? α 2 , ? 2 ? ?1 ? ?1?

故 A 4B ? A 4 ? α1 ? α 2 ? ? 24 α1 ? 34 α 2 ? 16α1 ? 81α 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 16 81 97
? ? ? ? ? ?

?32 ? ?81?

?113?


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